��� ENDOMORPHISMES REMARQUABLES D’UN ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN (DE DIMENSION FINIE).
Soit(E,È.|.Í)un espace euclidien de dimension finienœNú. On noteÎ.Îla norme issue du produit scalaire. Soituœ L(E).
I. Endomorphismes d’un espace euclidien
[Rom��, Ch��, p���]I. A. Adjoint d’un endomorphisme
T��������. [������� �’�� �������������]
Il existe un unique endomorphismeuúœL(E)tel que :
’x, yœE,Èu(x)|yÍ=Èx|uú(y)Í uúest appelé adjoint deu.
P�����������. SoitB= (ei)1ÆiÆnune base deEetS= (Èei |ejÍ)1Æi,jÆnla matrice du produit scalaire dans la baseB. SiA=MB(u), alorsMB(uú) =S≠1A€S.
En particulier siBest orthonormée,MB(uú) =A€. P�����������. [���������� �� �’�������]
Pourv, wœL(E)et⁄œR, on a : (i) (vú)ú=v,
(ii) (v¶w)ú=wú¶vú,
(iii) ker(vú) = Im(v)‹etIm(vú) = ker(v)‹, (iv) rg(v) = rg(vú),
(v) SiFest un sous-espace vectoriel stable parv, alorsF‹est stable parvú, (vi) |||uú|||=|||u|||.
I. B. Exemples d’endomorphismes remarquables
D����������. [������������� ����������]
uest un endomorphisme orthogonal (ou isométrie) deEsiuú = u≠1, autrement dit siu conserve le produit scalaire :
’x, yœE,Èu(x)|u(y)Í=Èx|yÍ On noteO(E)l’ensemble des isométries deE.
P�����������. v:E≠æEest orthogonale si et seulement sivest linéaire et conserve la norme.
E�������.
• IdEet≠IdEsont des endomorphismes orthogonaux. Ce sont les seuls en dimension1,
• les rotations et les symétries orthogonales sont des isométries,
• les valeurs propres d’une isométrie ne peuvent être que±1.
P�����������. uest une isométrie deEsi et seulement siuest inversible etuú = u≠1. Dans une baseBorthonormée deE, siA=MB(u), on aA€=A≠1.
D����������.
• On dit queuest symétrique (ou auto-adjoint) siuú=u, ou encore si
’x, yœE,Èu(x)|yÍ=Èx|u(y)Í On noteS(E)l’ensemble des endomorphismes symétriques deE.
• On dit queuest anti-symétrique siuú=≠u. On noteA(E)l’ensemble des endomor- phismes symétriques deE.
E�������. u+uúœS(E). Un projecteur orthogonal est symétrique.
D�����������. uest dit normal siuúu=uuú.
E��������. Un endomorphisme auto-adjoint, antisymétrique ou orthogonal est normal.
P������������. SoitBune base orthonormée deEetA =MB(u). On a les caractérisa- tions matricielles des endomorphismes remarquables vus précédemment :
u définition MB(uú)
symétrique uú=u A€=A
anti-symétrique uú=≠u A€=≠A orthogonal uú=u≠1 A€A=I
normal uúu=uuú A€A=AA€
II. Endomorphismes normaux
[Rom��, Ch��, p���] [Gou��, §�.�, p���]Dans cette partieudésigne un endomorphisme normal (uúu=uuú).
P������������. On aÎu(x)Î=Îuú(x)Îpour toutxœE.
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A������������. Les valeurs propres (complexes) deusont des racines de module1.
L������. SiFest un sous-espace vectoriel stable paru, alorsF‹est stable paru.
L������. Il existe un sous-espace vectoriel stable parude dimension1ou2.
P������������. Supposonsn= dim(E) = 2. Alors :
• soitua une valeur propre réelle, et alorsuest diagonalisable dans une b.o.n.,
• soit la matrice deudans une b.o.n. est de la forme3 a ≠b b a
4 .
T���������. [��������� ��� �������������� �������]
Il existe une base orthonorméeBdeEtelle que
MB(u) = Q cc cc cc a
⁄1
...
⁄p
R1
...
Rr
R dd dd dd b
oùp+ 2r=n,(⁄i)1ÆiÆpœ Rpet pour1ÆkÆr,Rk=3
ak ≠bk
bk ak
4
avecbk ”= 0.
