TD10 : Espace vectoriel euclidien

Lycée Chrestien de Troyes PC mathématiques M. RHARIF

PC TD10 : relations de comparaison

Exercice 1x₀ f et g deux fonctions réelles définie au voisinage de x₀ et  un réel on nul.

Enoncé Vrai ou faux

Si

   

0

( )x x

f x o g x

 Alors

   

0

( )x x

f x o g x

 ^{o x}

 

Si

   

0

( )x x

f x o g x

 Alors

       

0

( )x x

h x f x o h x g x

 ^{x o x2}

 

Si

   

0

( )x x

f x o g x

 ^Alors

   

0 x x 0 f x g x

  Si

0

( ) 0

f x x x

 ^Alors

 

0 x x0 f x 

o(x)  o(x) = 0 (au voisinage de zéro) o(x)  o(x) =

 

sin e^x e^x (au voisinage de )

Exercice 2 (croissances comparées)

1.Calculer les limites des suites suivantes en montrant clairement les résultats du cours utilisés : lim

1n

n

1 n



  

  ; lim

 

n n 3

3

 n ; ^{lim 2001}

 

n x ln x e^



Exercice 3 : 1. Déterminer les réels  tels que

et 1

t o t^

    

  lorsque t tend vers +.

2. Déterminer les réels  tels que

 

2

1 1

n ln n o n^

 

  

  lorsque n tend vers +. Exercice 4 (équivalents usuels) Rappel : 1^ est une forme indéterminée

1.Calculer la limite suivante : lim

n

n

1 1 n



  

 

  2. f est définie sur ^* par : (1 ₂ )sin₅ ² :

x x

f x e

x x



  Montrer que la fonction f est prolongeable par continuité en 0.

3. Former un équivalent simple de ²₂ 2 3

ln 1

x x

x x

   

 

   

 lorsque x tend vers +. Puis calculer

x 2

2

x x x 1

3 x 2 lim x 

 

















Exercice 5 : 1. Déterminer les deux limites suivantes :

1

lim ^x 1 0.6

x x x



 

  

 

  ;

 

lim0 cos x

x x



2. Discuter suivant la valeur du réel  la valeur de

1

lim ^x 1

x x x^



 

  

 

 

Rappel : (+)⁰ est une forme indéterminée

Exercice 6 (développements limités) : Soit f : x↦

e

1. Préciser le domaine de définition de f.

2. Former le DL3(0) de f (C’est-à-dire le développement limité de f en 0 à l’ordre 3) 3. Donner une équation de la tangente au point d’abscisse 0.

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4. Etudier la position locale de la courbe par rapport à la tangente en ce point au voisinage de 0.

Rappel : Pour former le DL de la composée de deux fonctions ^{u v x}

   

 

Former les DL suivants :

1. DL3(0) de xln(2 sin ) x 2. DL3(0) de x Arctane^x

Exercice 8

Calculer les limites suivantes :

1. ₂

0

cos5 cos3 limx

x x

x



 2.

 

0

1 1

lim ln 1

x x x

 

  

  

 