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Question # 1. Soit U un ouvert de R

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Academic year: 2022

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(1)

Université Claude Bernard Lyon 1 Mathématiques pour l’enseignement Licence de mathématiques 3

e

année UE Approfondissement en analyse

Auto-contrôle – le 7 avril 2020 – – tous documents –

Question # 1. Soit U un ouvert de R

2

, de la forme indiquée ci-dessus.

Soit f : U → R une fonction différentiable telle que ∇f (z) = 0, ∀ z ∈ U . Soient x, y comme ci-desssus. Montrer que f(x) = f(y).

Indication

1

(2)

Question # 2. Soit U ⊂ R

n

un ouvert. Soit f : U → R . Montrer que : [f ∈ C

2

] = ⇒ [f deux fois différentiable].

Exercice # 1. Soit f : R

2

→ R l’application définie par

f (x, y) := 3 x

2

y

2

+ x

4

+ y

4

− 2 x

2

− 2 y

2

, ∀ (x, y) ∈ R

2

.

1. Montrer que f (x, y) ≥ r

4

− 2 r

2

, où r

2

:= x

2

+ y

2

. En déduire que f(x, y) ≥ −1.

2. Montrer que f a exactement quatre points de minimum global.

3. Écrire la formule de Taylor à l’ordre deux avec reste en o dans l’un de ces points de minimum global (de votre choix).

Exercice # 2. Soit f : R

2

→ R l’application définie par f (x, y) := max{x

2

, y

2

}, ∀ (x, y) ∈ R

2

.

1. Représenter sur un dessin les régions où f(x, y) = x

2

, respectivement f(x, y) = y

2

.

2. Montrer que f est différentiable en (0, 0).

3. Est-elle continue en (0, 0)?

4. Question bonus (qui demande plus de temps). Trouver tous les points (x, y) ∈ R

2

où f est différentiable.

2

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