Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e

₁

, e

₂

, e

₃

, e

₄

) . Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans B est

A =







1 −1 2 −2

0 0 1 −1

1 −1 1 0 1 −1 1 0







1. Calculer A

²

, (A − I

4

)

²

, A

²

(A − I

4

)

²

. 2. On pose N

1

= ker f

²

et N

2

= ker(f − id

E

)

²

.

a. Calculer les dimensions de N

1

et N

2

et montrer qu'ils sont supplémentaires.

b. Montrer que N

1

et N

2

sont stables par f , c'est à dire f (N

1

) ⊂ N

1

et f (N

2

) ⊂ N

2

. 3. a. Montrer que N

₂

= Im f

²

et N

₁

= Im (f − id

_E

)

²

.

b. Trouver une base U = (u

₁

, u

₂

, u

₃

, u

₄

) de E telle que

Mat

U

f =







0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1







Corrigé

1. On trouve

A

²

=







1 −1 1 −1

0 0 0 0

2 −2 2 −1 2 −2 2 −1







(A − I

4

)

²

=







0 1 −3 3 0 1 −2 2

0 0 1 −1

0 0 0 0







A

²

(A − I

4

)

²

= 0

_M₄(R)

2. a. Comme A

²

= Mat

_A

f

²

et (A − I

4

)

²

= Mat

_A

(f − id

E

)

²

, la formule du rang donne dim N

1

= 4 − rg A

²

et dim N

2

= 4 − rg(A − I

4

)

²

. Ces dimensions sont égales à 2 car les rangs sont égaux à 2 .

Ce calcul des rangs est justié en transformant les matrices par opérations élé- mentaires.

On transforme (A − I

4

)

²

par les opérations L

4

← L

4

− L

3

, L

3

← L

3

− 2L

1

. Le rang est donc le même que celui de







1 −1 1 −1

0 0 0 0

0 0 0 1

0 0 0 0







qui est clairement 2 .

On transforme (A − I

4

)

²

par les opérations L

1

← L

1

+ 3L

3

, L

2

← L

2

+ 2L

1

, L

2

← L

2

− L

1

. Le rang est donc le même que celui de







0 1 0 0

0 0 0 0

0 0 1 −1

0 0 0 0







qui est clairement 2 .

Comme N

1

et N

2

sont deux sous-espaces de dimension 2 d'un espace de dimension 4 , il sut de montrer que leur intersection est réduite au vecteur nul pour prouver qu'ils sont supplémentaires.

Un vecteur v de coordonnées (x, y, z, t) est dans cette intersection si et seulement si (x, y, z, t) est solution d'un système linéaire de 8 équations. Certaines de ces équations sont triviales ( 0 = 0 ) ou équivalentes. Avec les mêmes opérations sur

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aalglin21

(2)

MPSI B 29 juin 2019 les lignes qui ont servi à calculer le rang, elles se ramènent à :

v ∈ N

1

∩ N

2

⇔



 

 

 

 

x− y+z− t = 0 t = 0

y = 0

z− t = 0

⇔



 

 

 

  x = 0 y = 0 z = 0 t = 0

On pouvait aussi raisonner plus vectoriellement. Si x est dans les deux noyaux alors

( f

²

(x) − 2f(x) + x = 0

E

f

²

(x) = 0

_E

⇒







f (x) = 1 2 x f

²

(x) = 0

E

⇒ 0

E

= f

²

(x) = 1

4 x ⇒ x = 0

E

b. Si v ∈ N

1

alors f

²

(f (v)) = f (f

²

(v)) = f (0

E

) = 0

E

donc f (v) ∈ N

1

. Le sous- espace N

1

est stable par f .

De même, si v ∈ N

2

alors (f − id

E

)

²

(f (v)) = f ((f − id

E

)

²

(v)) = f(0

E

) = 0

E

donc f (v) ∈ N

2

. Le sous-espace N

2

est stable par f . Le point important ici est que f commute avec les endomorphismes dont on considère le noyau.

3. a. On a montré à la question 1 que A

²

(A − I

₄

)

²

est la matrice nulle. Cela entraine que f

²

◦ (f − id

E

)

²

et (f − id

E

)

²

◦ f

²

sont égaux à l'endomorphisme nul donc que Im(f

²

) ⊂ N

1

et Im((f − id

E

)

²

) ⊂ N

1

. Par le calcul de rang déjà fait, les deux images sont de dimension 2 . De l'égalité des dimensions, on déduit l'égalité des sous-espaces.

b. Le vecteur u

₂

doit vérier f (u

₂

) = u

₁

et f

²

(u

₂

) = f (u

₁

) = 0

_E

. Il s'agit donc d'un vecteur de N

₁

qui n'est pas dans dans le noyau de f . On trouve de tels vecteurs en considérant les colonnes de (A − I

₄

)

²

. La première ne convient pas car elle correspond à un élément du noyau, en combinant les colonnes 2 et 3 on peut former u

₂

= −e

₁

+ e

₃

puis u

₁

= f (u

₂

) = e

₁

+ e

₂

.

Choisissons un vecteur u

₄

dans N

₂

, par exemple u

₄

= e

₁

qui est dans N

₂

car la première colonne de (A − I

4

)

²

est nulle. Posons u

3

= (f − id

E

)(u

4

) = e

3

+ e

4

. On a alors u

3

= f (u

4

) − u

4

donc f (u

4

) = u

3

+ u

4

. De plus, de (f − id

E

)

²

(u

4

) = 0

E

, on tire alors f (u

3

) = u

3

.

On vérie facilement que la famille U = (e

1

+ e

2

, −e

1

+ e

3

, e

3

+ e

4

, e

1

) est une base. Par construction de ces vecteurs :

Mat

U

f =







0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1







Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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