Dans cet exercice, E est un R-espace vectoriel de dimension nie n et A est un hyperplan de L(E) . Les éléments de A sont donc des endomorphismes de E .

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans cet exercice, E est un R-espace vectoriel de dimension nie n et A est un hyperplan de L(E) . Les éléments de A sont donc des endomorphismes de E .

On suppose de plus que A est stable pour la composition des endomorphismes :

∀(a, a

⁰

) ∈ A

²

, a ◦ a

⁰

∈ A

On se propose de démontrer par l'absurde que Id

E

∈ A . On suppose donc que Id

E

∈ A / . 1. a. Quelle est la dimension de A ? Montrer que A et Vect(Id

E

) sont supplémentaires

dans L(E) .

b. Montrer que, pour tout endomorphisme f ∈ L(E) , il existe un unique nombre réel (noté p(f ) ) tel que f − p(f ) Id

E

∈ A .

c. La question précédente dénit une application p de L(E) dans R. Montrer qu'elle est linéaire et qu'elle vérie

∀(f, g) ∈ L(E)

²

, p(f ◦ g) = p(f )p(g) 2. Montrer que, si f ∈ L(E) et f

²

∈ A , alors f ∈ A .

3. Soit (e

1

, e

2

, · · · , e

n

) une base de E . Pour tout couple (i, j) ∈ J 1, n K, on dénit f

i,j

comme étant l'unique endomorphisme de E vériant

∀k ∈ J 1, n K , f

_i,j

(e

_k

) =

( 0 si k 6= j e

_i

si k = j a. Quel est l'endomorphisme f

1,1

+ f

2,2

+ · · · + f

n,n

? b. Pour i , j , k , l dans J 1, n K, calculer f

i,j

◦ f

k,l

.

c. Soit i et j dans J 1, n K. Montrer que

i 6= j ⇒ f

i,j

∈ A

d. En déduire que f

_i,i

∈ A pour tous les i entre 1 et n . Conclure.

Corrigé

1. a. D'après les résultats de cours, dim(L(E) = (dim(E))

²

= n

²

. En dimension nie, la dimension d'un hyperplan est celle de l'espace qui le contient mois 1 donc dim A = n

²

− 1 .

L'hypothèse Id

E

∈ A / entraîne que V ect(Id

E

) ∩ A = {0

E

} . La relation entre les dimensions entraîne que les espaces sont supplémentaires. On peut donc dénir la projection de L(E) sur V ect(Id

E

) parallèlement à A . Il faut bien garder à l'esprit que ce sont des endomorphismes de E (et non des vecteurs de E ) que l'on projette avec p .

b. Les espaces étant supplémentaires, tout élément de L(E) se décompose de ma- nière unique comme la somme d'un élément de Vect(Id

E

) et d'un élément de A . L'élement de Vect(Id

E

) s'écrit de manière unique comme p(f ) Id

E

. On en tire l'existence et l'unicité du réel p(f ) tel que f − p(f ) Id

E

∈ A (composante dans A de la décomposition de f .

c. Soit f et g dans L(E) avec des composantes dans A respectivement a et b . Soit λ ∈ R.

f = p(f ) Id

_E

+a g = p(g) Id

E

+b

)

⇒



 

 

 

 

λf = λp(f)

| {z }

∈R

Id

E

+λa

∈A

f + g = p(f ) + p(g)

| {z }

∈R

Id

E

+a + b

∈A

On en déduit la linéarité. La fonction p est une forme linéaire.

De plus, comme A est un sous-espace vectoriel stable par composition, f ◦ g = (p(f ) Id

E

+a) ◦ (p(g) Id

E

+b) = p(f )p(g)

| {z }

∈R

Id

E

+p(f )b + p(g)a + a ◦ b

| {z }

∈A

donc p(f ◦ g) = p(f )p(g) . 2. Soit f ∈ L(E) avec f

²

∈ A . Alors

0 = p(f

²

) = (p(f ))

²

⇒ p(f ) = 0 ⇒ f ∈ A

3. À cause du théorème de prolongement linéaire, un endomorphisme est complètement déterminé par les images des vecteurs d'une base.

a. Soit ϕ l'endomorphisme somme des f

_i,i

. Pour tout k ∈ J 1, n K, ϕ(e

k

) =

n

X

i=1

f

i,i

(e

k

) = 1 car f

i,i

(e

k

) =

( 1 si i = k 0 si i 6= k

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai Aalglin26

(2)

MPSI B 29 juin 2019

On en déduit f

1,1

+ · · · + f

n,n

= Id

E

car les deux endomorphismes coîncident sur les vecteurs d'une base.

b. Examinons l'image de e

z

. f

i,j

◦ f

k,l

(e

z

) =



 

 

0( si z 6= l) f

i,j

(e

k

)( si z = l) =

( 0 si k 6= j e

i

si k = j

En conclusion :

f

i,j

◦ f

k,l

=

( 0

_L(E)

si k 6= j f

_i,l

si k = j

c. Pour i 6= j , f

_i,j²

= 0

_L(E)

∈ A . On en déduit (question 2.) que f

i,j

∈ A .

d. Pour n'importe quel i , on peut écrire f

i,i

= f

i,j

◦ f

j,i

avec un j quelconque diérent de i . Comme f

i,j

et f

j,i

sont dans A , la stabilité de A implique que f

i,i

∈ A . Ainsi, tous les f

i,j

sont dans A . La somme de tous les f

i,i

qui est Id

E

(question 3.a) en contradiction avec l'hypothèse.

On en conclut qu'un hyperplan de L(E) stable par composition doit contenir Id

E

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

2

Rémy Nicolai Aalglin26