Feuille de travaux dirigés n
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Tribus, mesures, appliations mesurables et intégration
Exerie 1:
1. Déterminerles limites des suites
(A n ) n≥1 et(A ′ n ) n≥1 de parties de R
dénies par :
R
dénies par :A n =
− 1 n , 1
et
A ′ n =
− 1 n , 1
2. Donner un exemplede suite non onstante de parties de
R
dontla limiteest]0, 1]
.3. Déterminerles limites supérieure etinférieure de la suite
(B n ) n≥1 de parties de R
dénie
par :
B 2n−1 =
−2 − 1 n , 1
et
B 2n =
−1, 2 + 1 n 2
4. Existe-t-il une suite
(C n ) n≥1 de partiesde R
telle que
limsup
n
C n = [−1, 2]
etliminf
n
C n = [−2, 1]?
5. Soient
(a n ) n∈ N et(b n ) n∈ N deux suites de réels qui onvergent respetivement vers -1 et1.
(a) Trouer laondition sur es deux suitespour que
lim
n [a n , b n ] = [−1, 1[.
(b) Est-ilpossible que
lim n [a n , b n ]
n'existe pas?Exerie 2:
1. Quelle est latribu engendrée par l'ensembledes singletons d'un ensemble
E
?2. A supposer que le ardinal de
E
est supérieur à 2, quelle est la tribu engendrée parl'ensembledes paires ('est àdire des ensembles à 2 éléments)de
E
?3. Une partie
A
deE
étantxée, quelle est latribu engendrée par l'ensemble des partiesdeE
ontenantA
?4. Soient
E
etF
deux tribus deE
. Dérire simplement la tribu engendrée parE ∩ F
, puisla tribuengendrée par
E ∪ F
.5. Quelle est latribu de
R
engendrée parA = {[0, 2], [1, 3]}
? Quel est son ardinal?Exerie 3:
1. Soit
A
une partie d'un ensembleE
distinte de l'ensemble vide et deE
. Montrer que latribu engendrée par
{A}
est l'union de{∅, E}
et d'unepartition.2. Soit
A = {A, B, C}
unepartitiondeE
entroissous-ensembles. Dérire latribuengendrée parA
.3. Plus généralement,dérire latribu engendrée par une partitiondénombrablede
E
.4. Unetribu
E
dénitnaturellementunepartitionA E deE
,dontlesélémentssontlesparties
de la forme
¯
x = ∩
x∈A∈E A, x ∈ E.
(a) Montrer que
A E est une partitionde E
(b) Montrerquesilatribu
E
estauplus dénombrable,lapartitionA E quiluiest assoiée
engendre
E
.() Montrer que si
E
est engendrée par une partitionau plus dénombrableB
, ette par-tition est
A E.
(d) Quelle partitionengendre la tribu de
R
engendrée par lesingleton{[0, 1]}
? et par lapaire
{[0, 1], [0, 2]}
? Quel est la ardinalde es tribus?(e) Montrer que latribu
P ( R )
n'est engendrée par auune partitiondeR
. Exerie 4:Soit
E
un ensemble.1. Soient
E
une tribu deE
etA
une partie deE
. Montrer que lafontion indiatrie1 A est
mesurable par rapport à latribu
E
si etseulement siA ∈ E
.2. Soient
A
une partitionau plus dénombrable deE
,E
la tribu engendrée parA
etf
unefontionréellesur
E
. Montrerquef
estmesurableparrapportàlatribuE
sietseulementsi elleest onstante sur haque partie
A ∈ A
.3. Soient
E
une tribu deE
,(f n ) n∈ N une suite de fontions mesurables réelles sur E
et A
l'ensemble des éléments
x
deE
tels que la suite(f n (x)) n∈ N soit de Cauhy. Montrer que
A ∈ E
.4. L'inverse d'une bijetionmesurable est-elle toujours mesurable?
5. Montrer que la fontion
f : R → R
telle quef(x) = 1/x
six 6= 0
etf(0) = 0
estborélienne.
Exerie 5:
Soient
E
etF
deux ensembles etf : E → F
une appliation. SoitF 0 une tribu de F
.
L'image réiproque de la tribu
F 0 par f
est lalasse de parties de E
notée f −1 (F 0 )
et dénie
par
f −1 (F 0 ) = {f −1 (B), B ∈ F 0 }
.1. Vérier que
f : (E, P (E)) → (F, F 0 )
est mesurable.2. Vérier que l'imageréiproque de
F 0 par f
est une tribu.
