Lyc´ee Benjamin Franklin PT−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
TP n˚8
Polynˆ omes et espaces vectoriels euclidiens
1 Formule de Taylor pour les polynˆ omes
La formule de Taylor pour les polynˆomes s’´enonce comme suit.
Th´eor`eme 1 (formule de Taylor pour les polynˆomes) : Soit P un polynˆome non nul `a coefficients complexes. On posen:= deg(P). Pour tout α∈C, on a :
P= Xn
k=0
P(k)(α)
k! (X−α)k o`uP(k) d´esigne le polynˆome d´eriv´ek-i`eme deP avec k∈J0, nK.
Remarque : Il existe d’autres formules de Taylor, e.g. la formule de Taylor-Young, la formule de Taylor- Lagrange et la formule de Taylor avec reste int´egral. Ces autres formules de Taylor comportent un reste et sont valables pour une classe de fonctions plus larges que celle form´ee par les polynˆomes. Elles sont ≪model´ees≫ sur la formule de Taylor pour les polynˆomes qui, elle, est exacte.
On se propose tout d’abord de v´erifier la formule de Taylor pour les polynˆomes `a l’aide de Maple pour un polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 10, par exemple. Voici quelques ´el´ements de Maple qui peuvent ˆetre utilis´es pour ce faire.
• Un polynˆome g´en´eriquePde degr´e inf´erieur ou ´egal `a 10 peut ˆetre d´efini par l’instruction suivante.
P:=sum(a[k]*X^k,k=0..10);
• Pour tester l’´egalit´e de deux expressions en Maple, on peut utiliser la commande suivante.
is(expr1 = expr2 );
Question 1 : Ecrire un programme Maple permettant de v´erifier la validit´e du th´eor`eme 1 pour les polynˆomes´ de degr´es inf´erieurs ou ´egaux `a 10.
On souhaite `a pr´esent r´ediger une preuve de la formule de Taylor pour les polynˆomes. Pour ce faire, on va raisonner par r´ecurrence sur le degr´e. On fixe un nombre complexeα. Soit n∈N. On d´efinit le pr´edicatP(n) comme ´etant :
Pour toutP ∈C[X] tel que deg(P) =n, on aP = Xn
k=0
P(k)(α)
k! (X−α)k.
Question 2 : D´emontrer que pour toutn∈N,P(n) est vrai.
1
2 Un produit scalaire sur R
10[ X ]
On d´efinit l’application Φ par :
Φ : R10[X]×R10[X] → R (P, Q) 7→
X10
k=0
P(k)(1)×Q(k)(1).
Question 3 : D´efinir une proc´edure Maple nomm´eePhi, d’argument un couple (P, Q) o`u :
• P est un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 10 ;
• Qest un polynˆome `a coefficients r´eels de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 10 ; qui renvoie :
• le nombre r´eel : Φ(P, Q).
Mots cl´es :proc,return,sum,diff.
Question 4 : V´erifier, en utilisant Maple, que Φ est une forme sym´etrique.
Mots cl´es :sum,is.
Question 5 : V´erifier, en utilisant Maple, que Φ est une forme lin´eaire `a gauche.
Mots cl´es :sum,is.
Question 6 : Que peut-on d´eduire des r´esultats des questions 4 et 5 ?
. . . .
2
Question 7 : Justifier que la forme Φ est positive.
Question 8 : Justifier que la forme Φ est d´efinie.
Question 9 : Que peut-on d´eduire des questions 4, 5, 7 et 8 ?
. . . .
3 Proc´ ed´ e d’orthonormalisation de Gram-Schmidt
Question 10 : On munit d´esormais le R-espace vectorielR10[X] du produit scalaire Φ d´efini dans la partie pr´ec´edente. En utilisant Maple, calculer la base orthonorm´ee (Q0, Q1, Q2, Q3, Q4, Q5) du sous-espace vectoriel R5[X] de R10[X] obtenue en appliquant l’algorithme de Gram-Schmidt `a la base (1, X, X2, X3, X4, X5) de R5[X].
Question 11 : Factoriser les polynˆomesQ0, Q1, Q2, Q3, Q4, Q5 obtenus `a la question pr´ec´edente.
Indication : On pourra proc´eder≪`a vue≫ en s’appuyant sur la formule du binˆome de Newton, ou bien utiliser la commandefactorde Maple.
Q0= Q3=
Q1= Q4=
Q2= Q5=
3
4 Projet´ e orthogonal sur R
5[X ]
Question 12 : Calculer la projection orthogonale du polynˆomeP = X10
i=0
Xi deR10[X] surR5[X] et comparer le r´esultat avec le polynˆome
X5
k=0
P(k)(1)
k! (X−1)k.
L’expression obtenue `a la question 12 pour le projet´e orthogonal du polynˆome X10
i=0
Xi vaut en fait pour une polynˆome quelconque deR10[X]. En effet on a le r´esultat suivant.
Th´eor`eme 2 :On munit leR-espace vectoriel R10[X]du produit scalaire Φd´efini dans la partie 2. Le projet´e orthogonal d’un polynˆomeP de R10[X] surR5[X]est
X5
k=0
P(k)(1)
k! (X−1)k.
Question 13 : Ecrire un programme Maple permettant de v´erifier la validit´e du th´eor`eme 2 pour les polynˆomes´ de degr´es inf´erieurs ou ´egaux `a 10.
Esquisse de preuve du th´eor`eme 2
• Etape 1´
Pour toutn∈N, on poseQn:= (X−1)n
n! . On v´erifie que pour toutn∈N, pour toutk∈N: Q(k)n (1) =
1 sik=n 0 sik6=n.
• Etape 2´
De l’´etape 1, on en d´eduit que la famille (Qn)n∈J0,10K est une base orthonorm´ee deR10[X].
• Etape 3´
SoitP ∈R10[X]. D’apr`es la formule de Taylor, on a : P =
X10
k=0
P(k)(1)
k! (X−1)k
= X10
k=0
P(k)(1)Qk
= X5
k=0
P(k)(1)Qk
| {z }
=:P1
+ X10
k=6
P(k)(1)Qk
| {z }
=:P2
Il est clair queP1∈R5[X]. D’autre part, en utilisant le r´esultat de l’´etape 2, on montre que (Q0, Q1, Q2, Q3, Q4, Q5) est une base (orthonorm´ee) de R5[X], puis que P2 ∈ R5[X]⊥. De la d´ecomposition P =P1+P2, avec P1∈R5[X] et P2∈R5[X]⊥, on d´eduit que le projet´e orthogonal deP surR5[X] est :
P1= X5
k=0
P(k)(1)Qk= X5
k=0
P(k)(1)
k! (X−1)k.
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