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(A n ) n≥1 et(A ′ n ) n≥1 de parties de R dénies par :

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

Feuille de travaux dirigés n

2

Tribus, mesures, appliations mesurables et intégration

Exerie 1:

1. Déterminerles limites des suites

(A n ) n≥1

et

(A n ) n≥1

de parties de

R

dénies par :

A n =

− 1 n , 1

et

A n =

− 1 n , 1

2. Donner un exemplede suite non onstante de parties de

R

dontla limiteest

]0, 1]

.

3. Déterminerles limites supérieure etinférieure de la suite

(B n ) n≥1

de parties de

R

dénie par :

B 2n−1 =

−2 − 1 n , 1

et

B 2n =

−1, 2 + 1 n 2

4. Existe-t-il une suite

(C n ) n≥1

de partiesde

R

telle que

limsup

n

C n = [−1, 2]

et

liminf

n

C n = [−2, 1]?

5. Soient

(a n ) n∈ N

et

(b n ) n∈ N

deux suites de réels qui onvergent respetivement vers -1 et1.

(a) Trouer laondition sur es deux suitespour que

lim

n [a n , b n ] = [−1, 1[

.

(b) Est-ilpossible que

lim n [a n , b n ]

n'existe pas?

Exerie 2:

1. Quelle est latribu engendrée par l'ensembledes singletons d'un ensemble

E

?

2. A supposer que le ardinal de

E

est supérieur à 2, quelle est la tribu engendrée par

l'ensembledes paires ('est àdire des ensembles à 2 éléments)de

E

?

3. Une partie

A

de

E

étantxée, quelle est latribu engendrée par l'ensemble des partiesde

E

ontenant

A

?

4. Soient

E

et

F

deux tribus de

E

. Dérire simplement la tribu engendrée par

E ∩ F

, puis

la tribuengendrée par

E ∪ F

.

5. Quelle est latribu de

R

engendrée par

A = {[0, 2], [1, 3]}

? Quel est son ardinal?

Exerie 3:

1. Soit

A

une partie d'un ensemble

E

distinte de l'ensemble vide et de

E

. Montrer que la

tribu engendrée par

{A}

est l'union de

{∅, E}

et d'unepartition.

(2)

2. Soit

A = {A, B, C}

unepartitionde

E

entroissous-ensembles. Dérire latribuengendrée par

A

.

3. Plus généralement,dérire latribu engendrée par une partitiondénombrablede

E

.

4. Unetribu

E

dénitnaturellementunepartition

A E

de

E

,dontlesélémentssontlesparties

de la forme

¯

x = ∩

x∈A∈E A, x ∈ E.

(a) Montrer que

A E

est une partitionde

E

(b) Montrerquesilatribu

E

estauplus dénombrable,lapartition

A E

quiluiest assoiée

engendre

E

.

() Montrer que si

E

est engendrée par une partitionau plus dénombrable

B

, ette par-

tition est

A E

.

(d) Quelle partitionengendre la tribu de

R

engendrée par lesingleton

{[0, 1]}

? et par la

paire

{[0, 1], [0, 2]}

? Quel est la ardinalde es tribus?

(e) Montrer que latribu

P ( R )

n'est engendrée par auune partitionde

R

. Exerie 4:

Soit

E

un ensemble.

1. Soient

E

une tribu de

E

et

A

une partie de

E

. Montrer que lafontion indiatrie

1 A

est

mesurable par rapport à latribu

E

si etseulement si

A ∈ E

.

2. Soient

A

une partitionau plus dénombrable de

E

,

E

la tribu engendrée par

A

et

f

une

fontionréellesur

E

. Montrerque

f

estmesurableparrapportàlatribu

E

sietseulement

si elleest onstante sur haque partie

A ∈ A

.

3. Soient

E

une tribu de

E

,

(f n ) n∈ N

une suite de fontions mesurables réelles sur

E

et

A

l'ensemble des éléments

x

de

E

tels que la suite

(f n (x)) n∈ N

soit de Cauhy. Montrer que

A ∈ E

.

4. L'inverse d'une bijetionmesurable est-elle toujours mesurable?

5. Montrer que la fontion

f : R → R

telle que

f(x) = 1/x

si

x 6= 0

et

f(0) = 0

est

borélienne.

Exerie 5:

Soient

E

et

F

deux ensembles et

f : E → F

une appliation. Soit

F 0

une tribu de

F

.

L'image réiproque de la tribu

F 0

par

f

est lalasse de parties de

E

notée

f −1 (F 0 )

et dénie

par

f −1 (F 0 ) = {f −1 (B), B ∈ F 0 }

.

1. Vérier que

f : (E, P (E)) → (F, F 0 )

est mesurable.

2. Vérier que l'imageréiproque de

F 0

par

f

est une tribu.

