E désigne un K -espace vectoriel de dimension n avec K = R ou C .

Cours sur les déterminants

E désigne un K -espace vectoriel de dimension n avec K = R ou C .

Motivation

Définition-Proposition 1 Soit − → u et − → v deux vecteurs du plan muni de sa base canonique. On note A( − → u , − → v ) l’aire algébrique du parallélogramme construit sur − → u et − → v avec la convention que A( − → u , − → v ) > 0 ssi l’angle orienté ( − → \ u , − → v ) est positif.

On a par des «considérations géométriques» :

• si λ ∈ K ,

A( − → u + − → v , − → w ) = A( − → u , − → w ) + A( − → v , − → w ) et A(λ − → u , − → v ) = λA( − → u , − → v ).

• A( − → u , − → v ) = −A( − → v , − → u ).

• A( − → u , − → v ) = 0 ssi les vecteurs − → u et − → v sont colinéaires.

• A( − → u , − → v ) > 0 ssi ( − → u , − → v ) est une base directe

Proposition 2 (aire d’un parallélogramme et déterminant) Si les vecteurs − → u et − → v ont pour coordonnées (x, y) et (x ^′ , y ^′ ) dans la base canonique, alors :

A( − → u , − → v ) =

x x ^′ y y ^′

= xy ^′ − x ^′ y.

I Groupe symétrique

I.1 Généralités

Définition-Proposition 3 Une permutation de J1 , nK est une bijection de J1 , nK dans J1, nK. L’ensemble des permutations de J1, nK muni de la composition est un groupe, appelé groupe symétrique, noté S n . Il possède n! éléments.

Définition 4 (Transposition et cycle) Deux exemples importants de permuta- tions :

• Soit i 6= j dans J1, nK. On appelle transposition de i et j la permutation de J1 , nK qui échange i et j et fixe les autres points de J1 , nK. On la note ( ij ).

• Soit { a ₁ , . . . , a _p } une partie de J1 , n K. On considère la permutation σ de J1 , n K définie par :

– pour tout i ∈ J1 , p − 1K , σ ₍ a _i ) = a _i+1 et σ ( a _p ) = a ₁ .

– pour tout x ∈ J1 , nK \ J1 , pK, σ ( x ) = x.

La permutation σ est appelé p-cycle (l’ensemble {a 1 , . . . , a p } est le support de σ), on la note σ = ( a ₁ a ₂ . . . a _n ).

Proposition 5 (Générateurs de S _n ) Le groupe S _n est engendré par les cycles ou les transpositions :

• Toute permutation peut s’écrire de manière unique produit de cycles à supports disjoints (des cycles à support disjoints commutent).

• Relation de Chasles : un cycle peut se décomposer en produit de transpositions : ( a ₁ a ₂ . . . a _p ) = ( a ₁ a ₂ )( a ₂ a ₃ ) . . . ( a _p − 1 a _p ) .

• Toute permutation peut s’écrire comme une composée de transpositions.

I.2 Signature d’une permutation

Définition-Proposition 6 Soit σ ∈ S _n . On décompose σ en produit de transposi- tions σ = τ ₁ ◦ · · · ◦ τ _p . Alors la parité de p ne dépend pas de la décomposition.

On dit que σ a pour signature 1 si p est pair, et pour signature −1 sinon. On note ε ( σ ) la signature de σ.

Exemples : la signature d’un p -cycle vaut (−1) ^{p − 1} et celle d’une transposition vaut −1.

Proposition 7 (Morphisme signature) La signature d’une composée est le pro- duit des signatures,c’est-à-dire que la signature est un morphisme de groupe de (S n , ◦) dans ({−1, 1}, ×).

Méthode : pour calculer la signature d’une permutation, on peut la décomposer en produit de cycles à supports disjoints, et utiliser le morphisme signature, sinon, on décompose en produit de transpositions, la signature vaut alors (−1) ^k où k est le nombres de transpositions.

II Définition des déterminants

II.1 Applications p-linéaires alternées

Définition 8 (Notion d’application p -linéaire alternée) Soit E et F deux K - espaces vectoriel et f : E ^p → F une application.

1. L’application f est dite p-linéaire si elle est linéaire par rapport à chacune de ses p variables.

2. L’application f est dite alternée, si lorsqu’on échange deux de ses variables, la valeur de f est multipliée par −1.

Exemples :

• le produit matriciel, et le produit scalaire sont bilinéaires, mais ne sont pas alternés.

