MPSI B Année 2015-2016 DM 14 vendredi 15/04/15 29 juin 2019
Exercice
Soit E = (e 1 , e 2 , e 3 ) une base d'un R-espace vectoriel E . On dénit trois vecteurs a 1 , a 2 , a 3 de E par :
a 1 = e 1 + e 2 + e 3
a 2 = e 1 + e 3
a 3 = −e 1 + e 2 + 2e 3 1. Montrer que
A = (a 1 , a 2 , a 3 ), A 1 = (e 1 , a 2 , a 3 ), A 2 = (a 1 , e 2 , a 3 ) sont des bases. Préciser les matrices de passage
P AE , P A
1E , P A
2E
2. On note p 1 le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallèlement à Vect(e 1 ) . Calculer : Mat E p 1 , Mat
A p 1 , Mat
EA p 1 , Mat
AE p 1
3. On note p 2 le projecteur sur Vect(e 2 , e 3 ) parallèlement à Vect(a 1 ) . Calculer : Mat E p 2 , Mat
A p 2 , Mat
EA p 2 , Mat
AE p 2
Problème 1
Soit E un R-espace vectoriel de dimension 4 muni d'une base B = (e 1 , e 2 , e 3 , e 4 ) . Soit f un endomorphisme de E dont la matrice dans B est
A =
1 −1 2 −2
0 0 1 −1
1 −1 1 0 1 −1 1 0
1. Calculer A 2 , (A − I 4 ) 2 , A 2 (A − I 4 ) 2 . 2. On pose N 1 = ker f 2 et N 2 = ker(f − id E ) 2 .
a. Calculer les dimensions de N 1 et N 2 et montrer qu'ils sont supplémentaires.
b. Montrer que N 1 et N 2 sont stables par f , c'est à dire f (N 1 ) ⊂ N 1 et f (N 2 ) ⊂ N 2 . 3. a. Montrer que N 2 = Im f 2 et N 1 = Im (f − id E ) 2 .
b. Trouver une base U = (u 1 , u 2 , u 3 , u 4 ) de E telle que Mat U f =
0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1
Problème 2
I. Endomorphisme et matrice compagnon
Soit E un C espace vectoriel de dimension p et B = (e 1 , · · · , e p ) une base de E . Soit
P = a 0 + a 1 X + · · · + a p−1 X p−1 + X p
un polynôme à coecients complexes. On dénit un endomorphisme f de E par les relations suivantes :
f (e 1 ) = e 2 , f (e 2 ) = e 3 , · · · , f (e p−1 ) = e p , f(e p ) = −a 0 e 1 − a 1 e 2 − · · · − a p−1 e p On dira que f est l'endomorphisme compagnon associé à P .
Lorsque Q = b 0 + b 1 X + · · · + b n X n ∈ C [X ] , on pose
Q(f) = b 0 Id E + b 1 f + · · · + b n f n où f k = f ◦ · · · ◦ f ( k fois).
1. Préciser la matrice de f dans B . On dira que cette matrice est la matrice compagnon associée à P .
2. A-t-on Q(f ) ◦ f = f ◦ Q(f) ? Calculer P(f )(e 1 ) . Montrer que P(f ) = 0 L(E)
3. On dira qu'un nombre complexe λ est une valeur propre de f si et seulement si il existe un vecteur non nul x de E tel que
f (x) = λx
On dit alors que x est un vecteur propre de valeur propre λ .
a. Montrer que si λ est une valeur propre de f alors λ est une racine de P . b. Soit λ une racine de P . On pose P = (X − λ)Q avec Q ∈ C [X ] . Montrer que
Q(f )(e 1 ) 6= 0 E
En déduire (en précisant un vecteur propre) que λ est une valeur propre.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai M1514EMPSI B Année 2015-2016 DM 14 vendredi 15/04/15 29 juin 2019
II. Condition de Hadamard. Disques de Ger²gorin
Soit A ∈ M p ( C ) , on dénit les nombres réels r 1 (A), · · · , r p (A) par
r i (A) = X
j∈{1,···,p}−{i}
|a ij |
Le i ème disque de Ger²gorin (noté Γ i (A) ) est le disque centré en a ii et de rayon r i (A) . Le domaine de Ger²gorin (noté Γ(A) ) est l'union des disques de Ger²gorin.
1. Soit A ∈ M p ( C ) , montrer que A est non inversible si et seulement si il existe une matrice colonne X non nulle telle que AX soit la matrice colonne nulle.
2. Soit A une matrice non inversible. Montrer qu'il existe un m tel que
|a mm | ≤ r m (A) On pourra considérer max(|x 1 ], · · · , |x p |) .
3. On dira qu'un nombre complexe λ est une valeur propre de A si et seulement si la matrice A − λI p n'est pas inversible.
Montrer que toutes les valeurs propres de A sont dans le domaine de Ger²gorin de A . 4. Soit P ∈ C [X] et A la matrice compagnon associée à ce polynôme. Montrer que les racines de P sont dans le domaine de Ger²gorin de A . Préciser ce domaine pour les deux polynômes suivants :
P = − 1 + iX − 4X 2 − (1 + i)X 3 + X 4 (1) P = − 2 + iX − jX 2 − 4X 3 + X 4 (2)
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
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