MPSI B 2010-2011 DS 11 29 juin 2019
Problème 1.
On désigne par E un espace euclidien dans lequel le produit scalaire de deux vecteurs x et y est noté (x/y) et la norme d'un vecteur x est notée ||x|| = p
(x/x) .
Soit α ∈ [−1, 1] , une partie A de E est dite α -isogonale si et seulement si elle vérie les conditions suivantes :
∀x ∈ A : kxk = 1
∀(x, y) ∈ A 2 : x 6= y ⇒ (x/y) = α
Une partie est dite isogonale si et seulement si elle est α -isogonale pour un certain α . L'objet de ce problème 1 est l'étude des parties isogonales.
Partie I. Dans un plan orienté.
Dans cette partie, E est un espace euclidien orienté de dimension 2. Pour tout réel θ , on désigne par r θ la rotation d'angle θ dans E .
1. Soit α ∈ [−1, 1] , θ = arccos α et x , y deux vecteurs unitaires de E . Montrer que (x/y) = α ⇔ (x = r θ (y) ou y = r θ (x))
2. Soit α = − 1 2 , θ = 2π 3 et x unitaire. Montrer que
x, r θ (x), r θ 2 (x) est α -isogonale.
3. L'objet de cette question est de montrer que les parties isogonales dénies dans la ques- tion précédente sont les seules parties isogonales contenant au moins trois éléments.
a. Soit α ∈ [−1, 1] , θ = arccos α , A une partie α -isogonale à trois éléments et x ∈ A . Montrer que θ = 2 3 π et que A = {x, r θ (x), r 2 θ (x)} .
b. Soit A une partie α -isogonale à trois éléments et B une partie α -isogonale conte- nant A . Montrer que B = A . Conclure.
Partie II. En dimension 3.
Dans cette partie, E est euclidien de dimension 3 .
1. Soit β ∈ [−1, +1] et A = {u 1 , · · · , u k } une partie β -isogonale à k éléments avec k ≥ 4 . On veut montrer que k = 4 et β = − 1 3 .
Pour i ∈ {1, · · · , k − 1} , on note v i le projeté orthogonal de u i sur le plan orthogonal à u k (noté H ) et w i = kv 1
i
k v i .
1
premières parties de l'épreuve Math2 ENSI de physique 1988
Fig. 1: Parties isogonales.
a. Montrer que β ∈] − 1, 1[ .
b. Donner une expression de v i et calculer les (v i /v j ) . c. Montrer que k = 4 et β = − 1 3 .
2. Dans cette question, on veut construire une partie isogonale à 4 éléments.
Soit G un sous-espace de dimension 2 de E et t un vecteur unitaire orthogonal à G . Soit {u, v, w} une partie − 1 2 -isogonale de G . Pour tout couple (µ, ν) de réels, on pose
A µ,ν = {t, µu + νt, µv + νt, µw + νt}
Déterminer les couples (µ, ν) de réels tels que A µ,ν soit − 1 3 -isogonale.
Partie III. En dimension quelconque
Dans cette partie E est euclidien de dimension n ≥ 3 .
Pour tout entier k ≥ 2 et pour tous réels a et b , on désigne par P k (a, b) la matrice à k lignes et k colonnes dont tous les termes diagonaux sont égaux à a et tous les termes non diagonaux sont égaux à b .
Dans la première question, il peut être utile de considérer les colonnes
1 1 ...
1
,
1 0 ...
0
,
0 1 ...
0
, · · · ,
0 0 ...
1
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1011EMPSI B 2010-2011 DS 11 29 juin 2019
1. Calculer le déterminant de P k (a, b) .
2. Soit k ≥ 3 et {u 1 , · · · , u k } un ensemble c -isogonal. Montrer que
∀(λ 1 , · · · , λ k ) ∈ R k : λ 1 u 1 + · · · + λ k u k = 0 E ⇒ P k (1, c)
λ 1
...
λ k
=
0 ...
0
En déduire que si c est dierent de 1 et de − k−1 1 , les vecteurs u 1 , · · · , u k constituent une partie libre de E .
3. Montrer que toute partie isogonale contient au plus dim E + 1 éléments.
Partie IV. Tétraèdre isogonal et transformations
Fig. 2: Tétraèdre isogonal
Dans cette partie, B = {u 1 , u 2 , u 3 , u 4 } est un ensemble − 1 3 -isogonal dans un espace E euclidien de dimension 3 .
1. Montrer que trois vecteurs de B deux à deux distincts forment une base de E . Quelles sont les composantes du vecteur u 4 dans la base {u 1 , u 2 , u 3 } ?
2. Montrer que pour tout x de E , il existe un unique quadruplet (m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) ∈ R 4 tel que
4
X
i=1
m i = 1 et x =
4
X
i=1
m i u i
On dira que m 1 , m 2 , m 3 , m 4 sont les coordonnées barycentriques de x dans B . 3. On désigne par T l'ensemble des vecteurs dont les coordonnées barycentriques dans B
sont positives ou nulles. Soit f un automorphisme orthogonal de E . On se propose de démontrer
f (B) = B ⇔ f (T ) = T a. Montrer que f (B) = B ⇒ f(T ) = T .
b. On suppose f (T) = T , soit u ∈ B et v = f (u) . Pourquoi v est-il élément de T ?
