Un sous- ensemble A⊂E est convexe dans E si et seulement si ∀x, y∈A, ∀t∈[0,1], tx+ (1−t)y∈A

UNE QUESTION D’APPUIS

FR ´ED ´ERIC MANGOLTE ET CHRISTOPHE RAFFALLI

Introduction.

La motivation originale de ce travail est une ´etape dans la preuve du r´esultat suivant tir´e de l’article [2].

Th´eor`eme 1. Let X be a real Del Pezzo surface of degree 1 homeomorphic to the disjoint union of 4 spheres and a projective plane, then every smooth map f :X →S² can be approximated by regular maps.

Voir l’article cit´e pour les d´efinitions et motivations de ce th´eor`eme.

1. Rappels.

D´efinition 2 (Convexe). Soit E un espace euclidien de dimension n. Un sous- ensemble A⊂E est convexe dans E si et seulement si

∀x, y∈A, ∀t∈[0,1], tx+ (1−t)y∈A .

D´efinition 3 (Enveloppe convexe). Soit A ⊂ E un sous-ensemble quelconque, l’enveloppe convexe de A dansE est le plus petit (au sens de l’inclusion) convexe deE qui contientA.

D´efinition 4 (Point extr´emal). Soit A un ensemble. On dira qu’un point x∈A est un point extr´emal de A si l’enveloppe convexe de A priv´ee de x est toujours convexe.

Th´eor`eme 5(Krein-Milman). Tout compact convexe non vide d’un espace eucli- dien admet un point extr´emal.

D´emonstration. Voir par exemple [1]. ut

Corollaire 6. Tout compact non vide d’un espace euclidien admet un point extr´emal.

D´emonstration. SoitAun compact non vide d’un espace euclidien. SoitAc l’enve- loppe convexe deA. Par Krein-Milman, il existe x∈Ac extremal. On ax∈A. En effet,A_c\ {x} est convexe et six6∈A, c’est un convexe contenantAet strictement

inclus dans A_c ce qui est impossible. ut

2. Hyperplan de n-appui.

D´efinition 7 (Hyperplan d’appui). Soit H un hyperplan d’un espace euclidien E d’´equationl(x) =ao`ulest une forme lin´eaire eta∈R. On noteH<sup>+</sup>le demi-espace {x∈E;l(x)≥a}etH<sup>−</sup>le demi-espace{x∈E;l(x)≤a}. SoitAun sous-ensemble deE etx∈A. On dira que H est un hyperplan d’appui `aA enx, si et seulement si

(1) x∈A∩H

(2) A⊂H⁺ ouA⊂H⁻

Nous remercions P. Verovic pour une discussion fondatrice et V. Grandjean pour sa relecture attentive.

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2 FR ´ED ´ERIC MANGOLTE ET CHRISTOPHE RAFFALLI

On dira aussi queH s’appuie sur Aen x.

Si Aest un sous ensemble dePⁿ(R)et x∈A, on dira queH s’appuie surAen x ssi il existe une carte affineE dePⁿ(R) telle que x∈E et telle queH s’appuie sur A enxdansE.

D´efinition 8 (Hyperplan de r-appui). Soient A1, . . . , Ar, des sous-ensembles de Pⁿ(R). On dira queH est un hyperplan der-appui `aA1, . . . , Ars’il existe des points x<sub>1</sub>∈A<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>∈A<sub>2</sub>, . . . , x<sub>r</sub>∈A<sub>r</sub>tels queH soit un hyperplan d’appui `aA_i enx_i pour tout1≤i≤r.

Th´eor`eme 9. Soit n ∈ N et soient {Ai}<sub>1≤i≤n</sub>, des sous-ensembles ferm´es et connexes de P<sup>n</sup>(R). Supposons qu’il existe un point p ∈ P<sup>n</sup>(R) tel qu’aucun hy- perplan passant par p ne rencontre tous les Ai, alors il existe un hyperplan de n-appui `aA1, . . . , An.

D´emonstration. On noteP=Pⁿ(R) etP^∗= (Pⁿ(R))^∗ le projectif dual.

Remarque : l’hypoth`ese sur l’existence du pointpimplique que les ensemblesA<sub>i</sub> sont deux `a deux disjoints.

A chaque hyperplan` H ⊂P d’´equationP

λkxk = 0, on associe le point H^∗ = (λ₁:λ₂:. . .:λ_n) du projectif dualP^∗. `A chaque pointpdeP, on associe l’hyperplan dual de P^∗, not´ep^∗={H^∗, p∈H}.

