1 D´ eterminant d’une matrice 2 × 2

L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2−2011-2012

D. Blotti`ere Math´ematiques

Chapitre XII

D´ eterminant d’une matrice 2 × 2 ou 3 × 3

Table des mati` eres

1 D´eterminant d’une matrice2×2 2

2 D´eterminant d’une matrice3×3 2

3 Crit`ere d’inversibilit´e d’une matrice 2×2 ou 3×3 via le d´eterminant 4

4 D´eterminant et ind´ependance lin´eaire 5

4.1 Cas de la dimension 2 . . . 5 4.2 Cas de la dimension 3 . . . 5

Notation :Le symboleKd´esigneRouC.

1 D´ eterminant d’une matrice 2 × 2

D´efinition (d´eterminant d’une matrice 2×2) :SoitA=

a11 a12

a21 a22

∈ M2(K).

Le d´eterminant deAest l’´el´ement deKnot´e det(A) et d´efini par : det(A) =a11a22−a21a12.

Exemple 1 det 1 2

3 4

= 1×4−2×3 =−2.

Remarque 1

1. SoitA∈ M2(K). SiAest triangulaire (ou diagonale), alors det(A) est donn´e par le produit des coefficients diagonaux deA. Par exemple : det

−1 2 0 3

=−1×3 =−3.

2. SoitA∈ M2(K). SiAa une colonne (ou une ligne) nulle, alors det(A) = 0. Par exemple : det

1 0 2 0

= 1×0−2×0 = 0.

2 D´ eterminant d’une matrice 3 × 3

D´efinition (d´eterminant d’une matrice 3×3) :A=





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



∈ M3(K).

1. Pour touti, j∈J1,3K, on noteAij la matrice 2×2 obtenue `a partir de Aen supprimant lei-`eme ligne et laj-i`eme colonne. On a ainsi, par exemple :

A11=

a22 a23

a32 a33

; A21=

a12 a13

a32 a33

; A31=

a12 a13

a22 a23

.

2. Le d´eterminant de Aest l’´el´ement deKnot´e det(A) et d´efini par :

det(A) =a11 det(A11)−a21 det(A21) +a31 det(A31).

Exemples 2 1. det





1 2 3

4 5 6

7 8 9



= 1×det 5 6

8 9

| {z }

5×9−6×8=−3

−4×det 2 3

8 9

| {z }

2×9−3×8=−6

+ 7×det 2 3

5 6

| {z }

2×6−5×3=−3

=−3 + 24−21 = 0.

2. det





−1 2 3

0 4 5

0 0 6



=−1×det

4 5 0 6

| {z }

6×4=24

−0×det

2 3 0 6

+ 0×det 2 3

4 5

=−24.

Remarque 2 :Soit A∈ M3(K). Si A est triangulaire (ou diagonale), alors det(A) est donn´e par le produit des coefficients diagonaux deA. On peut le v´erifier sur le 2. de l’exemple 2.

Th´eor`eme 1 (d´eveloppement du d´eterminant d’une matrice 3 ×3 suivant une colonne) : Soit A=





a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33



∈ M3(K). Alors pour toutj ∈J1,3K, on a :

det(A) =

X3 i=1

(−1)^i+j a_ij det(Aij)

| {z }

d´eveloppement de det(A) suivant laj-i`eme colonne

.

On explicite ces diff´erents d´eveloppements dans les trois cas :j= 1,j= 2 etj= 3.

• D´eveloppement par rapport `a la 1<sup>`ere</sup>colonne (j= 1)

det(A) =a11 det(A11)−a21 det(A21) +a31 det(A31)

| {z }

d´eveloppement de det(A) suivant la 1^`erecolonne

La d´efinition du d´eterminant de A donn´ee ci-dessus correspond au d´eveloppement de det(A) suivant la premi`ere colonne.

• D´eveloppement par rapport `a la 2<sup>`eme</sup>colonne (j= 2)

det(A) =−a12 det(A12) +a22 det(A22)−a32 det(A32)

| {z }

d´eveloppement de det(A) suivant la 2^`emecolonne

• D´eveloppement par rapport `a la 3<sup>`eme</sup>colonne (j= 3)

det(A) =a13 det(A13)−a23 det(A23) +a33 det(A33)

| {z }

d´eveloppement de det(A) suivant la 3^`emecolonne

Remarque 3 :Si la matriceA∈ M3(K) poss`ede une colonne nulle alors det(A) = 0, d’apr`es le th´eor`eme 1.