A������������. [��������� �’�� ������������� ��������������]
Supposonsuantisymétrique. Alors il existe une base orthonorméeBdeEtelle que
MB(u) = Q cc cc cc a
0 ...
0 R1
...
Rr
R dd dd dd b
où 2rÆn et Rk=3 0 ≠bk
bk 0 4
III. Endomorphismes auto-adjoints
III. A. Premières propriétés
[Rom��, Ch��, p���] [AK��, Ch�, p���]P������������. S(E)est un sous-espace vectoriel de dimensionn(n+ 1)/2.
D�����������. uest dit symétrique positif (resp. défini positif) s’il est symétrique avec Èx|u(x)Í Ø0pour toutxœE(resp.Èx|u(x)Í>0pourxœE\{0}). On noteS+(E)(resp.
S++(E)) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. définis positifs).
E��������. La matrice du produit scalaire dans une base deEest définie positive.
P������������. On aSp(u) µ Rpouru œ S(E),Sp(u) µ R+pouru œ S+(E)et Sp(u)µRú+pouruœS++(E).
L������. Si⁄ ”= µ, les sous-espaces propres associésE⁄ = ker(u≠⁄idE)etEµ = ker(u≠µidE)sont orthogonaux.
P������������. SoitAœMn, p(R)avecnØptelle querg(A) =p(ou encoreker(A) = {0}). AlorsA€AœSp++(R).
A������������. [�������� ������]
Soientn, pœNetAœMn, p(R)etbœRn. On cherche un vecteurxœRptel queÎb≠AxÎ2= infyœRpÎb≠AyÎ2.
(i) Il existe toujours une solution au problème, (ii) xest solution si et seulement siA€Ax=A€b,
(iii) SinØpetrg(A) =p,A€Aest inversible et il existe une unique matrice réelleBtriangu- laire inférieure, à diagonale positive, telle queA€A=BB€, et alorsx= (BB€)≠1A€b est une solution.
III. B. Autour du théorème spectral
[Rom��, Ch��, p���]T���������. [�������� ��������]
Tout endomorphisme deS(E)est diagonalisable dans une b.o.n.
C�����������. SoitAœSn(R). Alors il existePœOn(R)telle queP€APsoit diagonale.
C�����������. Soitu œ S(E). Alorsu œ S+(E)si et seulement siSp(u) µ R+etu œ S++(E)si et seulement siSp(u)µRú+.
A������������. PourAœ Sn(R), on a|||A|||2=fl(A).
A������������. PourAœ Sn+(R), il existe une unique matriceB œSn+(R)telle queA=B2.
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T���������. exp :Sn(R)≠æSn++(R)est un homéomorphisme.
IV. Endomorphismes orthogonaux
IV. A. Propriétés et réductions
[Rom��, Ch��, p���]P������������. SoituœO(E).
• Sp(u)µU={zœC| |z|= 1},
• det(u) =±1. En particulieruest inversible.
P������������. SoituœL(E).
(i) SiuœO(E),utransforme toute b.o.n. en une b.o.n.,
(ii) uœO(E)si et seulement siutransforme une b.o.n. en une b.o.n..
T���������. [��������� ��� �������������� �����������]
SoituœO(E). Il existe une base orthonorméeBtelle que
MB(u) = Q cc ca
Ip1
≠Ip2
R1
...
Rr
R dd db
oùp1+p2+ 2r=net pour1ÆkÆr,Rk =3 cos(◊k) ≠sin(◊k) sin(◊k) cos(◊k)
4
pour un◊kœ/fiZ.
IV. B. Structure de groupe de O
n( R )
[Per��, §V.�/ChVI, p���/���]P���������� ��. On(R) est un sous-groupe de GLn(R) et On+(R) = {Aœ On(R)|det(A) = 1}est un sous-groupe distingué deOn(R).
D�����������. Soituune symétrie orthogonale. On noteE+ = ker(u≠IdE)etE≠ = ker(u≠IdE)qui vérifientE=E+üE≠. SidimE≠= 1, on dit queuest une réflexion. Si dimE≠= 2, on dit queuest un renversement.
