Stanislas
Exercices
Endomorphismes d'un espace euclidien
Chapitre XIV
2020-2021PSI
Exercice 1. [Mines]SoientEun espace vectoriel de dimension nien∈N∗ etf un endomorphisme de E. Démontrer l'équivalence entre les asser- tions suivantes :
(i). f est diagonalisable.
(ii). il existenhyperplansH1, . . . , Hnstables parf tels queH1∩ · · · ∩ Hn={0}.
I. Réduction des matrices symétriques
Exercice 2. (-)Diagonaliser dans une base orthonormée les matrices 1. A=
−1 1 1
1 −1 1
1 1 −1
.
2. B =
1 0 · · · 0
0 ... 1
... ... ... ...
0 1 · · · 0
∈
M2n+1(R).
Exercice 3. [CCP]Soitϕ : M2(R)→M2(R), a b
c d
7→
−a c b −d
. 1.Montrer que ϕest un endomorphisme deM2(R).
2.Montrer que les valeurs propres de ϕsont de carré égal à1.
3.Étudier la diagonalisabilité de ϕ. Étudier les sous-espaces propres de ϕ.
Exercice 4.Soient a, b deux réels. Déterminer les valeurs propres puis diagonaliser dans une base orthonormée la matrice A d'ordre n > 2 dénie par
A=
b a a · · · a a b a · · · a ... ... ... ... ...
a · · · a b a a · · · a a b
.
Exercice 5. (-)SoitA= (ai,j)une matrice symétrique d'ordrendont les valeurs propres sontλ1, . . . , λn(comptées avec leur ordre de multiplicté).
Montrer que
n
X
i=1
λ2i =X
i,j
a2i,j.
Exercice 6.SoientAetB deux matrices symétriques réelles d'ordren,A étant à valeurs propres strictement positives.
1.Montrer que ϕ: (X, Y)7→tXAY dénit un produit scalaire.
2.Soitul'endomorphisme canoniquement associé à A−1B. Montrer que ϕ(x, u(y)) =ϕ(u(x), y).
3. En déduire que le polynôme caractéristique de A−1B est scindé sur R.
Exercice 7. [Mines]Soient (x1, . . . , xn) ∈ Rn et M = (xixj)16i,j6n. Dé- terminer les éléments propres deM.
Exercice 8. [Centrale, Mines] Soientpetq deux projecteurs orthogonaux d'un espace euclidien.
1.Montrer que le polynôme caractéristique de u=p+q est scindé.
2.Montrer que Sp(u)⊂[0,2]. DéterminerKer(u) etKer(u−2 Id).
Exercice 9. Soient A et B deux matrices symétriques réelles dont les valeurs propres sont positives (resp. strictement positives). Montrer que Tr(AB)>0 (resp.>).
Exercice 10. [ÉNS] Pour toute matrice A ∈ Mn(R), on note F(A) = nt
XAX
tXX , X ∈Rn\ {0}o .
1.Montrer que Sp(A)∩R⊂F(A).
2.On suppose queA∈Sn(R). Montrer queF(A) est un segment dont vous expliciterez les bornes.
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3. On dit que A est complètement inversible si 0 6∈ F(A). Montrer que, si A est complètement inversible, alors A est inversible et A−1 est complètement inversible.
4. Soit I ⊂ J1, nK. Montrer que si A est complètement inversible, la sous-matriceAI = (ai,j)(i,j)∈I2 est complètement inversible.
Exercice 11. (Matrice de covariance,♥) Soient X1, . . . , Xn des variables aléatoires discrètes réelles possédant un moment d'ordre 2. La matrice de covariance de(X1, . . . , Xn) estΣ = (Cov(Xi, Xj))16i,j6n.
1. Soient−→a = (a1, . . . , an) ∈Rn etX =
n
P
i=1
aiXi. Exprimer la variance deX en fonction de Σ.
2.Montrer queΣest symétrique positive, i.e. pour tout vecteur ligneA, AΣtA>0.
3.En déduire que Σest diagonalisable à valeurs propres positives.
4.À quelle condition 0∈Sp(Σ)? Exercice 12. [Mines]
1.SoitA∈Mn(C)une matrice telle queA2 soit diagonalisable. Montrer queA est diagonalisable si et seulement siKerA= KerA2.
2. Soit A ∈ Mn(R) et B =tAA. Montrer que les valeurs propres de B sont positives.
3.Montrer que KerB = KerA.
On suppose dans la suite de l'exercice queA est antisymétrique réelle.