Remarque 4 :Pour d´eterminer le signe (−1)^i+j pour touti, j∈J1,3K, on peut s’aider de la table des signes suivante.

j= 1 j= 2 j = 3

i= 1 + − +

i= 2 − + −

i= 3 + − +

Exemple 3 : SoitA =





1 0 1

4 2 1

3 0 8



 On calcule le d´eterminant de A de trois fa¸cons : en d´eveloppant par rapport `a la 1<sup>`ere</sup>colonne, en d´eveloppant par rapport `a la 2<sup>`eme</sup>colonne et enfin en d´eveloppant par rapport `a la 3<sup>`eme</sup>colonne.

• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 1<sup>`ere</sup>colonne det(A) = 1×det

2 1 0 8

| {z }

2×8=16

−4×det 0 1

0 8

| {z }

0

+ 3×det 0 1

2 1

| {z }

0×1−1×2=−2

= 10

• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 2<sup>`eme</sup>colonne det(A) =−0×det

4 1 3 8

+ 2×det

1 1 3 8

| {z }

1×8−1×3=5

+ 0×det

1 1 4 1

= 10

• Calcul de det(A) en d´eveloppant par rapport `a la 3<sup>`eme</sup>colonne det(A) = 1×det

4 2 3 0

| {z }

4×0−2×3=−6

−1×det 1 0

3 0

| {z }

0

+ 8×det 1 0

4 2

| {z }

1×2=2

= 10

Comme assur´e par le th´eor`eme 1, les trois m´ethodes donnent le mˆeme r´esultat. Mais il apparaˆıt que le d´eveloppement par rapport `a la deuxi`eme colonne est ici plus rapide. De fa¸con g´en´erale, il est plus efficace de d´evelopper par rapport `a une colonne o`u il y a des z´eros (s’il y en a une).

Th´eor`eme 2 (propri´et´es du d´eterminant d’une matrice3×3) 1. SoitA∈ M3(K).

det(A) = det(^tA) o`u ^tAd´esigne la transpos´ee deA.

2. Soit A∈ M3(K). Soient i, j∈ J1,3K deux indices de lignes distincts. Soit α∈R. On note A^′ la matrice obtenue en rempla¸cant la ligneL_ideA par la ligneL_i+αL_j. Alors :

det(A) = det(A^′).

3. Soient A, B∈ M3(K).

det(AB) = det(A) det(B).

Remarque 5

1. La propri´et´e 1. du th´eor`eme 2 est particuli`erement utile quand la matrice consid´er´ee poss`ede une ligne o`u il y a des z´eros (cf. 1. de l’exemple 4). En particulier, en combinant cette propri´et´e et la remarque 3, on voit que siA∈ M3(K) poss`ede une ligne nulle, alors det(A) = 0.

2. La propri´et´e 2. fournit un outil puissant pour ^≪faire apparaˆıtre^≫ des z´eros sur une ligne.

Exemple 4 :

1. Calculer det





0 3 0

1 1 3

−1 2 −3



.

2. Calculer det





3 3 1

2 1 3

−1 2 −3



.

3. Calculer det









0 3 0

1 1 3

−1 2 −3









3 3 1

2 1 3

−1 2 −3







.

3 Crit` ere d’inversibilit´ e d’une matrice 2 × 2 ou 3 × 3 via le d´ eterminant

Rappel :Soitn∈N^∗. SoitA∈ Mn(K). On dit queAest inversible si et seulement si :

∃B∈ Mn(K) AB=BA=I_n. On a la propri´et´e suivante :

Ainversible ⇐⇒ ∃B ∈ Mn(K) AB=In

⇐⇒ ∃B ∈ Mn(K) BA=In.

Th´eor`eme 3 (crit`ere d’inversibilit´e d’une matrice via le d´eterminant) : Soit n ∈ {2,3}. Soit A ∈ Mn(K). On a :

A est inversible ⇐⇒ det(A)6= 0.

Exemple 5 1. SoitA=

1 2

−1 3

. Calculer det(A), puis conclure quant `a l’inversibilit´e deA.