T���������. [����������� ��On(R)��O+n(R)]
• On(R)est engendré par les réflexions orthogonales. Plus précisément, siAœOn(R),A est produit d’au plusnréflexions.
• Pourn Ø 3,O+n(R)est engendré par les réflexions orthogonales. Plus précisément, si AœOn+(R),Aest produit d’au plusnrenversements.
IV. C. Etude en dimensions 2 et 3
[Gri��, §�.��, p���] [Per��, §V.�, p���]P������������. [����� �� ���������2]
SoituœO(R2)etAla matrice deudans la base canonique deR2. On a deux cas :
• soituœO+(R2)et alors il existe◊ œ[0,2fi[tel queA=3 cos(◊) ≠sin(◊) sin(◊) cos(◊)
4 .uest alors la rotation d’angle◊centrée en l’origine,
• soitu /œO+(R2)et alors il existe◊œ[0,2fi[tel queA=3 cos(◊) sin(◊) sin(◊) ≠cos(◊)
4 .uest alors la symétrie par rapport à la droite d’angle polaire◊/2.
P������������. [����� �� ���������3]
SoituœO(R3). Il existe une baseBdeR3telle que la matrice deudans la baseBsoit : Q
a cos(◊) ≠sin(◊) 0 sin(◊) cos(◊) 0
0 0 Á
R b
pour un◊œ[0,2fi[et oùÁ=±1vaut :
• 1siuœO+(R3)(uest alors une rotation d’angle◊autour d’une droite),
• ≠1siu /œO+(R3)(uest alors la composée d’une rotation d’angle◊autour d’une droite Dpuis d’une symétrie orthogonale par rapport àD‹).
IV. D. Topologie du groupe orthogonal
[CG��, CHVI, p���] [Rom��, Ch��.�, p���]P������������. O(E)est une partie compacte deL(E).
P������������. Les composantes connexes deO(E)sont les fermésO+(E)etO≠(E).
T���������. [������������� �������]
L’application On(R)◊Sn++(R) ≠æ GLn(R)
(O, S) ‘≠æ OS est un homéomorphisme.
A������������. On(R)est le seul sous-groupe compact deGLn(R)contenantOn(R).
A������������. PourAœMn(R), on a|||A|||2=
fl(A€A).
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���
Agrégation – Leçons ���– Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).
������ ���������
Q Montrer que|||u|||2=|||uú|||2.
R On aÎuú(x)Î22 =Èuú(x)|uú(x)Í=Èx| uuú(x)Í Æ ÎxÎ ÎuuúÎ, donc|||uú|||2 Æ|||uuú|||Æ
|||uú||| |||u|||. Puis on procède de même pour montrer que|||u|||2Æ|||uú||| |||u|||. Q Quelle sont les utilisations des moindres carrés?
R Enlever des dimensions à notre système (système surdéterminé). Faire une régression li- néaire. On peut aussi évoquer le théorème deC������en probabilités (modèle de régres- sion linéaire gaussien).
Q Un endomorphismes orthogonal conserve-t-il l’angle orienté?
R Non, regarder les symétries.
Q Que font les projecteurs orthogonaux concernant les angles?
R Ils annulent les angles.
Q Montrer par récurrence surnque siM est nilpotente est non nulle, alorsÏM(Rn) =Roù ÏM :X‘≠æX€M X.
R Pourn= 1, il n’y a rien à montrer, car toute matrice nilpotente est nulle.
SiM œ Mn+1(R)est nilpotente, elle est semblable à3 A C
0 0 4
oùA œ Mn(R)est nilpotente. Si elle est non nulle, par hypothèse de récurrenceÏAest surjective, et doncÏM
aussi (àXon associe(X0), leur image parAetMsont identiques. Sinon,Aest nulle, et par réduction deJ�����on peut supposerC= (0, . . . ,0,1)‹. PrenantX=⁄(0, . . . ,–,—), on aÏM(X) =X€(0, . . . ,0,—,0) =–—: c’est dont bien surjectif.
Sinon, on prend l’endomorphisme canoniquement associé àM, ...
�������������
[AK��] G.A������et S.-M.K����:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,����.
[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.
Calvage et Mounet,����.
[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.
[Gri��] J.G������:Algèbre linéaire. Cépaduès,�èmeédition,����.
[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.
[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,
����.
ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���