L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Chapitre XII
D´ eterminant d’une matrice 2 × 2 ou 3 × 3
Table des mati` eres
1 D´eterminant d’une matrice2×2 2
2 D´eterminant d’une matrice3×3 2
3 Crit`ere d’inversibilit´e d’une matrice 2×2 ou 3×3 via le d´eterminant 4
4 D´eterminant et ind´ependance lin´eaire 5
4.1 Cas de la dimension 2 . . . 5 4.2 Cas de la dimension 3 . . . 5
Notation :Le symboleKd´esigneRouC.
1 D´ eterminant d’une matrice 2 × 2
D´efinition (d´eterminant d’une matrice 2×2) :SoitA=
a11 a12
a21 a22
∈ M2(K).
Le d´eterminant deAest l’´el´ement deKnot´e det(A) et d´efini par : det(A) =a11a22−a21a12.
Exemple 1 det 1 2
3 4
= 1×4−2×3 =−2.
Remarque 1
1. SoitA∈ M2(K). SiAest triangulaire (ou diagonale), alors det(A) est donn´e par le produit des coefficients diagonaux deA. Par exemple : det
−1 2 0 3
=−1×3 =−3.
2. SoitA∈ M2(K). SiAa une colonne (ou une ligne) nulle, alors det(A) = 0. Par exemple : det
1 0 2 0
= 1×0−2×0 = 0.
2 D´ eterminant d’une matrice 3 × 3
D´efinition (d´eterminant d’une matrice 3×3) :A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∈ M3(K).
1. Pour touti, j∈J1,3K, on noteAij la matrice 2×2 obtenue `a partir de Aen supprimant lei-`eme ligne et laj-i`eme colonne. On a ainsi, par exemple :
A11=
a22 a23
a32 a33
; A21=
a12 a13
a32 a33
; A31=
a12 a13
a22 a23
.
2. Le d´eterminant de Aest l’´el´ement deKnot´e det(A) et d´efini par :
det(A) =a11 det(A11)−a21 det(A21) +a31 det(A31).
Exemples 2 1. det
1 2 3
4 5 6
7 8 9
= 1×det 5 6
8 9
| {z }
5×9−6×8=−3
−4×det 2 3
8 9
| {z }
2×9−3×8=−6
+ 7×det 2 3
5 6
| {z }
2×6−5×3=−3
=−3 + 24−21 = 0.
2. det
−1 2 3
0 4 5
0 0 6
=−1×det
4 5 0 6
| {z }
6×4=24
−0×det
2 3 0 6
+ 0×det 2 3
4 5
=−24.
Remarque 2 :Soit A∈ M3(K). Si A est triangulaire (ou diagonale), alors det(A) est donn´e par le produit des coefficients diagonaux deA. On peut le v´erifier sur le 2. de l’exemple 2.
Th´eor`eme 1 (d´eveloppement du d´eterminant d’une matrice 3 ×3 suivant une colonne) : Soit A=
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33
∈ M3(K). Alors pour toutj ∈J1,3K, on a :
det(A) =
X3 i=1
(−1)i+j aij det(Aij)
| {z }
d´eveloppement de det(A) suivant laj-i`eme colonne
.
On explicite ces diff´erents d´eveloppements dans les trois cas :j= 1,j= 2 etj= 3.
• D´eveloppement par rapport `a la 1`erecolonne (j= 1)
det(A) =a11 det(A11)−a21 det(A21) +a31 det(A31)
| {z }
d´eveloppement de det(A) suivant la 1`erecolonne
La d´efinition du d´eterminant de A donn´ee ci-dessus correspond au d´eveloppement de det(A) suivant la premi`ere colonne.
• D´eveloppement par rapport `a la 2`emecolonne (j= 2)
det(A) =−a12 det(A12) +a22 det(A22)−a32 det(A32)
| {z }
d´eveloppement de det(A) suivant la 2`emecolonne
• D´eveloppement par rapport `a la 3`emecolonne (j= 3)
det(A) =a13 det(A13)−a23 det(A23) +a33 det(A33)
| {z }
d´eveloppement de det(A) suivant la 3`emecolonne
Remarque 3 :Si la matriceA∈ M3(K) poss`ede une colonne nulle alors det(A) = 0, d’apr`es le th´eor`eme 1.
