Dans cet exercice, E est un R-espace vectoriel de dimension nie n et A est un hyperplan de L(E) . Les éléments de A sont donc des endomorphismes de E .

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Exercice

Dans cet exercice, E est un R-espace vectoriel de dimension nie n et A est un hyperplan de L(E) . Les éléments de A sont donc des endomorphismes de E .

On suppose de plus que A est stable pour la composition des endomorphismes :

∀(a, a

⁰

) ∈ A

²

, a ◦ a

⁰

∈ A

On se propose de démontrer par l'absurde que Id

E

∈ A . On suppose donc que Id

E

∈ A / . 1. a. Quelle est la dimension de A ? Montrer que A et Vect(Id

_E

) sont supplémentaires

dans L(E) .

b. Montrer que, pour tout endomorphisme f ∈ L(E) , il existe un unique nombre réel (noté p(f ) ) tel que f − p(f ) Id

E

∈ A .

c. La question précédente dénit une application p de L(E) dans R. Montrer qu'elle est linéaire et qu'elle vérie

∀(f, g) ∈ L(E)

²

, p(f ◦ g) = p(f )p(g) 2. Montrer que, si f ∈ L(E) et f

²

∈ A , alors f ∈ A .

3. Soit (e

1

, e

2

, · · · , e

n

) une base de E . Pour tout couple (i, j) ∈ J 1, n K, on dénit f

i,j

comme étant l'unique endomorphisme de E vériant

∀k ∈ J 1, n K , f

i,j

(e

k

) =

( 0 si k 6= j e

i

si k = j a. Quel est l'endomorphisme f

1,1

+ f

2,2

+ · · · + f

n,n

? b. Pour i , j , k , l dans J 1, n K, calculer f

_i,j

◦ f

_k,l

.

c. Soit i et j dans J 1, n K. Montrer que

i 6= j ⇒ f

i,j

∈ A

d. En déduire que f

i,i

∈ A pour tous les i entre 1 et n . Conclure.

Problème

Dans tout le problème, on notera f la fonction continue dans [0, +∞[ telle que

∀t > 0, f (t) = sin t t On désigne par F la primitive de f nulle en 0 .

I. Études locales en 0.

1. Justier l'existence de f et préciser sa valeur en 0 .

2. Former un développement asymptotique en 0 de la fonction t → 1

sin t dénie dans ]0, π[ . Le reste devra être o(t

²

) .

3. Former un développement asymptotique en 0 de la fonction t → cos t

sin

²

t dénie dans ]0, π[ . Le reste devra être o(t) . 4. Montrer que la fonction

t → 1 t − 1

sin t

dénie dans ]0, π[ admet un prolongement continu à [0, π[ . Montrer que ce prolongement est de classe C

¹

.

II. Calcul de l'intégrale de Dirichlet.

1. Lemme de Riemann-Lebesgue. Soit ϕ ∈ C

¹

([0,

^π₂

]) . Montrer que la suite Z

^π₂

0

ϕ(t) sin(nt) dt

!

n∈N

converge vers 0 .

2. a. Pour a et b réels, exprimer 2 sin(a) cos(b) comme une somme.

b. Pour tout t ∈]0, π[ , exprimer

1 + 2 cos(2t) + 2 cos(4t) + · · · + 2 cos(2nt) à l'aide d'un quotient de deux valeurs de la fonction sin . 3. Pour tout n ∈ N, montrer que

Z

^π₂

0

sin ((2n + 1)t) sin(t) dt = π

2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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4. Montrer que

F

(2n + 1) π 2

n∈N

→ π 2 5. Soit x > 0 et n la partie entière de

^x_π

.

a. Montrer que

F (x) − F( π 2 + nπ)

≤ 1

n b. Montrer que F converge en +∞ et préciser sa limite

¹

.

III. Équation diérentielle.

Pour n entier naturel, on considère l'équation diérentielle (E

n

) : y

⁰⁰

(x) + y(x) = x

ⁿ

où la fonction inconnue y est à valeurs réelles et dénie dans R.

On considère également la proposition

P

n

: il existe P

n

et Q

n

dans R [X] tels que

∀x > 0 : f

⁽ⁿ⁾

(x) = P

_n

(x) sin

⁽ⁿ⁾

(x) + Q

_n

(x) sin

⁽ⁿ⁺¹⁾

(x) x

ⁿ⁺¹

Les puissances entre parenthèses désignent des ordres de dérivation.

1. a. En utilisant une argumentation d'algèbre linéaire, montrer que (E

n

) admet une unique solution polynomiale et qu'elle est de degré n . On la désigne par A

n

. b. Préciser l'ensemble des solutions de (E

_n

) . Quelle est la structure de cet ensemble

dans l'espace des fonctions de R dans R ? c. On note

A

_n

= a

₀

+ a

₁

X + · · · + a

_n

X

ⁿ

Préciser a

n

, a

_n−1

et une relation entre a

k

et a

k+2

pour k ∈ J 0, n − 2 K. En dé- duire des expressions de a

_n−2i

et a

_n−2i−1

ne contenant que des factorielles. (On précisera les intervalles contenant i ).

2. a. Vérier P

n

pour n = 0, 1, 2 en précisant les polynômes P

n

et Q

n

.

b. Montrer P

n

pour tout entier n . Préciser les expressions de P

_n+1

et Q

_n+1

en fonction de P

_n

et Q

_n

.

1Cette limite est appelée l'intégrale de Dirichlet

3. a. Montrer que P

n

et Q

n

sont à coecients dans Z, préciser le degré, la parité et le coecient dominant de ces polynômes.

b. Calculer P

3

et Q

3

.

4. Soit U et V deux polynômes vériant

∀x > 0, U(x) sin(x) + V (x) cos(x) = 0 Montrer que U et V sont égaux au polynôme nul.

5. a. En utilisant la formule de Leibniz et la relation

∀x > 0, xf(x) = sin(x) former deux nouvelles relations entre P

_n+1

, Q

_n+1

, P

_n

, Q

_n

.

b. En déduire P

_n⁰

= Q

_n

et que P

_n

est l'unique solution polynomiale A

_n

de l'équation diérentielle (E

_n

) .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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