3. Montrerquesi
E
estunetriburendantf : (E, E ) → (F, F 0 )
mesurable,alorsf −1 (F 0 ) ⊂ E
.4. Déterminerla tribu
f −1 (F 0 )
dans leas où(F, F 0 ) = ( R , B( R ))
et oùf
est étagée.5. Déterminer une lasse de parties de
E
qui engendref −1 (F 0 )
dans le as oùE = F = R
, oùf −1 (F 0 ) = B
et oùf
est la fontionsinus.Exerie 6:
Soient
E
etF
deux ensembles etf : E → F
une appliation. SoitE 0 une tribu de E
.
L'imagediretede
E 0 par f
est lalasse despartiesde F
notée f(E 0 )
dénieparf (E 0 ) = {B ⊂
F, f −1 (B ) ∈ E 0 }
.
1. Montrer que
f : (E, E 0 ) → (F, {∅, F })
est mesurable.2. Vérier que l'image direte de
E 0 par f
est une tribu et qu'en revanhe {f(A), A ∈ E 0 }
n'est pas une tribuen général.
3. Montrer que si
F
est une tribu rendantf : (E, E 0 ) → (F, F )
mesurable, alorsF ⊂ f (E 0 )
.4. Si
f
est une fontiononstante, déterminerla tribuf(E 0 )
.5. Soient
A ∈ E 0 une partie de E
et a
etb
deux éléments distints de F
. Déterminer f (E 0 )
dans la as où
f
est lafontion à deux valeurs dénie parf(x) = a
six ∈ A
etf(x) = b
si
x ∈ A c
6. Faire de même en supposant maintenantque
A
n'est pas dansE 0.
Exerie 7:
Soient
(E, E )
un espae mesurable et(f n ) n∈ N une suite de fontions mesurables sur (E, E )
.
1. Si
(A n ) n∈ Nest unepartitiondénombrablede E
tellequeA n ∈ E
pour toutn ∈ N
,montrer
que lafontion f
dénie sur E
par :
f(x) = f n (x)
six ∈ A n
est une fontionmesurable par rapport à
E
.2. Si
N
est une appliation mesurablede(E, E )
dans( N , P ( N )
,montrer queg
dénie surE
par
g(x) = f N(x) (x)
est mesurablepar rapport à
E
.Exerie 8:
Soit
E
un ensemble de ardinal nin ≥ 1
, muni de la tribu disrèteP (E)
et de la mesure deprobabilité uniforme
µ
, 'est à dire telle que pour toutx ∈ E
, onaitµ({x}) = 1/n
.Soit
A
une partitiondeE
. L'entropie deA
est leréel positifH(A) = − X
A∈A
µ(A)ln(µ(A)).
1. Quelle est l'unique partitiond'entropie nulle?
2. Soit
A
une partie deE
de ardinalk
telle que0 < k < n
. Quelle est l'entropie de lapartition
{A, A c }
,en fontionden
et dek
?3. Montrer quesi lapartition
A
possède une lasseA
non réduiteà un singleton,l'entropiede
A
n'est pas maximale. En déduirela partitiondeE
d'entropie maximale.4. Supposonsqu'une expérienede laboratoirepermettededétermineràquellepartie
A ∈ A
une ertaine quantité physique
x ∈ E
appartient. Expliquer en une phrase pourquoi l'entropieH(A)
mesure laqualité du dispositifexpérimental.Exerie 9:
K
est l'ensemble des réelsx
appartenant à[0,1[ etdont l'ériture en base 3 ne ontient pas lehire1. Ainsi si pour tout élément
x
de [0,1[, on note(x n ) n≥1 une suite telle que
x = X
n≥1
x n
3 n , x n ∈ {0, 1, 2}
on a
K = {x ∈ [0, 1[, ∀n ≥ 1, x n 6= 1}.
Pour
l ≥ 1
, on noteA l = {x ∈ [0, 1[, ∃k ∈ {1, . . . , l}x k = 1}
.1. Rappelerpourquoiune partiedénombrablede
R
est borélienneet demesure de Lebesgue nulle.2. Montrer que
K
n'est pas dénombrable. On pourra utiliser l'appliation deK
dans [0,1[qui à
x
assoiele réelP +∞
1 y k /2 k
oùy k = x k /2
et remarquer qu'elle est surjetive.3. Vérier que
K = [0, 1[\(∪ l A l )
eten déduirequeK
est borélien.4. Dessiner
A 1 et A 2
5. En utilisantl'additivité de la mesurede Lebesgue
λ
,montrer queλ(A l ) = 1 −
2 3
l
6. En utilisantla
σ−
additivité deλ
,en déduirequeλ(K) = 0
.7. Montrer quela mesurede Lebesgue d'unouvert non videde
R
est stritementpositiveet en déduire queK
est d'intérieurvide.Exerie 10:
1. La sommede deux fontions intégrables est-elle intégrable?
2. Le arré d'une fontion intégrableest-il intégrable? Unefontion de arré intégrableest-
elleintégrable.
