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￿￿￿ ENDOMORPHISMES REMARQUABLES D’UN ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN (DE DIMENSION FINIE).

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(1)

��� ENDOMORPHISMES REMARQUABLES D’UN ESPACE VECTORIEL EUCLIDIEN (DE DIMENSION FINIE).

Soit(E,È.|.Í)un espace euclidien de dimension finienœNú. On noteÎ.Îla norme issue du produit scalaire. Soituœ L(E).

I. Endomorphismes d’un espace euclidien

[Rom��, Ch��, p���]

I. A. Adjoint d’un endomorphisme

T��������. [������� �’�� �������������]

Il existe un unique endomorphismeuúœL(E)tel que :

x, yœE,Èu(x)|yÍ=Èx|uú(y)Í uúest appelé adjoint deu.

P�����������. SoitB= (ei)1ÆiÆnune base deEetS= (Èei |ejÍ)1Æi,jÆnla matrice du produit scalaire dans la baseB. SiA=MB(u), alorsMB(uú) =S≠1AS.

En particulier siBest orthonormée,MB(uú) =A. P�����������. [���������� �� �’�������]

Pourv, wœL(E)etœR, on a : (i) (vú)ú=v,

(ii) (v¶w)ú=wúvú,

(iii) ker(vú) = Im(v)etIm(vú) = ker(v), (iv) rg(v) = rg(vú),

(v) SiFest un sous-espace vectoriel stable parv, alorsFest stable parvú, (vi) |||uú|||=|||u|||.

I. B. Exemples d’endomorphismes remarquables

D����������. [������������� ����������]

uest un endomorphisme orthogonal (ou isométrie) deEsiuú = u≠1, autrement dit siu conserve le produit scalaire :

x, yœE,Èu(x)|u(y)Í=Èx|yÍ On noteO(E)l’ensemble des isométries deE.

P�����������. v:E≠æEest orthogonale si et seulement sivest linéaire et conserve la norme.

E�������.

• IdEet≠IdEsont des endomorphismes orthogonaux. Ce sont les seuls en dimension1,

• les rotations et les symétries orthogonales sont des isométries,

• les valeurs propres d’une isométrie ne peuvent être que±1.

P�����������. uest une isométrie deEsi et seulement siuest inversible etuú = u≠1. Dans une baseBorthonormée deE, siA=MB(u), on aA=A≠1.

D����������.

• On dit queuest symétrique (ou auto-adjoint) siuú=u, ou encore si

x, yœE,Èu(x)|yÍ=Èx|u(y)Í On noteS(E)l’ensemble des endomorphismes symétriques deE.

• On dit queuest anti-symétrique siuú=≠u. On noteA(E)l’ensemble des endomor- phismes symétriques deE.

E�������. u+uúœS(E). Un projecteur orthogonal est symétrique.

D�����������. uest dit normal siuúu=uuú.

E��������. Un endomorphisme auto-adjoint, antisymétrique ou orthogonal est normal.

P������������. SoitBune base orthonormée deEetA =MB(u). On a les caractérisa- tions matricielles des endomorphismes remarquables vus précédemment :

u définition MB(uú)

symétrique uú=u A=A

anti-symétrique uú=≠u A=≠A orthogonal uú=u≠1 AA=I

normal uúu=uuú AA=AA

II. Endomorphismes normaux

[Rom��, Ch��, p���] [Gou��, §�.�, p���]

Dans cette partieudésigne un endomorphisme normal (uúu=uuú).

P������������. On aÎu(x)Î=Îuú(x)Îpour toutxœE.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���

(2)

Agrégation – Leçons ���– Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

A������������. Les valeurs propres (complexes) deusont des racines de module1.

L������. SiFest un sous-espace vectoriel stable paru, alorsFest stable paru.

L������. Il existe un sous-espace vectoriel stable parude dimension1ou2.

P������������. Supposonsn= dim(E) = 2. Alors :

• soitua une valeur propre réelle, et alorsuest diagonalisable dans une b.o.n.,

• soit la matrice deudans une b.o.n. est de la forme3 ab b a

4 .

T���������. [��������� ��� �������������� �������]

Il existe une base orthonorméeBdeEtelle que

MB(u) = Q cc cc cc a

1

...

p

R1

...

Rr

R dd dd dd b

p+ 2r=n,(⁄i)iÆpœ Rpet pour1ÆkÆr,Rk=3

akbk

bk ak

4

avecbk ”= 0.

