On note S d ( R ) l’ensemble des matrices symétriques de M d ( R ), S d + ( R ) les matrices symétriques positives, et S d ++ ( R ) les matrices symétrique définies positives. Pour x ∈ R d , on note |xi := x et hx| := x T .

TD4 : Algèbre linéaire "facile".

MNO, L3, Dauphine, 2019-2020 D. Gontier, gontier@ceremade.dauphine.fr

On note S _d ( R ) l’ensemble des matrices symétriques de M _d ( R ), S _d ⁺ ( R ) les matrices symétriques positives, et S _d ⁺⁺ ( R ) les matrices symétrique définies positives. Pour x ∈ R ^d , on note |xi := x et hx| := x ^T .

Échauffement

Exercice 1.

Soit (u ₁ , · · · , u _d ) une base orthonormale de R ^d . Montrer que

I d =

d

X

i=1

|u i ihu i |.

Exercice 2.

Soit A ∈ S _d ( R ), et soit λ ₁ ≤ λ ₂ ≤ · · · ≤ λ _d ses valeurs propres rangées dans l’ordre croissant, et soit (u ₁ , · · · , u _d ) une base orthonormale de vecteurs propres associés.

a/ Montrer que

A =

d

X

i=1

λ i |u i ihu i |.

b/ Montrer que pour tout P ∈ R [X ], on a P (A) = P d

i=1 P (λ _i )|u i ihu i |.

c/ En déduire qu’il existe P ∈ R [X ] de degré d tel que P (A) = 0.

d/ On suppose que A ∈ S _d ⁺ ( R ). Montrer que pour tout n ∈ N ^∗ , il existe B _n ∈ S _d ⁺ ( R ) tel que (B _n ) ⁿ = A.

On note généralement B n =: A ^1/n .

Exercice 3.

Soit A : t 7→ A(t) une application continue de [0, 1] à valeurs dans S d ( R ), et soit A := R 1 0 A(t)dt.

a/ Montrer que A ∈ S d ( R ).

b/ On suppose qu’il existe l ≤ L tel que, ∀t ∈ [0, 1], l ≤ A(t) ≤ L. Montrer que l ≤ A ≤ L.

Calcul de valeurs propres

Exercice 4.

a/ On note S ^d−1 :=

x ∈ R ^d , kxk 2 = 1 . Montrer que S ^d−1 est compact, puis que λ 1 = min

hx, Axi _R

, x ∈ S ^d−1 , et λ d = max

hx, Axi _R

, x ∈ S ^d−1 , kxk = 1 .

b/ En déduire que kAk op = max{|λ 1 |, |λ d |}.

Exercice 5. Méthode des puissances itérées

Soit A ∈ S _d ⁺⁺ ( R ). On suppose que les valeurs propres de A sont toutes distinctes. On les note 0 < λ 1 < · · · < λ d , et (u 1 , . . . u d ) est une base orthonormale de vecteurs propres associés.

a/ Soit b ∈ R ^d tel que hb, u d i > 0. Montrer que

n→∞ lim A ⁿ b

kA ⁿ bk = u d , et que λ d = lim

n→∞

kA ⁿ⁺¹ bk kA ⁿ bk . b/ En déduire un algorithme itératif pour calculer λ d et u d .

c/ Soit b ∈ R ^d tel que hb, u d−1 i 6= 0, et soit e b := b − hb, u d iu d . Montrer que

n→∞ lim A ⁿ b e

kA ⁿ bk e = ±u d−1 , et que λ d−1 = lim

n→∞

kA ⁿ⁺¹ e bk

kA ⁿ bk e .

Exercice 6. (Le principe min-max de Courant-Fisher)

Soit A ∈ S d ( R ). On note λ 1 ≤ λ 2 ≤ · · · ses valeurs propres, et (u 1 , · · · u d ) les vecteurs propres associés.

Soit V k l’ensemble des sous-espaces vectoriel de R ^d de dimension k. Pour V ∈ V k . On note µ(V ) := max

hx, Axi, x ∈ S ^d−1 ∩ V , puis µ k := inf {µ(V ), V ∈ V k } . Enfin, pour k ≥ 1, on note L k l’espace vectoriel généré par {u k , u k+1 , · · · u d }.

1/ Pour k = 1, montrer que pour tout V ∈ V 1 , on a µ(V ) ≥ λ 1 . En déduire que λ 1 = µ 1 . 2/ Montrer que pour tout V ∈ V k , on a V ∩ L k 6= {0}.

3/ En déduire que pour tout V ∈ V k , on a µ(V ) ≥ λ _k . 4/ Montrer la formule du min-max :

λ k = µ k = min

V ∈V

max

hx, Axi.

Quelques exercices bonus

Exercice 7. (Projections)

On dit que P ∈ M d ( R ) est une projection si P = P ^T P .

a/ Montrer que si P ∈ M d ( R ) est une projection, alors P ∈ S _d ⁺ ( R ) (P est symétrique positive).

b/ Montrer que P ∈ S d ( R ) est une projection ssi ses seules valeurs propres sont 0 et 1.

c/ Soit P une projection de rang r ∈ N . Montrer que Tr (P) = r, puis qu’il existe r vecteurs orthonormaux (u 1 , · · · , u r ) tel que

P =

r

X

i=1

|u r ihu r |.

Exercice 8. (Produit de Hadamard)

Pour A, B ∈ M d ( R ), on note C := A B ∈ M d ( R ) (produit de Hadamard) la matrice définie par

∀1 ≤ i, j ≤ d, c ij = a ij b ij . 1/ Montrer que si A, B ∈ S d ( R ) alors A B ∈ S d ( R ).

2/ Pour x ∈ R ^d , on note X = diag(x) ∈ S d ( R ) la matrice dont la diagonale est X ii = x i (et de même pour y → Y , z → Z etc.). Montrer que

hx, (A B)yi _R

= Tr (AXBY ) . 3/ On suppose A, B ∈ S _d ⁺ ( R ). Montrer que pour tout x ∈ R ^d , √

AXBX √

A est une matrice symétrique positive.

4/ En déduire que si A, B ∈ S _d ⁺ ( R ), alors A B ∈ S _d ⁺ ( R ).

En Python, le produit de Hadamard se fait simplement avec C = A*B.