MPSI B Année 2011-2012 Énoncé DM 14 29 juin 2019
Problème 1
Dans tout l'exercice, E désigne un R-espace vectoriel et f un endomorphisme de E . La dimension de E varie d'une question à l'autre.
1. Dans cette question B = (b 1 , b 2 , · · · , b n ) est une base de E ( n ≥ 2 ). Pour i et j deux entiers distincts entre 1 et n , on dénit une famille
B i,j = (b 0 1 , · · · , b 0 n ) par les relations
∀k ∈ {1, · · · , n} : b 0 k =
b k si k 6= i b i + b j si k = i Montrer que B i,j est une base. Former les matrices de passage.
2. Dans cette question, E est encore de dimension n . Soit f ∈ L(E) telle que Mat B f soit diagonale pour une certaine base B de E . Préciser
Mat B
i,jf
3. a. Montrer que si, pour toute base B de E , Mat B f est diagonale alors f est dans Vect(Id E )
b. Montrer que si f 6∈ Vect(Id E ) alors il existe un x ∈ E tel que (x, f(x)) est libre.
4. Soit U = (u 1 , u 2 , u 3 ) une base de E et Mat U f =
a b c
a 0 b 0 c 0 a 00 b 00 c 00
On note p la projection sur Vect(u 2 , u 3 ) parallelement à Vect(u 1 ) et on dénit un endomorphisme g ∈ L(Vect(u 2 , u 3 )) par :
∀x ∈ Vect(u 2 , u 3 ) : g(x) = p ◦ f (x) Préciser
Mat (u
2,u
3) g
5. On s'interesse maintenant aux endomorphismes de E de trace nulle.
a. Donner, en démontrant le résultat sous-jacent, la dénition de la trace d'un en- domorphisme.
b. Quels sont les éléments de Vect(Id E ) dont la trace est nulle ?
c. On suppose que la dimension de E est 2. Soit f un endomorphisme de E de trace nulle et qui n'est pas dans Vect(Id E ) . Montrer qu'il existe une base U de E telle que tous les termes diagonaux de Mat U f soient nuls.
d. On suppose que la dimension de E est 3. Soit f un endomorphisme de trace nulle de E et qui n'est pas dans Vect(Id E ) . Montrer qu'il existe une base U de E telle que tous les termes diagonaux de Mat U f soient nuls.
Problème 2
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans B est
A =
1 −1 2 −2
0 0 1 −1
1 −1 1 0 1 −1 1 0
1. Calculer A 2 , (A − I 4 ) 2 , A 2 (A − I 4 ) 2 . 2. On pose N 1 = ker f 2 et N 2 = ker(f − id E ) 2 .
a. Calculer les dimensions de N 1 et N 2 et montrer qu'ils sont supplémentaires.
b. Montrer que N 1 et N 2 sont stables par f , c'est à dire f (N 1 ) ⊂ N 1 et f (N 2 ) ⊂ N 2 . 3. a. Montrer que N 2 = Im f 2 et N 1 = Im (f − id E ) 2 .
b. Trouver une base U = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) de E telle que
Mat
U f =
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
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