4.Montrer que les valeurs propres de Asont imaginaires pures.
5.Montrer que A2 est diagonalisable.
6.Montrer que Aest diagonalisable dans Mn(C).
Exercice 13. [Centrale]Soient(E,h,i)un espace euclidien,S(E)l'espace des endormorphismes symétriques de E et S+(E) celui des endomor- phismes symétriques de valeurs propres positives.
1.Déterminer un endomorphisme symétrique deR3 laissant invariant le planx1+x2 = 0.
2.Soit h∈S(E). Montrer que Imh⊕Kerh=E.
3. Soit f ∈S+(E). Montrer l'existence de g ∈S+(E) tel queg2 =f. Un tel endomorphisme est-il unique ?
Exercice 14. [ÉNS] Soit A une matrice inversible réelle d'ordre n qui possèden valeurs propres distinctes. On noteλ1 < . . . < λn ses valeurs propres. On dénit par récurrence,
x(0)∈Rn etx(k+1)=x(k)−α(Ax(k)−b).
1.Déterminer Bα etctels quex(k+1)=Bαx(k)+c.
On dit que la méthode itérative converge si pour toutx(0)∈Rn, la suite (x(n))converge vers un vecteur u tel queAu=b.
2.Déterminer une CNS surα pour que la méthode itérative converge.
3. Montrer que si les valeurs propres ne sont pas de même signe, la méthode ne converge pas.
4.On pose fi :α7→ |1−αλi|.
a) Tracer les fi et déterminer αopt pour lequel la convergence est la plus rapide.
b) Si A est symétrique, déterminer un réel k tel que
x(n)−u 6 kn
x(0)−u .
II. Endomorphismes orthogonaux
Exercice 15. (-)Soit (b1, . . . , bn)∈ Rn tel que Pn
i=1
b2i = 1. On pose A = (bibj)i,j∈
J1,nK. Décrire géométriquement l'endomorphisme canoniquement associé àA et en déduire que 2A−In∈On.
Exercice 16. (-) Dans l'espace euclidien orienté, étudier les endomor- phismes dont la matrice dans une base orthonormée est :
1. 13
−2 −1 2 2 −2 1
1 2 2
. 2.
cosϕcosθ cosϕsinθ sinϕ
−sinθ cosθ 0
−sinϕcosθ −sinϕsinθ cosϕ
.
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Exercice 17. (-)Déterminer la matrice de la rotation d'angleπ/2autour du vecteur de coordonnées(1,1,1).
Exercice 18. [CCP] Soit M ∈ Mn(R) diérente de l'identité telle que M3 =In ettM M =MtM.
1.Montrer que M ∈On(R).
2. Pour n = 3, déterminer l'ensemble des matrices qui satisfont cette relation.
Exercice 19.Soitf ∈L(E). On considère les propriétés : (i). f ∈O(E).
(ii). f ◦f =−IdE.
(iii). ∀ x∈E,hx, f(x)i= 0.
Montrer que deux de ces propriétés entraînent toujours la troisième.
Exercice 20. [ENSAM]On munitR3de sa structure euclidienne canonique orientée. Soient u 6= 0 ∈ R3 et α = kuk. On considère f : R3 → R3, x7→u∧x. On rappelle que sia, b, csont dansR3 alorsa∧(b∧c) = ha, cib− ha, bic.
1.Déterminer Im(f)etKer(f). Calculerf ◦f.
2.Déterminer les matricesAetA2def etf◦f dans la base canonique.
3.Déterminer fn en fonction deα, f etf ◦f. 4.Déterminer l'endomorphismeexp(f) =
+∞
P
n=0 fn
n!. Préciser sa nature géo- métrique.
Exercice 21. [Mines] Soient E un espace euclidien de dimension 3 et u ∈ E. Déterminer les endomorphismes f de E tels que, pour tout x∈E,(x∧u, f(x))est liée.
III. Avec Python Exercice 22. [Centrale]
1.Soit E=
0 1 0
−1 0 0 0 0 0
.
a)Calculer les 4premiers termes de la suite En= I3+ n12En
. b) Calculer les 6 premiers termes de la suite tEnEn. Formuler une conjecture.
c)Démontrer la conjecture.
2.Soit n>2 etM ∈Mn(R) une matrice antisymétrique.
a)Montrer que, siX ∈KerM2, alors X∈KerM.
b)Montrer que la seule valeur propre réelle possible de M est0. c)Étudier la convergence de la suite
In−p12M2 p
p>1.
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