Exercice 1. Soit n ≥ 3 un entier et E un espace vectoriel euclidien de dimension n.
Texte intégral
a) Soit f ∈ SO ( E ) . D’apr` es le th´ eor` eme de r´ eduction en forme normale des au- tomorphismes orhogonaux, il existe une base orthonorm´ ee B de E telle que Mat B ( f ) = diag (I r , R ϑ1
On consid` ere le chemin γ ∶ [ 0, 1 ] → SO ( E ) qui associe ` a t ∈ [ 0, 1 ] l’endomorphisme dont la matrice en la base B est diag (I r , R tϑ1
donc f 0,1 = 1. Ainsi il existe j 1 ∈ J 1, n K tel que f j1
et (2) impliquent f j1
Ce proc´ ed´ e peut ˆ etre mis en place non seulement pour E 1 sinon aussi pour E 2 , . . . , E n et donne lieu ` a des indices j 1 , . . . , j n ∈ J 1, n K tels que, pour tout k ∈ J 1, n K on ait ϕ ( E jk
3. Maintenant, ( S k ) k∈ N admet une suite extraite convergente ( S kj
par continuit´ e du produit matriciel. Comme v ≠ 0, on en d´ eduit que ( λ kj
Mais, pour que la suite ( λ kj
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