Soient f :E → Ret g :E → R, où E est un espace vectoriel normé

TD 4: Fonctions convexes Critère du second ordre pour la convexité ?

Exercice 1. Soient f :E → Ret g :E → R, où E est un espace vectoriel normé. On suppose quef etgadmette une même minorante ane. On dénit l'inf-convolution def etg, notéefg, de la façon suivante :

(fg)(x) = inf

y∈E(f(y) +g(x−y)).

1 Montrer quefg ne prend pas la valeur−∞.

2 Montrer queepi_s(fg) = epi_s(f)⊕epi_s(g), où epi_s désigne l'épigraphe stricte : epi_sf ={(x, t)∈E×R;f(x)< t}

3 En déduire que sif etg sont convexe alors fg est convexe.

4 Laτ-régularisée de Moreau-Yosida d'une fonction convexe minoréef :E→R est :

fτ(x) := inf

u∈Rⁿ

f(u) + 1

2τ kx−uk², τ >0.

(i) Montrer que f_τ est convexe et partout nie.

(ii) Montrer que si τ ≤τ⁰,fτ ≥f_τ⁰, puis que pour x∈E,

τ→0limfτ(x) =f(x).

(iii) Soit C ⊆E :=Rⁿ un ensemble convexe. Calculer les régularisées de Moreau-Yosida de la fonction indicatrice de C,ι_C(x) = 0 six∈C,ι_C(x) = +∞ sinon.

(iv) Calculer les régularisées de la fonction f :x∈R7→ |x|.

Exercice 2. SoientE un espace-vectoriel. On dit quef :E→R est quasi-convexe lorsque

∀x, y∈E,∀t∈]0,1[, f(tx+ (1−t)y)≤max{f(x), f(y)}. (1) 1 Montrer qu'une fonction convexe est quasi-convexe, mais que la réciproque est fausse.

2 Montrer quef est quasi-convexe si et seulement si

∀r∈R, {x∈E, f(x)≤r}est convexe. 3 Soitf quasi-convexe, etC⊆E un sous-ensemble convexe.

(i) Montrer que tout minimum local strict def (surC) est un minimum global.

(ii) Montrer que tout maximiseur local strict de f surC est un point extrémal de C, et se trouve donc sur sa frontière ∂C.

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