On note (m 1 , m 2 , m 3 , m 4 ) la famille des coordonnées barycentriques de v . Montrer que
||v|| 2 =
4
X
i=1
m 2 i − 2 3
X
1≤i<j≤4
m i m j
Calculer
4
X
i=1
m i
! 2
− ||v|| 2 et montrer que
X
1≤i<j≤4
m i m j = 0
En déduire qu'il existe un entier i entre 1 et 4 tel que m i = 1 et que les autres m j soient nuls. Conclure.
4. On désigne par G le groupe des bijections de B sur B . Soit σ un élément de G . a. Montrer qu'il existe un unique endomorphisme σ du R-espace vectoriel E tel que
σ(u i ) = σ(u i ) pour i = 1, 2, 3 .
b. Montrer que σ est un automorphisme orthogonal de E . c. Montrer que σ(u 4 ) = σ(u 4 ) .
d. Montrer que l'ensemble G des automorphismes orthogonaux g de E tels que g(T ) = T est un sous-groupe du groupe orthogonal de E .
Montrer que l'application qui à g ∈ G associe la restriction de g à B est un isomorphisme de groupe de G vers G . Quel est le cardinal de G ?
e. Pour tout couple (i, j) d'entiers distincts entre 1 et 4, on désigne par H i,j le plan vectoriel orthogonal à u i − u j et par τ i,j la réexion par rapport à H i,j . Utiliser l'isomorphisme entre G et G pour montrer que tout élément de G est une composition d'un nombre ni de τ i,j .
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Rémy Nicolai S1011EMPSI B 2010-2011 DS 11 29 juin 2019
Problème 2.
Ce problème porte sur des propriétés de R n (ϕ) déni par : ϕ
2 = sin ϕ − 1
2 sin(2ϕ) + 1
3 sin(3ϕ) + · · · + (−1) n+1
n sin(nϕ) + R n (ϕ) où n est un entier naturel non nul et ϕ ∈ [− π 2 , π 2 ] .
Partie I. Aspect euclidien.
On dénit un produit scalaire (./.) dans E = C(I, R ) avec I = [−π, π] en posant :
∀(f, g) ∈ E 2 : (f /g) = Z π
−π
f (t)g(t) dt
La démonstration qu'il s'agit bien d'un produit scalaire n'est pas demandée.
On dénit les fonctions u et (pour tout entier naturel n ) c n , s n en posant :
∀t ∈ I : u(t) = t
2 , c n (t) = cos(nt), s n (t) = sin(nt) 1. Calculer, pour tout couple (m, n) d'entiers naturels
(c m /c n ), (c n /s m ), (s n /s m )
Soit n naturel xé, que peut-on conclure pour la famille formée par toutes les fonctions c k et s k pour k entre 0 et n ?
2. Calculer (u/c 0 ) et, pour tout entier k non nul, (u/c k )
kc k k 2 , (u/s k ) ks k k 2 , Que peut-on en conclure pour la fonction R n ?
Partie II. Reste intégral.
Dans cette partie, n ∈ N ∗ , x est un réel strictement positif et ϕ = arctan 1
x , y = x + p 1 + x 2
1. a. Montrer que
arctan (n) (x) = (−1) n−1 (n − 1)! (sin nϕ)(sin ϕ) n
b. Former (en le démontrant) le développement limité de arctan en 0 à l'ordre n . En déduire arctan (n) (0) .
2. a. Exprimer arctan x en fonction de ϕ . b. Exprimer arctan y en fonction de ϕ . c. Exprimer y − x en fonction de ϕ .
3. Former le développement de Taylor avec reste intégral de la fonction arctan entre x et y à l'ordre n .
4. Montrer que
R n (ϕ) = Z y
x
(y − t) n
n! arctan (n+1) t dt
5. Eectuez le changement de variable θ = arctan 1 t dans l'expression intégrale de R n .
Partie III. Reste de Lagrange et convergence.
Les relations entre x , y et ϕ sont les mêmes que pour la partie II. On se propose de montrer que la suite (R n (ϕ)) n∈ N converge vers 0 .
1. Montrer que pour tout n naturel, il existe un z n (ϕ) ∈ [x, y] tel que
R n (ϕ) = (y − x) n+1
(n + 1)! arctan (n+1) z n (ϕ) 2. Montrer qu'il existe un θ ϕ ∈ [ ϕ 2 , ϕ] tel que
R n (ϕ) = (−1) n (n + 1)
(sin(n + 1)θ ϕ )(sin θ ϕ ) n+1 (sin ϕ) n+1 3. Montrer que la suite (R n (ϕ)) n∈ N converge vers 0 .
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