A������������. [��������� �’�� ������������� ��������������]

Supposonsuantisymétrique. Alors il existe une base orthonorméeBdeEtelle que

MB(u) = Q cc cc cc a

0 ...

0 R1

...

Rr

R dd dd dd b

où 2rÆn et Rk=3 0 ≠bk

bk 0 4

III. Endomorphismes auto-adjoints

III. A. Premières propriétés

[Rom��, Ch��, p���] [AK��, Ch�, p���]

P������������. S(E)est un sous-espace vectoriel de dimensionn(n+ 1)/2.

D�����������. uest dit symétrique positif (resp. défini positif) s’il est symétrique avec Èx|u(x)Í Ø0pour toutxœE(resp.Èx|u(x)Í>0pourxœE\{0}). On noteS+(E)(resp.

S++(E)) l’ensemble des endomorphismes symétriques positifs (resp. définis positifs).

E��������. La matrice du produit scalaire dans une base deEest définie positive.

P������������. On aSp(u) µ Rpouru œ S(E),Sp(u) µ R+pouru œ S+(E)et Sp(u)µRú+pouruœS++(E).

L������. Si ”= µ, les sous-espaces propres associésE = ker(u≠idE)etEµ = ker(u≠µidE)sont orthogonaux.

P������������. SoitAœMn, p(R)avecnØptelle querg(A) =p(ou encoreker(A) = {0}). AlorsAAœSp++(R).

A������������. [�������� ������]

Soientn, pœNetAœMn, p(R)etbœRn. On cherche un vecteurxœRptel queÎbAxÎ2= infyœRpÎbAyÎ2.

(i) Il existe toujours une solution au problème, (ii) xest solution si et seulement siAAx=Ab,

(iii) SinØpetrg(A) =p,AAest inversible et il existe une unique matrice réelleBtriangu- laire inférieure, à diagonale positive, telle queAA=BB, et alorsx= (BB)≠1Ab est une solution.

III. B. Autour du théorème spectral

[Rom��, Ch��, p���]

T���������. [�������� ��������]

Tout endomorphisme deS(E)est diagonalisable dans une b.o.n.

C�����������. SoitAœSn(R). Alors il existePœOn(R)telle quePAPsoit diagonale.

C�����������. Soitu œ S(E). Alorsu œ S+(E)si et seulement siSp(u) µ R+etu œ S++(E)si et seulement siSp(u)µRú+.

A������������. PourAœ Sn(R), on a|||A|||2=fl(A).

A������������. PourAœ Sn+(R), il existe une unique matriceB œSn+(R)telle queA=B2.

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(3)

Agrégation – Leçons ���– Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

T���������. exp :Sn(R)≠æSn++(R)est un homéomorphisme.

IV. Endomorphismes orthogonaux

IV. A. Propriétés et réductions

[Rom��, Ch��, p���]

P������������. SoituœO(E).

• Sp(u)µU={zœC| |z|= 1},

• det(u) =±1. En particulieruest inversible.

P������������. SoituœL(E).

(i) SiuœO(E),utransforme toute b.o.n. en une b.o.n.,

(ii) uœO(E)si et seulement siutransforme une b.o.n. en une b.o.n..

T���������. [��������� ��� �������������� �����������]

SoituœO(E). Il existe une base orthonorméeBtelle que

MB(u) = Q cc ca

Ip1

≠Ip2

R1

...

Rr

R dd db

p1+p2+ 2r=net pour1ÆkÆr,Rk =3 cos(◊k) ≠sin(◊k) sin(◊k) cos(◊k)

4

pour unkœ/fiZ.

IV. B. Structure de groupe de O

n

( R )

[Per��, §V.�/ChVI, p���/���]

P���������� ��. On(R) est un sous-groupe de GLn(R) et On+(R) = {Aœ On(R)|det(A) = 1}est un sous-groupe distingué deOn(R).

D�����������. Soituune symétrie orthogonale. On noteE+ = ker(u≠IdE)etE = ker(u≠IdE)qui vérifientE=E+üE. SidimE= 1, on dit queuest une réflexion. Si dimE= 2, on dit queuest un renversement.

T���������. [����������� ��On(R)��O+n(R)]

• On(R)est engendré par les réflexions orthogonales. Plus précisément, siAœOn(R),A est produit d’au plusnréflexions.

• Pourn Ø 3,O+n(R)est engendré par les réflexions orthogonales. Plus précisément, si AœOn+(R),Aest produit d’au plusnrenversements.

