Dichotomie et polynˆ omes

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

Pr´epa HEC 2 disponible surwww.cayrel.net

Lyc´ee Lavoisier Feuille n^◦8

Dichotomie et polynˆ omes

1 Dichotomie

Exercice 1 Soit f la fonction d´efinie sur [0,+∞[ par :

∀x∈[0,+∞[, f(x) = xexp^x−1 2

1. Calculer la d´eriv´ee def, en d´eduire ses variations sur [0,+∞[. Etudier la convexit´´ e def, puis tracer sa repr´esentation graphique.

2. Monter que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution sur [0,+∞[ et que cette solution appartient `a l’intervalle ]0,1[. On notera α cette solution.

3. ´Ecrire une fonction Pascal nomm´ee f qui `a un param`etre r´eel x associe le r´eel f(x).

Exercice 2 On d´efinit trois suites r´eelles (a_n)n∈N,(b_n)n∈N, et (c_n)n∈N^∗ par a₀ = 0, b₀ = 1 et pour tout n∈N :

c_n+1 = a_n+b_n

2 ;a_n+1 =

a_n si f(a_n).f(c_n+1)60 c_n+1 sinon

etb_n+1 =

c_n+1 si f(a_n).f(c_n+1)60 b_n sinon

1. (a) Montrer que pour tout n∈N, b_n−a_n = ₂¹n.

(b) ´Etudier le sens de variation des suites (a_n) et (b_n).

(c) V´erifier que pour tout entier n, f(a_n)<0 et f(b_n)>0.

(d) D´eduire des questions pr´ec´edentes que les suites (an) et (bn) convergent vers la mˆeme limite et que cette limite est α d´efinie dans l’exercice pr´ec´edent.

2. ´Etablir que pour toutn, a_n 6α6b_n.En d´eduire une fonction Pascal, utilisant la fonction f de l’exercice pr´ec´edent, nomm´ee dicho qui prend comme param`etre un r´eel epset qui renvoie une valeur approch´ee de α `aeps pr`es.

2 Polynˆ omes

Exercice 3 On d´eclare un typedonnees par : CONST

nmax = 20;

TYPE

donnees = ARRAY[0..nmax] OF real;

1. ´Ecrire une proc´edure Entre_donnees qui prend comme param`etre un tableau de type donnees et qui m´emorise dans ce tableau les n + 1 valeurs d’une famile de nombres entr´ees au clavier par l’utilisateur.

2. On suppose donn´ees cinq variables : a de type donnees, L et x de type r´eel, et j et k de type entier. Expliquer le d´eroulement de la s´equence d’instruction suivante et d´eterminer le contenu de la variable L `a l’issue de celle-ci.

WriteLn(’j,x?’); ReadLn(j,x);

L:= 1;

FOR k := 0 TO nmax DO Begin

IF k <> j THEN L := L*(x-a[k])/(a[j]-a[k]);

End;

3. ´Ecrire un programme en Pascal qui, en utilisant la proc´edure entre_donnees, permet d’entrer au clavier deux familles de valeurs (a_i)_06i6n et (b_i)_06i6n puis qui ´evalue en x (donn´ee par l’utilisateur) le polynˆome d’interpolation de f aux noeuds a₀, a₁, . . . , a_n :

P_n =

n

X

j=0

b_jL_j

Exercice 4 (Via ESCP - Oral 2001) On consid`ere la fonctionf d´efinie sur R^∗+ par : f(x) = exp^(−x1).

1. Montrer que pour tout entier naturel n la d´eriv´ee n-i`eme de f v´erifie, pour tout r´eel x strictement positif, la relation :

f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(1 x)f(x)

o`u (P_n)_n>0 est la suite de polynˆomes d´efinie par P₀(X) = 1 et par la relation : P_n+1(X) =X²[P_n(X)−P_n⁰(X)]

2. ´Etablir que pour tout entier n, P_n est `a coefficients entiers et pr´eciser son degr´e.

3. On d´efinit un type : TYPE

poly = ARRAY[0..20] OF integer;

permettant de stocker de tout polynˆome de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 20.

(a) ´Ecrire une proc´edure d’en-tˆete :

PROCEDURE MultiX2(P : poly; VAR Q : poly);

qui stocke dans Q les coefficients du polynˆome X²P(X), P ´etant le polynˆome de degr´e maximum 18 dont les coefficients sont stock´es dansP.

(b) ´Ecrire une proc´edure d’en-tˆete :

PROCEDURE Derive_poly(P : poly; VAR Q : poly);

qui stocke dansQ les coefficients du polynˆome d´eriv´e de P, et une proc´edure : PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; VAR R : poly);

qui stocke dansR les coefficients du polynˆome P− Q.