• le produit vectoriel est bilinéaire et alternée.

• l’application g : R ³ → R définie par g(x, y, z) = xyz ² est linéaire par rapport à sa première variable mais n’est pas trilinéaire.

Proposition 9 (Propriétés des applications p -linéaires alternées) Soit f : E ^p → F une application p-linéaire alternée.

• Si σ est une permutation de J1 , p K, pour toute famille ( u ₁ , . . . , u _p ) de E , on a f(u σ(1) , . . . , u _σ(p) ) = ε(σ)f (u 1 , . . . , u _p ).

• L’application f s’annule pour une famille qui possède deux fois le même vec- teur. Plus généralement, f s’annule pour toute famille liée.

• On ne change pas la valeur de f, si l’on ajoute à un vecteur de la famille une combinaison linéaire des autres vecteurs.

Exo : soit f : E ³ → F trilinéaire alternée. Soit u, v, w trois vecteurs de E.

Montrer que f ( w + 2 u, 5 u + v + 3 w, 2 u + v ) = −3 f ( u, v, w ).

II.2 Déterminant d’une famille de vecteurs

Définition-Proposition 10 (Déterminant dans B) Soit B = (e 1 , . . . , e _n ) une base de E un K -espace vectoriel de dimension n ∈ N ^∗ .

1. Soit ( x ₁ , . . . , x _n ) une famille de vecteurs de E et A = ( x _ij ) i,j ∈ J1,nK la matrice dans B de la famille (x 1 , . . . , x _n ). On pose

det B ( x ₁ , . . . , x _n ) = ^X

σ ∈ S

ε ( σ ) x _σ(1)1 . . . x _σ(n)n .

L’application det B : E ⁿ → K est une forme n-linéaire alternée sur E, elle vérifie aussi det ^B (B) = 1. On l’appelle application déterminant dans B

2. Toute forme n-linéaire alternée sur E est proportionnelle à det B . En particulier det ^B est l’unique forme n-linéaire alternée sur E vérifiant det ^B (B) = 1.

Remarques :

• pour n = 2 on retrouve l’ expression du déterminant vu pour les matrices de taille 2. Le déterminant de x ₁ et x ₂ représente alors l’aire algébrique du parallélogramme construit sur x ₁ et x ₂ .

• ( ⋆ ) Pour n = 3, connaître la règle de Sarrus en explicitant les 6 permutations

de S 3 dans la formule ^P _σ ∈ S

ε(σ)x σ(1)1 . . . x _σ(n)n . Le déterminant de (x 1 , x ₂ , x ₃ )

est moralement le volume du parallélépipède construit sur x ₁ , x ₂ et x ₃ .

• Moralement, le scalaire det B (x 1 , . . . , x n ) mesure le volume engendré par les vecteurs x ₁ , . . . , x _n , en prenant pour volume de référence celui engendré par la base B, qui est égal à 1.

Exo ( ⋆ ) : calculer avec la formule ci-dessus le déterminant (il vaut −66) :

2 0 0 5 0 1 0 0 0 0 3 0 6 0 0 4

Proposition 11 (Deux propriétés) Soit B et B ^′ deux bases de E un K -espace vectoriel de dimension n. Soit F une famille de n vecteurs de E.

• Formule de changement de base (relation de Chasles) : on a det β (F ) = det

B (B ^′ ) det

B

(F ).

• Caractérisation des bases : la famille F est une base de E , si, et seulement si, det B (F ) 6= 0.

Exemple : (⋆) Déterminer les réels a tels que la famille (X ² , a(X − 1) ² , a ² X ² + aX + 1) soit une base de K ₂ [ X ].

II.3 Déterminant d’une matrice et d’un endomorphisme

Définition 12 (Déterminant d’une matrice) Si A = (a ij ) est une matrice de M n ( K ), on appelle déterminant de A le scalaire :

det A = ^X

σ ∈ S

ε(σ)a σ(1)1 . . . a _σ(n)n

Si C ₁ , . . . , C _n sont les vecteurs colonnes de la matrice A et B la base canonique de K ⁿ , on a

det A = det

B (C 1 , . . . , C _n ).

Définition-Proposition 13 (Déterminant d’un endomorphisme) Soit f est un endomorphisme de E avec dim E = n et B une base de E.