Remarque 4 :Pour d´eterminer le signe (−1)i+j pour touti, j∈J1,3K, on peut s’aider de la table des signes suivante.
j= 1 j= 2 j = 3
i= 1 + − +
i= 2 − + −
i= 3 + − +
Exemple 3 : SoitA =
1 0 1
4 2 1
3 0 8
On calcule le d´eterminant de A de trois fa¸cons : en d´eveloppant par rapport `a la 1`erecolonne, en d´eveloppant par rapport `a la 2`emecolonne et enfin en d´eveloppant par rapport `a la 3`emecolonne.
• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 1`erecolonne det(A) = 1×det
2 1 0 8
| {z }
2×8=16
−4×det 0 1
0 8
| {z }
0
+ 3×det 0 1
2 1
| {z }
0×1−1×2=−2
= 10
• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 2`emecolonne det(A) =−0×det
4 1 3 8
+ 2×det
1 1 3 8
| {z }
1×8−1×3=5
+ 0×det
1 1 4 1
= 10
• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 3`emecolonne det(A) = 1×det
4 2 3 0
| {z }
4×0−2×3=−6
−1×det 1 0
3 0
| {z }
0
+ 8×det 1 0
4 2
| {z }
1×2=2
= 10
Comme assur´e par le th´eor`eme 1, les trois m´ethodes donnent le mˆeme r´esultat. Mais il apparaˆıt que le d´eveloppement par rapport `a la deuxi`eme colonne est ici plus rapide. De fa¸con g´en´erale, il est plus efficace de d´evelopper par rapport `a une colonne o`u il y a des z´eros (s’il y en a une).
Th´eor`eme 2 (propri´et´es du d´eterminant d’une matrice3×3) 1. SoitA∈ M3(K).
det(A) = det(tA) o`u tAd´esigne la transpos´ee deA.
2. Soit A∈ M3(K). Soient i, j∈ J1,3K deux indices de lignes distincts. Soit α∈R. On note A′ la matrice obtenue en rempla¸cant la ligneLideA par la ligneLi+αLj. Alors :
det(A) = det(A′).
3. Soient A, B∈ M3(K).
det(AB) = det(A) det(B).
Remarque 5
1. La propri´et´e 1. du th´eor`eme 2 est particuli`erement utile quand la matrice consid´er´ee poss`ede une ligne o`u il y a des z´eros (cf. 1. de l’exemple 4). En particulier, en combinant cette propri´et´e et la remarque 3, on voit que siA∈ M3(K) poss`ede une ligne nulle, alors det(A) = 0.
2. La propri´et´e 2. fournit un outil puissant pour ≪faire apparaˆıtre≫ des z´eros sur une ligne.
Exemple 4 :
1. Calculer det
0 3 0
1 1 3
−1 2 −3
.
2. Calculer det
3 3 1
2 1 3
−1 2 −3
.
3. Calculer det
0 3 0
1 1 3
−1 2 −3
3 3 1
2 1 3
−1 2 −3
.
3 Crit` ere d’inversibilit´ e d’une matrice 2 × 2 ou 3 × 3 via le d´ eterminant
Rappel :Soitn∈N∗. SoitA∈ Mn(K). On dit queAest inversible si et seulement si :
∃B∈ Mn(K) AB=BA=In. On a la propri´et´e suivante :
Ainversible ⇐⇒ ∃B ∈ Mn(K) AB=In
⇐⇒ ∃B ∈ Mn(K) BA=In.
Th´eor`eme 3 (crit`ere d’inversibilit´e d’une matrice via le d´eterminant) : Soit n ∈ {2,3}. Soit A ∈ Mn(K). On a :
A est inversible ⇐⇒ det(A)6= 0.
Exemple 5 1. SoitA=
1 2
−1 3
. Calculer det(A), puis conclure quant `a l’inversibilit´e deA.