Notons H l’ensemble des hyperplans de P qui rencontrent tous les Ai. Par le nombre de sous-ensemblesAi, l’ensembleHest non vide.

Soit H ∈ H, pour tout i, 1 ≤ i ≤ n, H ∩Ai 6= ∅. Notons H^∗ l’image de H dans le projectif dual P^∗. Par hypoth`ese, H<sup>∗</sup> est contenu dans le compl´ementaire de l’hyperplanp<sup>∗</sup> deP<sup>∗</sup>. En effet, p<sup>∗</sup> correspond `a l’ensemble des hyperplans deP passant par p.

Notons Up l’ouvert affine compl´ementaire de p^∗ dansP^∗. Lemme 10. H^∗ est compact dansU_p.

D’apr`es le Corollaire 6 de Krein-Milman et le Lemme 10, H<sup>∗</sup> admet donc un point extr´emalH<sup>∗</sup>. Montrons queH est un hyperplan den-appui auxA1, . . . , An. En contraposant, consid´erons un hyperplanH deHqui ne s’appuie pas surA1. CommeH ∈ H, pour touti, 2≤i≤n, il existeyi∈Ai∩H. SoitP1 un hyperplan qui passe par pety2, . . . , yn. Par hypoth`ese P1 ne rencontre pas A1. Donc A1 est connexe dans P\P₁. CommeH n’est pas d’appui `a A₁, il n’est pas d’appui dans la carte affine E =P\P₁. Pla¸cons nous dans l’espace affine E. L’hyperplanH y d´efinit deux demi-espaces et il existex₁∈A₁∩H⁺\H et x₂∈A₁∩H⁻\H.

SoitS le segment ferm´e [x₁, x₂] deE(qui passe donc parH). Montrons que tout hyperplan deE rencontrantSrencontreA₁(1) : soitP un hyperplan deE passant parS. SiP∩S=x1oux2 c’est imm´ediat. Sinon supposons queP∩S∈]x1, x2[ et A1∩P =∅. SoitO⁺=P⁺\P et O⁻ =P⁻\P. O⁺ et O⁻ sont deux ouverts de E et A1⊂O⁺∪O⁻. Le sous-espaceA1 ´etant connexe dans E, on aA1⊂O⁺ ou A1⊂O⁻, ce qui est impossible carx1∈O⁺ et x2∈O⁻ (ou l’inverse).

Pour toutyappartenant `aS, soitHyl’hyperplan d´etermin´e pary, y2, . . . , yn(Hy

est bien d´efini car les pointsy2, . . . , ynsont deux `a deux distincts et n’appartiennent pas `aEtandis quey∈S⊂E). L’hyperplanHyappartient `aHpuisqu’il rencontre A1par la propri´et´e (1) et cary∈Hy∩E6=∅.

Les points y2, . . . , yn d´efinissent une droite D de P^∗ et on a H_y^∗ ∈ D. Donc l’ensemble des H_y^∗ pour y ∈[x1, x2] est un segment S^∗ ferm´e de Up (carp6∈Hy) dont les deux extr´emit´es sont dansH^∗. Soity0=S∩H,H^∗=H_y^∗₀ est un point `a l’int´erieur deS<sup>∗</sup>, il appartient donc `a l’enveloppe convexe deH^∗ et il ne peut ˆetre extr´emal, car on perd la convexit´e si on le retire. ut

UNE QUESTION D’APPUIS 3

Preuve du lemme 10. NotonsH_il’ensemble des hyperplans qui rencontrentA_i. On a H^∗=∩_1≤i≤nH^∗_i.Ai´etant ferm´eH^∗_i est ferm´e, c’est la classe d’´equivalence d’une sous-ensemble ferm´eBi de la sph`ere unit´e deRⁿ⁺¹. SoitH un hyperplan de P ne rencontrant pasAi, c’est un hyperplan deRⁿ⁺¹ ne rencontrant pasBi. CommeBi

est compact il y a un voisinage de H qui ne rencontre pasBi doncAi.

De plus, H^∗ est born´e dansUp car H^∗∩p^∗=∅et H^∗ est un ferm´e deP^∗ donc

finalementH^∗ est un compact deUp. ut

R´ef´erences

[1] N. BourbakiEspaces vectoriels topologiques, chap. II.4.th. 1, Hermann, Paris 1953

[2] N. Joglar, F. Mangolte, Real algebraic morphisms and Del Pezzo surfaces of degree 2Journal of Algebraic Geometry 13(2004) 269–285

Laboratoire de Math´ematiques, Universit´e de Savoie, 73376 Le Bourget du Lac Ce- dex, France, Fax : (33) 4 79 75 81 42

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