3. Montrerquesi

E

estunetriburendant

f : (E, E ) → (F, F 0 )

mesurable,alors

f −1 (F 0 ) ⊂ E

.

4. Déterminerla tribu

f −1 (F 0 )

dans leas

(F, F 0 ) = ( R , B( R ))

et

f

est étagée.

5. Déterminer une lasse de parties de

E

qui engendre

f −1 (F 0 )

dans le as

E = F = R

,

f −1 (F 0 ) = B

et

f

est la fontionsinus.

Exerie 6:

Soient

E

et

F

deux ensembles et

f : E → F

une appliation. Soit

E 0

une tribu de

E

.

L'imagediretede

E 0

par

f

est lalasse despartiesde

F

notée

f(E 0 )

déniepar

f (E 0 ) = {B ⊂

F, f −1 (B ) ∈ E 0 }

.

(3)

1. Montrer que

f : (E, E 0 ) → (F, {∅, F })

est mesurable.

2. Vérier que l'image direte de

E 0

par

f

est une tribu et qu'en revanhe

{f(A), A ∈ E 0 }

n'est pas une tribuen général.

3. Montrer que si

F

est une tribu rendant

f : (E, E 0 ) → (F, F )

mesurable, alors

F ⊂ f (E 0 )

.

4. Si

f

est une fontiononstante, déterminerla tribu

f(E 0 )

.

5. Soient

A ∈ E 0

une partie de

E

et

a

et

b

deux éléments distints de

F

. Déterminer

f (E 0 )

dans la as

f

est lafontion à deux valeurs dénie par

f(x) = a

si

x ∈ A

et

f(x) = b

si

x ∈ A c

6. Faire de même en supposant maintenantque

A

n'est pas dans

E 0

.

Exerie 7:

Soient

(E, E )

un espae mesurable et

(f n ) n∈ N

une suite de fontions mesurables sur

(E, E )

.

1. Si

(A n ) n∈ N

est unepartitiondénombrablede

E

telleque

A n ∈ E

pour tout

n ∈ N

,montrer que lafontion

f

dénie sur

E

par :

f(x) = f n (x)

si

x ∈ A n

est une fontionmesurable par rapport à

E

.

2. Si

N

est une appliation mesurablede

(E, E )

dans

( N , P ( N )

,montrer que

g

dénie sur

E

par

g(x) = f N(x) (x)

est mesurablepar rapport à

E

.

Exerie 8:

Soit

E

un ensemble de ardinal ni

n ≥ 1

, muni de la tribu disrète

P (E)

et de la mesure de

probabilité uniforme

µ

, 'est à dire telle que pour tout

x ∈ E

, onait

µ({x}) = 1/n

.

Soit

A

une partitionde

E

. L'entropie de

A

est leréel positif

H(A) = − X

A∈A

µ(A)ln(µ(A)).

1. Quelle est l'unique partitiond'entropie nulle?

2. Soit

A

une partie de

E

de ardinal

k

telle que

0 < k < n

. Quelle est l'entropie de la

partition

{A, A c }

,en fontionde

n

et de

k

?

3. Montrer quesi lapartition

A

possède une lasse

A

non réduiteà un singleton,l'entropie

de

A

n'est pas maximale. En déduirela partitionde

E

d'entropie maximale.

4. Supposonsqu'une expérienede laboratoirepermettededétermineràquellepartie

A ∈ A

une ertaine quantité physique

x ∈ E

appartient. Expliquer en une phrase pourquoi l'entropie

H(A)

mesure laqualité du dispositifexpérimental.

Exerie 9:

K

est l'ensemble des réels

x

appartenant à[0,1[ etdont l'ériture en base 3 ne ontient pas le

hire1. Ainsi si pour tout élément

x

de [0,1[, on note

(x n ) n≥1

une suite telle que

x = X

n≥1

x n

3 n , x n ∈ {0, 1, 2}

on a

K = {x ∈ [0, 1[, ∀n ≥ 1, x n 6= 1}.

Pour

l ≥ 1

, on note

A l = {x ∈ [0, 1[, ∃k ∈ {1, . . . , l}x k = 1}

.

(4)

1. Rappelerpourquoiune partiedénombrablede

R

est borélienneet demesure de Lebesgue nulle.

2. Montrer que

K

n'est pas dénombrable. On pourra utiliser l'appliation de

K

dans [0,1[

qui à

x

assoiele réel

P +∞

1 y k /2 k

y k = x k /2

et remarquer qu'elle est surjetive.

3. Vérier que

K = [0, 1[\(∪ l A l )

eten déduireque

K

est borélien.

4. Dessiner

A 1

et

A 2

5. En utilisantl'additivité de la mesurede Lebesgue

λ

,montrer que

λ(A l ) = 1 −

2 3

l

6. En utilisantla

σ−

additivité de

λ

,en déduireque

λ(K) = 0

.