1. Le scalaire det ^B ( f (B)) ne dépend pas de la base B choisie. On l’appelle le déterminant de f , notée det f.

2. Si F est une famille de n vecteurs de E, on a : det B ( f (F )) = det f det

B (F ) .

Moralement, det f est le facteur d’amplification des volumes par f.

3. Si A est la matrice de f dans B, on a alors : det f = det A.

Cela montre en particulier que deux matrices semblables ont même détermi- nant

Remarques :

• Les exemples suivants sont naturels, det(id E ) = 1, et le déterminant de l’ho- mothétie de rapport k vaut k ⁿ avec n = dim E .

• Pour calculer le déterminant d’un endomorphisme, il suffira donc de choisir une base, d’écrire la matrice associée et de calculer son déterminant. Évidemment, il peut y avoir des choix de base qui facilitent les calculs.

Exercice : déterminer le déterminant d’une symétrie vectorielle.

Exercice : calculer le déterminant de l’endomorphisme f de K ₂ [X] définie par f ( P ) = X ² P _X ¹ + 2 P .

Exercice ( ⋆ ) : calculer la somme S = ^P σ ∈ S

ε ( σ ) à l’aide d’un déterminant. En déduire l’espérance d’une matrice aléatoire dont les coefficients sont indépendants et de même loi.

III Propriétés algébriques des déterminants

Proposition 14 (Déterminant et produits)

1. Version endomorphisme : soit f et g deux endomorphismes de E avec dim E = n et λ ∈ K , on a :

(a) det( λf ) = λ ⁿ det f (b) det( f ◦ g ) = det f det g

(c) f est bijective ssi det f 6= 0 et dans ce cas det f ^{− 1} = _det ¹ _f . 2. Version matricielle : soit A et B dans M n ( K ) et λ ∈ K , on a :

(a) det(λA) = λ ⁿ det A (b) det( A × B ) = det A det B

(c) A est inversible ssi det A 6= 0 et dans ce cas det A ^{− 1} = _det ¹ _A .

Remarque : on peut ainsi retrouver que ( ⋆ ) deux matrices semblables ont même déterminant.

Proposition 15 (déterminant d’une transposée) Si A ∈ M n ( K ), on a det( ^t A) = det A .

Exercice ( ⋆ ) : soit A une matrice à coefficients entiers de taille n telle que

A ³ = 2 ^t A . Démontrer que si n est impair, A n’est pas inversible.

IV Méthodes de calcul des déterminants

IV.1 Opérations élémentaires sur les lignes et les colonnes

Proposition 16 (Effet d’une opération élémentaire sur le déterminant) On a

• l’échange de deux lignes L _i ↔ L _j multiplie le déterminant par −1.

• la multiplication d’une ligne par un scalaire λ , L _i ← λL _i multiplie le détermi- nant par λ

• l’ajout à une ligne d’un multiple d’une autre ligne (transvection) L _i ← L _i +λL j

( i 6= j ) conserve le déterminant.

L’énoncé reste valable avec des opérations sur des colonnes.

Elles permettent par exemple à l’aide de l’algorithme de Gauss de se ramener à un déterminant triangulaire.

Proposition 17 (Déterminant triangulaire) Le déterminant d’une matrice tri- angulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

IV.2 Développement suivant une ligne ou une colonne

Définition 18 Soit A ∈ M n ( K ) et ( i, j ) dans J1 , n K ² . On appelle mineur de A d’indice (i, j) noté ∆ i,j (A) le déterminant extrait de A en supprimant la ligne n°i et la colonne n° j . On appelle cofacteur de A le nombre (−1) ^i+j ∆ i,j ( A ).

Définition 19 (Développement suivant une rangée) Soit A ∈ M n ( K ).

• Soit i ∈ J1 , n K. On a

det A = ^X

j=1

a _i,j (−1) ^i+j ∆ i,j ( A ) . On dit que l’on a développé det A suivant la ligne i .

• Soit j ∈ J1 , n K. On a

det A = ^X

i=1

a _i,j (−1) ^i+j ∆ i,j ( A ) . On dit que l’on a développé det A suivant la colonne j.

Remarque :

• on retrouve en réitérant que le déterminant d’une matrice triangulaire est le produit de ses coefficients diagonaux.

• Le développement suivant une ligne ou une colonne peut être est pratique pour

obtenir par exemple des relations de récurrence...