IV. C. Etude en dimensions 2 et 3

[Gri��, §�.��, p���] [Per��, §V.�, p���]

P������������. [����� �� ���������2]

SoituœO(R2)etAla matrice deudans la base canonique deR2. On a deux cas :

• soituœO+(R2)et alors il existe œ[0,2fi[tel queA=3 cos(◊) ≠sin(◊) sin(◊) cos(◊)

4 .uest alors la rotation d’anglecentrée en l’origine,

• soitu /œO+(R2)et alors il existeœ[0,2fi[tel queA=3 cos(◊) sin(◊) sin(◊) ≠cos(◊)

4 .uest alors la symétrie par rapport à la droite d’angle polaire◊/2.

P������������. [����� �� ���������3]

SoituœO(R3). Il existe une baseBdeR3telle que la matrice deudans la baseBsoit : Q

a cos(◊) ≠sin(◊) 0 sin(◊) cos(◊) 0

0 0 Á

R b

pour unœ[0,2fi[et oùÁ=±1vaut :

• 1siuœO+(R3)(uest alors une rotation d’angleautour d’une droite),

• ≠1siu /œO+(R3)(uest alors la composée d’une rotation d’angleautour d’une droite Dpuis d’une symétrie orthogonale par rapport àD).

IV. D. Topologie du groupe orthogonal

[CG��, CHVI, p���] [Rom��, Ch��.�, p���]

P������������. O(E)est une partie compacte deL(E).

P������������. Les composantes connexes deO(E)sont les fermésO+(E)etO(E).

T���������. [������������� �������]

L’application On(R)◊Sn++(R) ≠æ GLn(R)

(O, S) ‘≠æ OS est un homéomorphisme.

A������������. On(R)est le seul sous-groupe compact deGLn(R)contenantOn(R).

A������������. PourAœMn(R), on a|||A|||2=

fl(AA).

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(4)

Agrégation – Leçons ���– Endomorphismes remarquables d’un espace vectoriel euclidien (de dimension finie).

������ ���������

Q Montrer que|||u|||2=|||uú|||2.

R On aÎuú(x)Î22uú(x)|uú(x)Í=Èx| uuú(x)Í Æ ÎxÎ ÎuuúÎ, donc|||uú|||2 Æ|||uuú|||Æ

|||uú||| |||u|||. Puis on procède de même pour montrer que|||u|||2Æ|||uú||| |||u|||. Q Quelle sont les utilisations des moindres carrés?

R Enlever des dimensions à notre système (système surdéterminé). Faire une régression li- néaire. On peut aussi évoquer le théorème deC������en probabilités (modèle de régres- sion linéaire gaussien).

Q Un endomorphismes orthogonal conserve-t-il l’angle orienté?

R Non, regarder les symétries.

Q Que font les projecteurs orthogonaux concernant les angles?

R Ils annulent les angles.

Q Montrer par récurrence surnque siM est nilpotente est non nulle, alorsÏM(Rn) =Roù ÏM :X‘≠æXM X.

R Pourn= 1, il n’y a rien à montrer, car toute matrice nilpotente est nulle.

SiM œ Mn+1(R)est nilpotente, elle est semblable à3 A C

0 0 4

A œ Mn(R)est nilpotente. Si elle est non nulle, par hypothèse de récurrenceÏAest surjective, et doncÏM

aussi (àXon associe(X0), leur image parAetMsont identiques. Sinon,Aest nulle, et par réduction deJ�����on peut supposerC= (0, . . . ,0,1). PrenantX=⁄(0, . . . ,–,—), on aÏM(X) =X(0, . . . ,0,—,0) =–—: c’est dont bien surjectif.

Sinon, on prend l’endomorphisme canoniquement associé àM, ...

�������������

[AK��] G.A������et S.-M.K����:Algèbre linéaire numérique. Ellipses,����.

[CG��] P.C������et J.G������: Histoires hédonistes de groupes et de géométries - Tome�.

Calvage et Mounet,����.

[Gou��] X.G������:Les maths en tête - Algèbre. Ellipses,�èmeédition,����.

[Gri��] J.G������:Algèbre linéaire. Cépaduès,�èmeédition,����.

[Per��] D.P�����:Cours d’algèbre. Ellipses,����.

[Rom��] J.-E.R�������: Mathématiques pour l’agrégation : Algèbre et géométrie. De Boeck,

����.

ÉNS Paris-Saclay –����/���� AntoineB������–https://perso.ens-lyon.fr/antoine.barrier/fr/ Page��sur���

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