3. La omposée de deux fontions intégrables est-elle intégrable?
4. Soit
µ
une mesure sur un espae mesurable(E, E )
. Soit(f n ) n∈ N une suite de fontions
mesurables positives qui onvergent simplementvers
f
. On suppose qu'il existe une on-stante
K
telle queR
f n .dµ ≤ K
pour tout entiern
. Montrer queZ
f.dµ ≤ K
Exerie 11:
Soit
f : [0, 1] → R
une fontion mesurable. Déterminerlalimite deZ 1
0
dt p f (t) 2 + 1/n
Exerie 12:
Soient
a
etb
deux réelstels quea < b
etf :]a, b[→ R
une fontionborélienne bornéeintégrable par rapportà la mesurede Lebesgueet telle quelim x→a+f (x) = γ ∈ R
.
Montrer que pour tout
t ∈]a, b[
, la fontionx → f (x)/ p
(x − a)(t − x)
est intégrablesur]a, t[
et aluler
lim t→a+
Z
]a,b[
f(x)
p (x − a)(t − x) dx
Exerie 13:
Soient
(X, A)
un espaemesurable etν
un noyausur(X, A)
, 'est à dire une appliationν : X × A → R + , (x, A) → ν(x, A)
satisfaisantles deux propriétés suivantes :
1. pour tout
x ∈ X
, l'appliationν(x, .) : A ∈ A → ν(x, A)
est une mesure2. pour tout
A ∈ A
, lafontionν(, A) : x ∈ X → ν(x, A)
est mesurable par rapportàA
.1. Soit
µ
une mesuresurA
. Montrer que l'appliationµν
dénie parµν : A → R + , A →
Z
(dµ)ν(., A) = Z
dµ(x)ν(x, A)
est une mesure
2. Soit
f
une fontionmesurable positive. Montrer quela fontionnotéeνf
dénie parνf : X → R + , x →
Z
d(ν(x, .))f = Z
ν(x, dy)f (y)
est une fontionpositivemesurable par rapportà
A
3. Ave lesnotations préédentes, montrer qu'on a larègle d'assoiationsuivante
Z
d(νµ)f = Z
dµ(νf )
4. Montrer que si
ω
est un autre noyau, l'appliationνω : X × A → R + , (x, A) → Z
ν(x, dy)ω(y, A)
est un noyau
5. Montrer que si
θ : X → X
est une appliation mesurable, l'appliationν θ : X × A → R + , (x, A) → 1 A (θ(x))
dénit un noyau. Puis montrer que si
n ≥ 1
, ona(ν θ ) n = ν θn (lapuissane du noyauest
prise ausens de la questionpréédente)
6. Caluler
λν θ en fontion de la mesure image de λ
par θ
lorsque X = [0, 1]
, A
sa tribu
borélienne et
λ
lamesure de Lebesgue sur [0,1℄.7. Expliiter ette mesure
λν θ dans le as oùθ(x) = 2x
(mod1)
Dans la suite, onsuppose que
X
est un ensemble dénombrable muni de la tribuP (X)
.Soient
M : X 2 → R + une appliation et ν M l'appliation
ν M : X × P (X) → R + , (x, A) → X
y∈X
M (x, y )1 A (y)
8. Montrerque
ν M etun noyauetaratériseren fontiondeM
lesnoyauxν M telsquepour
tout
x ∈ X
la mesureν M (x, .)
soit une probabilité. Dans e as,ν M prend le nom de
noyaude probabilité. On suppose dans lasuite que telest leas.
9. Montrer que si
µ 0 est une probabilitésur X
, pour tout n ≥ 1
, laformule
µ n ({x}) = µ 0 ({x 1 })M (x 1 , x 2 ) . . . M (x n−1 , x n ), x = (x 1 , . . . , x n ) ∈ X n
dénit une probabilité sur
(X n , P (X n ))
.10. Montrer qu'il existe auplus une unique probabilité
µ
surX Z telle que pour tous n ∈ N
,
p ∈ Z
etx 0 0 , . . . , x 0 n ∈ X
, onaitµ({x ∈ X Z , x p = x 0 0 , . . . , x p+n = x 0 n }) = µ n (x 0 0 , . . . , x 0 n ).
Rq: Enprobabilités,