Exo : calculer

D ₄ =

3 2 0 0 1 3 2 0 0 1 3 2 0 0 1 3

Une application : (⋆) déterminant de Vandermonde (méthode avec la factorisa- tion du polynôme x 7→ V ( x ₀ , x ₁ , . . . , x _n , x )).

Définition-Proposition 20 (Comatrice et inverse) Soit A ∈ M n ( K ).

• On appelle comatrice de A notée com(A) la matrice de M n ( K ) dont les coef- ficients sont les cofacteurs de A, c’est-à-dire com( A ) ij = (−1) ^i+j ∆ i,j ( A ).

• On a alors

A × ^t com A = ^t com(A) × A = (det A)I n . En particulier, si A est inversible, on a :

A ^{− 1} = 1 det A

t com( A ) .

Remarque :

• lorsque A est inversible cette formule généralise la formule a b

c d

! ⁻ 1

= 1

ad − bc

d − b

−c a

!

.

• mis à part pour la taille 2, cette formule théorique n’est pas pratique pour calculer l’inverse d’une matrice (elle nécessite n ² calculs de déterminants de taille n − 1, chacun de ces déterminants pouvant être calculés en O ( n ³ ) par pivot de Gauss, on obtient une complexité en O ( n ⁵ )), on préfèrera la méthode du pivot de Gauss de complexité n ³ . Elle exprime toutefois que les coefficients de la matrice A ^{− 1} sont des fractions rationnelles en les coefficients de la matrice A.

V Compléments

V.1 Deux recettes

Proposition 21 (Déterminant triangulaire par blocs) Soit A et B des ma- trices carrées, alors

det A B 0 C

!

= det A × det C

Proposition 22 (Calcul du rang à l’aide de déterminant extrait) Si une ma- trice A ∈ M n,p ( K ) admet un déterminant extrait non nul de taille r, alors rg(A) > r.

On en déduit que le rang de A est égal à la taille du plus grand déterminant non nul

extrait de A .

V.2 Systèmes linéaires

Proposition 23 (Système de Cramer) Soit A ∈ M n ( K ). Alors le système li- néaire d’équation Ax = b admet une unique solution si, et seulement si, det A 6= 0.

On dit alors que le système est de Cramer.

De plus, dans ce cas, si x = ( x ₁ , ..., x _n ) est l’unique solution du système, on a pour tout i ∈ J1, nK, x _i = ^det _detA ^A

où A _j est la matrice de A dans laquelle la i-ième colonne est remplacée par la colonne b.

Remarque : mise à part en taille 2 et sa portée théorique, cette formule n’est pas utilisée. D’un point de vue algorithmique, résoudre le système par les forumules de Cramer a une complexité O(n ⁴ ) (on calcule n + 1 déterminants de taille n), on préférera donc le pivot de Gauss de complexité O ( n ³ ).

V.3 Calcul de valeurs propres à l’aide du polynôme carac- téristique

Ces résultats sont hors-programme de MPSI mais essentiels en SPE.

Définition-Proposition 24 Soit A ∈ M n ( K ), on pose pour tout t ∈ K , χ _A ( t ) = det( tI _n − A ) .

• L’application t 7→ χ _A ( t ) est polynomiale de degré n. On l’appelle polynôme caractéristique de A . On a de plus :

χ _A ( t ) = t ⁿ − Tr( A ) t ^{n − 1} + · · · + (−1) ⁿ det A.

• Soit u l’endomrophisme de K ⁿ canoniquement associé à A . Soit t ∈ K . On a χ _A ( t ) = 0 ⇐⇒ Ker( u − t id) 6= {0} .

En particulier, une racine λ ∈ K du polynôme caractéristique est une valeur propre de u : il existe un vecteur x ∈ K ⁿ non nul tel que u ( x ) = λx .

Remarques :

• Si n = 2, on a χ A (X) = X ² − Tr(A)X + det A, polynôme dont on sait qu’il annule la matrice A . Vous verrez l’année prochaine que ce résultat est valable en taille quelconque : c’est le théorème de Cayley-Hamilton : le polynôme caractéristique de A est un polynôme annulateur de A.

• Les racines du polynôme caractéristique fournissent donc les valeurs propres

de A , qui permettent ensuite de trouver des vecteurs «propres» pour A , utiles

pour la réduction de A.