2. SoitB=
1 2 1
−1 1 −3
3 0 7
. Calculer det(B), puis conclure quant `a l’inversibilit´e deB.
4 D´ eterminant et ind´ ependance lin´ eaire
4.1 Cas de la dimension 2
Th´eor`eme 4 (ind´ependance lin´eaire de deux vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2) : Soit E un K-vectoriel de dimension 2. SoitB = (e1, e2) une base de E. Soientu1, u2 ∈ E deux vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1) et (x2, y2) dans la baseB. On introduit la matrice
MatB(u1, u2) =
x1 x2
y1 y2
des coordonn´ees de la famille (u1, u2) dans la baseB. On a :
(u1, u2) est libre ⇐⇒ det(MatB(u1, u2))6= 0.
Exemple 6
1. Soit (e1, e2) la base canonique deR2. Soientu1= 3e1−e2etu2= 2e1+ 5e2. La famille de vecteurs (e1, e2) est-elle une base de R2?
2. Soient P= 5−X etQ=−1 + 2X. La famille (P, Q) est-elle une base deR1[X] ?
Remarque 6 (interpr´etation g´eom´etrique de la valeur absolue du d´eterminant) :Soit (O;−→ i ,−→
j) un rep`ere orthonorm´e du plan et soient−u→1,−u→2deux vecteurs du plan. On introduits les pointsI, A1, A2d´efinis par :
−→OI =−→
i ; −−→
OA1 =−u→1 ; −−→
OA2=−→u2. On choisit pour unit´e d’aire l’aire d’un carr´e de cˆot´e [OI].
L’aire≪du parall´elogramme form´e sur les pointsO, A1, A2≫ (cf. figure ci-dessous)
1 2 3 4 5
−1
−2
1 2 3 4 5 6
−1
−2
b
O
b
A1
b A2
b
−→ u2
−→ u1
bI
est donn´ee par|det(Mat(→−i ,−→j)(−→u1,−→u2))|.
Si les deux vecteurs−→u1,−u→2 sont colin´eaires, on trouve bien une aire nulle.
4.2 Cas de la dimension 3
Th´eor`eme 5 (ind´ependance lin´eaire de trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 3) : SoitEunK-vectoriel de dimension 3 et soitB= (e1, e2, e3) une base deE. Soientu1, u2, u3∈E trois vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) et (x3, y3, y3). On introduit la matrice
MatB(u1, u2, u3) =
x1 x2 x3
y1 y2 y3
z1 z2 z3
des coordonn´ees de la famille (u1, u2, u3) dans la baseB. On a :
(u1, u2, u3) est libre ⇐⇒ det(MatB(u1, u2, u3))6= 0.
Exemple 7 :
1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique deR3. Soientu1=e1−e2+e3,u2= 2e1+e2−e3etu3=e1+ 2e2−2e3. La famille de vecteurs (u1, u2, u3) est-elle une base deR3?
2. Soient P=X2−X+ 1,Q=X2−2X et R= 3X2. La famille (P, Q, R) est-elle une base deR2[X] ?
Remarque 7 (interpr´etation g´eom´etrique de la valeur absolue du d´eterminant) :Soit (O;−→ i ,−→
j ,−→ k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace et soient−→u1,−u→2,−u→3trois vecteurs de l’espace. On introduit les pointsI, A1, A2, A3
d´efinis par :
−→OI =−→
i ; −−→
OA1=−→u1 ; −−→
OA2=−→u2 ; −−→
OA3=−u→3. On choisit pour unit´e de volume le volume d’un cube de cˆot´e [OI].
Le volume≪du parall´elotope form´e sur les pointsO, A1, A2, A3≫(cf. figure ci-dessous)
b
O
b
A1
b A2
b
−→ u2
−
→u1 b
A3
−→ u3
b b
b
est donn´e par|det(Mat(−→i ,−→j ,−→k)(−u→1,−→u2,−→u3))|.
Si les trois vecteurs−→u1,−→u2,−u→3 sont coplanaires (i.e. lin´eairement d´ependants), on trouve bien un volume nul.