1. (E, k k) est un espace normé de dimension finie sur R . Cas particulier important : E = R

Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

année UE Approfondissement en analyse

Cours #6 – le 22 mars 2021 –

Deuxième partie. Calcul différentiel Le cadre est le suivant :

1. (E, k k) est un espace normé de dimension finie sur R . Cas particulier important : E = R

.

2. U est un ouvert de E.

3. (F, k k

) est un espace normé sur R .

Cas particulier important : (F, k k

) = ( R , | |).

4. f : U → F .

Chapitre #1. Différentielle

13. f différentiable (en a) implique f continue (en a).

14. Règle de la chaîne pour les différentielles :

Proposition 1. Nous supposons F de dimension finie. Soit V un ouvert de F . Soit (G, k k

) un espace normé sur R . Soient f : U → F telle que f(U ) ⊂ V et g : V → G. Si f est différentiable (en a ∈ U ) et g est différentiable (en b := f(a)), alors g ◦ f est différentiable (en a ∈ U ) et

d

(g ◦ f)(h) = d

g[d

f(h)], ∀ h ∈ E, (1) ou encore

d

(g ◦ f) = [d

g] ◦ [d

f]. (2)

1

Démonstration. Soit r > 0 tel que B(f(a), r) ⊂ V . f étant continue en a, il existe un δ > 0 tel que

[x ∈ U, kx − ak < δ] = ⇒ kf(x) − f(a)k

< r.

Par ailleurs, il existe R > 0 tel que B(a, R) ⊂ U . Soit ρ := min{δ, R}. Nous avons alors

khk < ρ = ⇒ a + h ∈ B(a, ρ) = ⇒ [a + h ∈ U, f (a + h) ∈ B(f(a), r)].

Nous avons

f (a + h) = f (a) + d

f(h) + ε

(h), khk < ρ,

g(f (a) + k) = g(f (a)) + d

g(k) + ε

(k), kkk

< r

avec ε

(h) = o(khk) quand h → 0 et ε

(k) = o(kkk

) quand k → 0.

Si khk < ρ, alors (les o étant entendus quand leurs arguments tendent vers 0)

g(f (a + h)) =g(f(a) + d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h) + ε

(h)) + ε

(d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + d

g(ε

(h)) + o(d

f (h) + ε

(h))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + O(ε

(h)) + o(O(khk) + o(khk))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + O(o(khk)) + o(O(khk))

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + o(khk) + o(khk)

=g(f(a)) + d

g(d

f(h)) + o(khk)

=g(f(a)) + [d

g] ◦ [d

f](h) + o(khk).

L’application [d

g] ◦ [d

f ] étant linéaire, nous obtenons (1).

15. Règle de la chaîne pour les dérivées partielles :

Proposition 2. Dans ce qui précède, nous supposons E = R

et F = R

. Si f = (f

, . . . , f

) est différentiable (en a ∈ U ) et g est différentiable (en b := f(a)), alors

∂(g ◦ f )

∂x

(a) =

m

X

j=1

∂g

∂y

(f (a)) ∂f

∂x

(a), ∀ i ∈ J 1, n K . (3)

2

Démonstration. Nous avons, avec {e

} la base canonique de R

et {e

} la base ca- nonique de R

,

∂(g ◦ f )

∂x

(a) = d

(g ◦ f )(e

) = d

g (d

f (e

)) = d

g ∂f

∂x

(a)

= d

g

m

X

j=1

∂f

∂x

(a) e

!

=

m

X

j=1

∂g

∂y

(f(a)) ∂f

∂x

(a).

.

16. Exercice. Soit f : U → R différentiable, avec U ⊂ R

. Soient a, b ∈ U tels que le segment [a, b] soit dans U . Calculer d

dt f((1 − t)a + tb), t ∈ [0, 1].

17. Exercice de cours. Soient f

, f

:]0, 1[→ R deux fonctions dérivables. Soit f :]0, 1[

→ R ,

f(x

, x

) := f

(x

) + f

(x

), ∀ x

, x

∈]0, 1[.

Montrer que f est différentiable et calculer d

f , ∀ a ∈]0, 1[

.

18. Fonctions plusieurs fois différentiables. Pour simplifier, nous nous pla- çons dans E = R

(pour le cas général, voir le dernier item).

(a) Une fonction est deux fois différentiable si elle est différentiable et si ses dérivées partielles du premier ordre, ∂f

∂x

, ∀ i ∈ J 1, n K , sont diffé- rentiables.

(b) En particulier, si f est deux fois différentiable, alors les dérivées par- tielles du second ordre ∂f

∂x

∂f

∂x

existent, ∀ i, j ∈ J 1, n K . Elles sont notées ∂

f

∂x

∂x

, ou ∂

∂

f , ou encore ∂

f .

(c) Une fonction est trois fois différentiable si elle est une fois différen- tiable et si des dérivées partielles sont deux fois différentiables. Les dé- rivées partielles du troisième ordre, qui existent, sont notées ∂

f

∂x

∂x

∂x

. Etc.

(d) Une fonction est de classe C

, k = 1, 2, , . . ., si f admet des dérivées partielles jusqu’à l’ordre k et si ses dérivées partielles sont continues.

3

(e) Le cas d’un espace quelconque E, normé de dimension n, ne sera pas traité, mais voici comment procéder. Nous fixons une base {e

, . . . , e

} de E et nous définissons

U e := {(x

, . . . , x

) ∈ R

; x

e

+ · · · x

e

∈ U }

f e (x

, . . . , x

) := f(x

e

+ · · · x

e

) ∈ G, ∀ (x

, . . . , x

) ∈ U . e Alors, par définition, f est deux fois différentiable (etc.) si et seulement si f e . Dans le cas où E = R

et nous choisissons la base canonique, nous retrouvons les définitions d’avant. Dans le cas général, une ob- servation importante qui rend ses définitions pertinentes est que les définitions ne dépendent pas du choix de la base {e

, . . . , e

}.

19. Petit exercice. Si f est trois fois différentiable, montrer que les dérivées partielles du second ordre de f sont différentiables.

20. Exercice de cours. Si f est de classe C

(avec k ≥ 1), montrer que f est k fois différentiable.

21. Théorème de Young. Soit U ⊂ R

. Soit f : U → R

une fonction deux fois différentiable. Alors

∂

∂

f (a) = ∂

∂

f (a), ∀ a ∈ U, ∀ i, j ∈ J 1, n K .

22. Corollaire : Théorème de Schwarz. Soit U ⊂ R

. Soit f : U → R

une fonction de classe C

. Alors

∂

∂

f (a) = ∂

∂

f (a), ∀ a ∈ U, ∀ i, j ∈ J 1, n K .

23. Théorème de Fermat. Soit f : U → R une fonction différentiable. Soit a ∈ U un point d’extrémum local de f. Alors d

f = 0.

24. Corollaire. Soit U ⊂ R

. Soit Soit f : U → R une fonction différentiable.

Soit a ∈ U un point d’extrémum local de f. Alors ∇f(a) = 0.

4