(c) ´Ecrire enfin un programme faisant appel aux trois proc´edures pr´ec´edentes, qui affiche les coefficients du polynˆome P₁₀.

Pierre-Louis CAYREL 2008-2009

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Lyc´ee Lavoisier Feuille n^◦8

Dichotomie et polynˆ omes

Correction 1

1. f est de classe C² commecocktails de fonctions de classeC² et :

∀x∈[0,+∞[, f⁰(x) = (x+ 1) exp^x

f⁰(x) est strictement positif sur ]0,+∞[ doncf est strictement croissante sur [0,+∞[.De plus, f(0) = ⁻¹₂ et limx→+∞f(x) = +∞.Enfin pour tout r´eel x positif :

f⁰⁰(x) = (x+ 2) exp^x f⁰⁰(x) est positif donc f est convexe sur [0,+∞[.

2. f est continue et strictement croissante sur [0,+∞[, elle r´ealise donc une bijection de [0,+∞[ surf([0,+∞[) = [−1/2,+∞[.0 appartient `a [−1/2,+∞[ il admet donc un unique ant´ec´edent par f. On en d´eduit que l’´equation f(x) = 0 admet une unique solution α.

Enfin f(1) =e−¹₂ >0 doncf(0).f(1)<0,et par le th´eor`eme des valeurs interm´ediaires α appartient `a l’intervalle ]0,1[.

3. La fonctionf est simplement donn´ee par : FUNCTION f(x : real) : real;

BEGIN

f:= x * exp(x) - 1/2;

END;

Correction 2

1. (a) V´erifions par r´ecurrence que pour tout entier n, b_n−a_n = ₂¹n. – b0−a0 = 1−0 = 1 = ₂¹0, la propri´et´e est donc vraie pour n= 0;

– Supposons que pour n fix´e, b_n−a_n = ₂¹n. On a : soit a_n+1 = ^an+b₂ ⁿ et b_n+1 =b_n, soit a_n+1 = a_n et b_n+1 = ^an+b₂ ⁿ. Dans les deux cas b_n+1 − a_n+1 = ^bn−a₂ ⁿ. D’o`u l’hypoth`ese de r´ecurrence, bn+1−an+1= ₂¹n ×¹₂ = ₂n+1¹ .

– La propri´et´e est donc h´er´editaire et par r´ecurrence, on a alors pour tout entier n, b_n−a_n = ₂¹n.

(b) Soit n un entier. On a b_n −a_n = ₂¹n > 0, d’o`u b<sub>n</sub> > a<sub>n</sub>. On sait de plus que c<sub>n+1</sub> = <sup>an+b</sup><sub>2</sub> <sup>n</sup>, d`es lors a_n < c_n+1 < b_n. Or a_n+1 est ´egal soit `a a<sub>n</sub> soit `a c_n+1. Dans les deux cas a_n+1 > a_n. De mˆeme, b_n+1 est ´egal soit `a b<sub>n</sub> soit `a c_n+1 et cette fois b_n+1 6b_n.En conclusion, (a_n) est croissante et (b_n) est d´ecroissante.

(c) La construction des suites (a_n) et (b_n) est faite pour qu’elles v´erifient f(a_n) < 0 et f(bn) > 0. On pose en effet soit an+1 = cn+1 soit bn+1 = cn+1 suivant la va- leur de f(a_n).f(c_n+1), de mani`ere `a toujours avoir f(a_n+1) < 0 et f(b_n+1) > 0.

Une r´ecurrence ´el´ementaire permet donc de v´erifier que pour tout entier naturel n, f(an)<0 et f(bn)>0.

(d) (a_n) est croissante, (b_n) est d´ecroissante, de plus d’apr`es (a),

n→+∞lim (b_n−a_n) = lim

n→+∞

1 2ⁿ = 0.

Nos deux suites sont donc adjacentes, elles convergent vers une limite commune l.

Par continuit´e de f, on a alors limn→+∞f(a_n) = limn→+∞f(b_n) = f(l). Or d’apr`es (c), f(a<sub>n</sub>)<0 et f(b<sub>n</sub>)>0, par passage `a la limite on doit donc avoir :

f(l)60 et f(l)>0.

Ce qui n’est possible que sif(l) = 0.l est donc l’unique solution de l’´equationf(x) = 0. En conclusion : (a_n) et (b_n) convergent versα.