7. Montrer quela mesurede Lebesgue d'unouvert non videde

R

est stritementpositiveet en déduire que

K

est d'intérieurvide.

Exerie 10:

1. La sommede deux fontions intégrables est-elle intégrable?

2. Le arré d'une fontion intégrableest-il intégrable? Unefontion de arré intégrableest-

elleintégrable.

3. La omposée de deux fontions intégrables est-elle intégrable?

4. Soit

µ

une mesure sur un espae mesurable

(E, E )

. Soit

(f n ) n∈ N

une suite de fontions

mesurables positives qui onvergent simplementvers

f

. On suppose qu'il existe une on-

stante

K

telle que

R

f n .dµ ≤ K

pour tout entier

n

. Montrer que

Z

f.dµ ≤ K

Exerie 11:

Soit

f : [0, 1] → R

une fontion mesurable. Déterminerlalimite de

Z 1

0

dt p f (t) 2 + 1/n

Exerie 12:

Soient

a

et

b

deux réelstels que

a < b

et

f :]a, b[→ R

une fontionborélienne bornéeintégrable par rapportà la mesurede Lebesgueet telle que

lim x→a

+

f (x) = γ ∈ R

.

Montrer que pour tout

t ∈]a, b[

, la fontion

x → f (x)/ p

(x − a)(t − x)

est intégrablesur

]a, t[

et aluler

lim t→a

+

Z

]a,b[

f(x)

p (x − a)(t − x) dx

Exerie 13:

Soient

(X, A)

un espaemesurable et

ν

un noyausur

(X, A)

, 'est à dire une appliation

ν : X × A → R + , (x, A) → ν(x, A)

satisfaisantles deux propriétés suivantes :

(5)

1. pour tout

x ∈ X

, l'appliation

ν(x, .) : A ∈ A → ν(x, A)

est une mesure

2. pour tout

A ∈ A

, lafontion

ν(, A) : x ∈ X → ν(x, A)

est mesurable par rapportà

A

.

1. Soit

µ

une mesuresur

A

. Montrer que l'appliation

µν

dénie par

µν : A → R + , A →

Z

(dµ)ν(., A) = Z

dµ(x)ν(x, A)

est une mesure

2. Soit

f

une fontionmesurable positive. Montrer quela fontionnotée

νf

dénie par

νf : X → R + , x →

Z

d(ν(x, .))f = Z

ν(x, dy)f (y)

est une fontionpositivemesurable par rapportà

A

3. Ave lesnotations préédentes, montrer qu'on a larègle d'assoiationsuivante

Z

d(νµ)f = Z

dµ(νf )

4. Montrer que si

ω

est un autre noyau, l'appliation

νω : X × A → R + , (x, A) → Z

ν(x, dy)ω(y, A)

est un noyau

5. Montrer que si

θ : X → X

est une appliation mesurable, l'appliation

ν θ : X × A → R + , (x, A) → 1 A (θ(x))

dénit un noyau. Puis montrer que si

n ≥ 1

, ona

(ν θ ) n = ν θ

n (lapuissane du noyauest

prise ausens de la questionpréédente)

6. Caluler

λν θ

en fontion de la mesure image de

λ

par

θ

lorsque

X = [0, 1]

,

A

sa tribu

borélienne et

λ

lamesure de Lebesgue sur [0,1℄.

7. Expliiter ette mesure

λν θ

dans le as

θ(x) = 2x

(mod1)

Dans la suite, onsuppose que

X

est un ensemble dénombrable muni de la tribu

P (X)

.

Soient

M : X 2 → R +

une appliation et

ν M

l'appliation

ν M : X × P (X) → R + , (x, A) → X

y∈X

M (x, y )1 A (y)

8. Montrerque

ν M

etun noyauetaratériseren fontionde

M

lesnoyaux

ν M

telsquepour

tout

x ∈ X

la mesure

ν M (x, .)

soit une probabilité. Dans e as,

ν M

prend le nom de

noyaude probabilité. On suppose dans lasuite que telest leas.

9. Montrer que si

µ 0

est une probabilitésur

X

, pour tout

n ≥ 1

, laformule

µ n ({x}) = µ 0 ({x 1 })M (x 1 , x 2 ) . . . M (x n−1 , x n ), x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ X n

dénit une probabilité sur

(X n , P (X n ))

.

10. Montrer qu'il existe auplus une unique probabilité

µ

sur

X Z

telle que pour tous

n ∈ N

,

p ∈ Z

et

x 0 0 , . . . , x 0 n ∈ X

, onait

µ({x ∈ X Z , x p = x 0 0 , . . . , x p+n = x 0 n }) = µ n (x 0 0 , . . . , x 0 n ).

Rq: Enprobabilités,

M

s'appelleune matriede transition,

µ 0

estune probabilitéinitiale etles noyauxprobabilistes servent à étudierles haînes de Markov.

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