2. SoitB=





1 2 1

−1 1 −3

3 0 7



. Calculer det(B), puis conclure quant `a l’inversibilit´e deB.

4 D´ eterminant et ind´ ependance lin´ eaire

4.1 Cas de la dimension 2

Th´eor`eme 4 (ind´ependance lin´eaire de deux vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 2) : Soit E un K-vectoriel de dimension 2. SoitB = (e1, e2) une base de E. Soientu1, u2 ∈ E deux vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1) et (x2, y2) dans la baseB. On introduit la matrice

MatB(u1, u2) =

x1 x2

y1 y2

des coordonn´ees de la famille (u1, u2) dans la baseB. On a :

(u1, u2) est libre ⇐⇒ det(MatB(u1, u2))6= 0.

Exemple 6

1. Soit (e1, e2) la base canonique deR². Soientu1= 3e1−e2etu2= 2e1+ 5e2. La famille de vecteurs (e1, e2) est-elle une base de R²?

2. Soient P= 5−X etQ=−1 + 2X. La famille (P, Q) est-elle une base deR₁[X] ?

Remarque 6 (interpr´etation g´eom´etrique de la valeur absolue du d´eterminant) :Soit (O;−→ i ,−→

j) un rep`ere orthonorm´e du plan et soient−u→1,−u→2deux vecteurs du plan. On introduits les pointsI, A1, A2d´efinis par :

−→OI =−→

i ; −−→

OA1 =−u→1 ; −−→

OA2=−→u2. On choisit pour unit´e d’aire l’aire d’un carr´e de cˆot´e [OI].

L’aire^≪du parall´elogramme form´e sur les pointsO, A1, A2^≫ (cf. figure ci-dessous)

1 2 3 4 5

−1

−2

1 2 3 4 5 6

−1

−2

b

O

b

A1

b A2

b

−→ u2

−→ u1

bI

est donn´ee par|det(Mat₍^→−_{i ,}^−→_j)(−→u1,−→u2))|.

Si les deux vecteurs−→u1,−u→2 sont colin´eaires, on trouve bien une aire nulle.

4.2 Cas de la dimension 3

Th´eor`eme 5 (ind´ependance lin´eaire de trois vecteurs dans un espace vectoriel de dimension 3) : SoitEunK-vectoriel de dimension 3 et soitB= (e1, e2, e3) une base deE. Soientu1, u2, u3∈E trois vecteurs de coordonn´ees respectives (x1, y1, z1), (x2, y2, z2) et (x3, y3, y3). On introduit la matrice

MatB(u1, u2, u3) =





x1 x2 x3

y1 y2 y3

z1 z2 z3



 des coordonn´ees de la famille (u1, u2, u3) dans la baseB. On a :

(u1, u2, u3) est libre ⇐⇒ det(MatB(u1, u2, u3))6= 0.

Exemple 7 :

1. Soit (e1, e2, e3) la base canonique deR³. Soientu1=e1−e2+e3,u2= 2e1+e2−e3etu3=e1+ 2e2−2e3. La famille de vecteurs (u1, u2, u3) est-elle une base deR³?

2. Soient P=X²−X+ 1,Q=X²−2X et R= 3X². La famille (P, Q, R) est-elle une base deR₂[X] ?

Remarque 7 (interpr´etation g´eom´etrique de la valeur absolue du d´eterminant) :Soit (O;−→ i ,−→

j ,−→ k) un rep`ere orthonorm´e de l’espace et soient−→u1,−u→2,−u→3trois vecteurs de l’espace. On introduit les pointsI, A1, A2, A3

d´efinis par :

−→OI =−→

i ; −−→

OA1=−→u1 ; −−→

OA2=−→u2 ; −−→

OA3=−u→3. On choisit pour unit´e de volume le volume d’un cube de cˆot´e [OI].

Le volume^≪du parall´elotope form´e sur les pointsO, A1, A2, A3^≫(cf. figure ci-dessous)

b

O

b

A1

b A2

b

−→ u2

−

→u1 ^b

A3

−→ u3

b b

b

est donn´e par|det(Mat₍^−→_{i ,}^−→_{j ,}^−→_k)(−u→1,−→u2,−→u3))|.

Si les trois vecteurs−→u1,−→u2,−u→3 sont coplanaires (i.e. lin´eairement d´ependants), on trouve bien un volume nul.