2. FUNCTION dicho(eps : real) : real;

VAR

a,b,c : real;

BEGIN a := 0;

b := 1;

REPEAT

c := (a+b)/2;

IF f(a)*f(c) <= 0 THEN b := c ELSE a := c;

UNTIL b-a < eps;

dicho := a;

END;

Correction 3

1. PROCEDURE Entre_donnees(VAR t : donnees);

VAR

i : integer;

BEGIN

FOR i := 0 TO nmax DO Begin

WriteLn(’donnee num´ero’,i,’svp’);

ReadLn(t[i]);

End;

END;

2. La s´equence d’instruction propos´ee multiplieLpar les _a^x−ak

j−ak,pour toutk ∈[0, n] diff´erent de j. Autant le dire, `a la fin de la s´equence L vaut Πⁿ_k=0,k6=ja^x−ak

j−a_k. En d’autres termes, la s´equence propos´ee calcule la valeur de L_j(x), j et x´etant donn´es par l’utilisateur.

3. CONST

nmax = 20;

TYPE

donnees = ARRAY[0..nmax] OF real;

VAR

a,b : donnees;

j,k : integer;

x,L,eval_P : real;

PROCEDURE Entre_donnees(VAR t : donnees);

...

BEGIN

WriteLn(’valeurs des a(i):’); Entre_donnees(a);

WriteLn(’valeurs des b(i):’); Entre_donnees(b);

WriteLn(’x?’); ReadLn(x);

eval_P := 0;

FOR j := 0 TO nmax DO Begin

L := 1;

FOR k := 0 TO nmax DO Begin

IF k <> j THEN L := L*(x-a[k])/(a[j]-a[k]);

End;

eval_P := eval_P + b[j]*L;

End;

WriteLn(’P(x)=’,eval_P);

END.

Correction 4

1. f est de classe C^+∞ comme compos´ee de fonctions qui le sont. Montrons par r´ecurrence l’existence de la famille (P_n)n∈N.

– Soitx un r´eel strictement positif. f⁽⁰⁾(x) =f(x) et P₀ est le polynˆome constant ´egal `a 1, la propri´et´e est donc v´erifi´ee au rang n = 0.

– Soit n∈N fix´e. Supposons que pour tout x >0, on ait : f⁽ⁿ⁾(x) = P_n(1

n)f(x).

Alors f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) est donn´e par :

∀x∈R^∗+, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) =P_n(1

x)f⁰(x)− 1 x²P_n⁰(1

x)f(x).

Or, pour tout x >0, f⁰(x) = _x¹2 exp^{(−1x )} = _x¹2f(x). Il vient :

∀x∈R^∗+, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = 1 x²[P_n(1

x)−P_n⁰(1

x)]f(x).

Or Pn+1(X) =X²[Pn(X)−P_n⁰(X)],on en d´eduit :

∀x∈R^∗+, f⁽ⁿ⁺¹⁾(x) = P_n+1(1 x)f(x).

Et la propri´et´e est v´erifi´ee au rangn+ 1.

– La propri´et´e est v´erifi´ee au rang 0 et elle est h´er´editaire, elle est donc vraie pour tout entier naturel n.

2. Une r´ecurrence ´el´ementaire permet de montrer que pour tout entier naturel n, Pn est un polynˆome de degr´e 2n `a coefficients entiers.

3. (a) Soit P le polynˆome donn´e par : P(X) =a₀+a₁X+· · ·+a_iXⁱ+. . . , alors Q(X) = X²P(X) est donn´e par :

X²P(X) =a₀X²+a₁X³+· · ·+a_iXⁱ⁺²+. . . PROCEDURE MultiX2(P : poly; VAR Q : poly);

VAR

i : integer;

BEGIN

Q[0] := 0; Q[1] := 0;

FOR i := 2 TO 20 DO Q[i] := P[i-2];

END;

(b) PROCEDURE Derive_poly(P : poly; VAR Q : poly);

VAR

i : integer;

BEGIN

FOR i := 1 TO 20 DO Q[i-1] := i*P[i];

Q[20] := 0;

END;

PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; VAR Q : poly);

VAR

i : integer;

BEGIN

FOR i := 1 TO 20 DO R[i] := P[i] - Q[i];

END;

(c) TYPE

poly = ARRAY[0..20] OF integer;

VAR

i : integer;

A,Aprime,B : poly;

PROCEDURE MultiX2(P : poly; VAR Q : poly);

...

PROCEDURE Derive_poly(P : poly; VAR Q : poly);

...

PROCEDURE Diff_poly(P,Q : poly; VAR Q : poly);

...

BEGIN

FOR i := 1 TO 20 DO A[i] := 0;

A[0] := 1;

FOR i := 1 TO 10 DO Begin

Derive_poly(A,Aprime);

Diff_poly(A,Aprime,B);

MultiX2(B,A);

End;

FOR i := 0 TO 20 DO write(’a’,i,’=’,A[i]);

END;