Sup PCSI2 — Contrˆole 2004/08
Consignes imp´eratives: ni encre rouge, ni crayon, ni tippex ; s´eparez nettement les questions ; encadrez les r´esultats ; r´edigez chacun des probl`emes sur une copie s´epar´ee (plusieurs, au besoin) ; indiquez votre nom sur chaque copie.
Probl` eme 1 : polynˆ omes de Tchebychev
Pr´eliminaires
Q1 ´Enoncez et d´emontrez la formule permettant de transformer 2 cos(a) cos(b) en somme de deux cosinus.
Q2 Rappelez la d´efinition de la fonction arccos.
Q3 Rappelez la d´efinition de ch(x).
Q4 Prouvez l’´egalit´e ch (n+ 1)x
+ ch (n−1)x
= 2 ch(x) ch(nx).
D´efinition et propri´et´es simples des polynˆomes de Tchebychev
INous nous int´eressons `a la suite (Tn)n∈N d’´el´ements de R[X] d´efinie par T0= 1, T1 =X, et la relation de r´ecurrenceTn+2= 2XTn+1−Tn pour toutn∈N.
Q5 ExplicitezT2,T3,T4 et T5.
Q6 Explicitez les racines respectives deT2,T3,T4 etT5. Q7 CalculezTn(1) etTn(−1).
Q8 Quel est le degr´e deTn?
Q9 Que pouvez-vous dire de la famille (Tk)06k6n? Q10 Quelle est la parit´e deTn?
Q11 ? Quel est le coefficient dominant deTn?
Compl´ements de programme
Q12 Soientn∈Net x∈R. Prouvez queTn cos(x)
= cos(nx).
ILe r´esultat de la question pr´ec´edente pourra ˆetre admis pour r´esoudre les autres questions de cette partie.
Q13 Soitn∈N. Calculez max
|x|61
Tn(x).
Q14 Soientn∈Net x∈R. Prouvez queTn ch(x)
= ch(nx).
Q15 Montrez que Tn poss`ede n racines r´eelles distinctes, et que ces racines appartiennent toutes `a l’intervalle ]−1,1[.
Q16 ?? Montrez queTn est solution d’une ´equation diff´erentielle du second ordre.
Tournez S.V.P.
Probl` eme 2 : ´ etude d’un op´ erateur int´ egral simple
IRappel :R+d´esigne l’intervalle [0,+∞[. Nous notonsEl’ensembleC∞(R+,R), muni de sa structure naturelle deR-e.v.
Q1 Soit f ∈ E. Justifiezrigoureusementl’existence de la fonction x∈R+7→
Z x
0
e−tf(t)dt
ainsi que son appartenance `a E. D´esormais, cette fonction sera not´ee Φ(f). Nous d´efinissons ainsi une fonction Φ deE dans lui-mˆeme.
Q2 Soientf ∈ E et x∈R+. Que pensez-vous des notations Φ(f)
(x), Φ(f)(x) et Φ f(x)
? Q3 Prouvez que Φ est un endomorphisme deE.
Q4 Soientf ∈ E et F = Φ(f). Combien vautF(0) ? Φ est-il surjectif ? Q5 Φ est-il injectif ?
Q6 Soit F ∈ E v´erifiantF(0) = 0. Montrez qu’il existe un et un seul ´el´ementf deE tel que Φ(f) = F. Vous expliciterezf en fonction deF.
IRappel : une fonctionf, d´efinie sur un intervalleI deRet `a valeurs r´eelles, est diteborn´ees’il existe un r´eel M>0 tel quef(x)6M pour toutx∈I. Notez bien queM d´epend def.
INotonsBl’ensemble des ´el´ements deE qui sont born´es.
Q7 Montrez que Best stable par Φ.
Q8 Donnez un autre exempleint´eressantde s.e.v. deE stable par Φ. Bien entendu, vous donnerez une preuve
`
a l’appui de votre exemple !
Probl` eme 3 (d’apr` es une question de l’oral des Mines)
INous notonsHn = X
16k6n
1
k. Il est connu queHnng→∞ln(n) Q1 Montrez que les relationsu0= 2 etun+1= un2
un−1 d´efinissenteffectivementune suite de r´eels.
Q2 Quel est le sens de variation de cette suite ? Q3 Cette suite converge-t-elle ?
Q4 Pourk>0, justifiez l’in´egalit´euk+1−uk >1.
Q5 En d´eduire un minorant deun.
Q6 Pourk>0, justifiez l’in´egalit´euk+1−uk 61 + 1 k+ 1.
Q7 En d´eduire, pourn>1, un majorant deun faisant intervenirHn
Q8 Exhibez alors un ´equivalentsimple deun lorsquentend vers l’infini.
[Contr^ole 2004/08] Compos´e le 1er avril 2005
