Int´ egration d’un probl` eme de Cauchy

(1)

Introduction ` a la Simulation Num´ erique

J´er´emie Gressier

Septembre 2009

1 / 37

Plan

1

Pr´ esentation

2

Diff´ erences Finies

3

Int´ egration d’un probl` eme de Cauchy

4

Conclusion

2 / 37

(2)

Simulation num´ erique, contexte

Physique Mod` ele

continu

mod´ elisation Mod` ele

discret discr´ etisation

validation

´ etude

Pr´esentation 4 / 37

Discr´ etisation

Repr´ esentation d’un probl` eme continu (dim ∞) en probl` eme de dimension finie Quelques m´ ethodes de repr´ esentation :

valeurs en N points (Diff´ erences Finies)

projection sur une base ` a support r´ eduit (´ El´ ements Finis, Volumes Finis) projection sur une base ` a support ´ etendu (spectral, Fourier, Chebyshev, ...)

x x

x

(3)

Types de probl` emes physiques

probl` eme d’´ evolution

Probl` eme ` a condition initiale (Pb de Cauchy) probl` eme d’´ equilibre

Probl` eme ` a conditions limites

(Pb stationnaire, Pb ´ evolution ` a contrainte) condition d’existence d’une solution

probl` eme aux valeurs propres

Cadre du cours

Equation diff´ ´ erentielle ordinaire (une coordonn´ ee

x

ou

t)

Probl` eme ` a valeur initiale (´ evolution)

Une (scalaire) ou plusieurs variables (vectoriel) (U de dimension d ) Lin´ eaire ou non-lin´ eaire

(4)

Calcul discret de d´ eriv´ ees

D´ efinition :

du

dx (x

i

) = lim

∆x→0

u(x

i

+ ∆x) − u(x

i

)

∆x Diff´ erences finies :

„ du dx

«

i

' u(x

_i+1

) − u(x

_i

) x

i+1

− x

i

erreur ?

D´ eveloppement de Taylor : (de u

_i_±1

en x

_i

) u

_i±1

= u

i

±

„ du dx

«

i

∆x + 1 2

„ d

²

u dx

²

«

i

∆x

²

+ O(∆x

³

)

Diff´erences Finies Principes de discr´etisation 9 / 37

D´ eriv´ ees du premier ordre

u

i±1

= u

i

±

„ du dx

«

i

∆x + 1 2

„ d

²

u dx

²

«

i

∆x

²

+ O(∆x

³

)

Diff´ erence d´ ecentr´ ee aval (ordre 1)

„ du dx

«

i

= u

_i₊₁

− u

_i

∆x + O(∆x) Diff´ erence centr´ ee (ordre 2)

„ du dx

«

i

= u

_i₊₁

− u

_i₋₁

2∆x + O(∆x

²

)

(5)

Interpr´ etation g´ eom´ etrique

x u(x)

x

i−1

u

_i−1

x

i+1

u

_i₊₁

x

i

u

i

d´ eriv´ ee exacte

d´ecentr´ee amont

d´ecentr´ee aval

Interpr´ etation g´ eom´ etrique

x u(x)

x

_i₋₁

u

_i−1

x

_i+1

u

i+1

x

_i

u

_i

d´ eriv´ ee exacte

centr´ee

(6)

M´ ethodologie g´ en´ erale

x x

n−1

x

n

x

n+1

x

n+2

1

Choix du support de calcul pour obtenir

„ d

^k

u dx

^k

«

xn

`

a l’ordre p

2

D´ eveloppement de Taylor de chaque u

_n+i

` a l’ordre k + p en x

_n

3

Ecrire une combinaison arbitraire des ´ u

n+i

X

i,support

a

_i

u

_n+i

= α

₀

u

_n

+ X

m=1,k+p

α

_m

„ d

^m

u dx

^m

«

x_n

∆x

^m

m!

o` u

αm

sont des combinaisons lin´ eaires des

ai

4

D´ eterminer les a

i

` a l’aide des k + p ´ equations : α

_m,m6=k

= 0 et α

k

= 1 Pour une ´ evaluation de d´ eriv´ ee d’ordre k ` a un ordre de pr´ ecision p,

il faut (en g´ en´ eral) un sch´ ema ` a k + p points.

Exemple: d´ eriv´ ee premi` ere, au 2

^nd

ordre, d´ ecentr´ e ` a gauche

^1/2

1

choix du support

x x

n−2

x

n−1

x

n

2

d´ eveloppement de Taylor

u

_n−2

' u

n

− 2∆x

„ du dx

«

xn

+ 4∆x

²

2 „ d

²

u dx

²

«

xn

u

_n−1

' u

_n

− ∆x

„ du dx

«

x_n

+ ∆x

²

2 „ d

²

u dx

²

«

x_n 3

´ ecriture des combinaison des u

n+i

X

i=−2,0

a

i

u

n+i

= (a

−2

+ a

−1

+ a

0

) u

n

+(−2a

−2

− a

−1

)∆x

„ du dx

«

x_n

+(4a

₋₂

+ a

₋₁

) ∆x

²

2 „ d

²

u dx

²

«

xn

(7)

Exemple: d´ eriv´ ee premi` ere, au 2

^nd

ordre, d´ ecentr´ e ` a gauche

2/2

1

choix du support

x x

_n−2

x

_n−1

x

_n

2

d´ eveloppement de Taylor

3

´ ecriture des combinaison des u

_n+i

4

identification

8 <

:

a

−2

+ a

−1

+ a

0

= α

0

−2a

₋₂

− a

₋₁

= α

1

4a

₋₂

+ a

₋₁

= α

₂

5

pour obtenir

„ du dx

«

xn

`

a l’ordre 1, il faut α

0

= 0 et α

1

= 1

(∞t´e solutions)

6

pour obtenir

„ du dx

«

x_n

`

a l’ordre 2, il faut α

₀

= 0, α

₁

= 1 et α

₂

= 0

„ du dx

«

x_n

= u

_n−2

− 4u

_n−1

+ 3u

_n

2∆x + O(∆x

²

)

Synth` ese des d´ eriv´ ees du premier ordre

ordre x

n−2

x

n−1

x

n

x

n+1

x

n+2

d´ ecentr´ e gauche 1 -1 1 /h

d´ ecentr´ e droite 1 -1 1 /h

d´ ecentr´ e gauche 2 1 -4 3 /2h

d´ ecentr´ e droite 2 -3 4 -1 /2h

centr´ e 2 -1 0 1 /2h

centr´ e 4 1 -8 0 8 -1 /12h

(8)

Synth` ese des d´ eriv´ ees du second ordre

ordre

xn−3 xn−2 xn−1 xn xn+1 xn+2 xn+3

d´ ecentr´ e gauche 1 1 -2 1

/h²

d´ ecentr´ e droite 1 1 -2 1

/h²

centr´ e 2

^?

1 -2 1

/h²

d´ ecentr´ e gauche 2 -1 4 -5 2

/h²

d´ ecentr´ e droite 2 2 -5 4 -1

/h²

centr´ e 4

^?

-1 16 -30 16 -1

/12h²

Synth` ese des d´ eriv´ ees centr´ ees d’ordre ´ elev´ e

ordre

xn−3 xn−2 xn−1 xn xn+1 xn+2 xn+3

du dx

2 -1 0 1

/2h

4 1 -8 0 8 -1

/12h

d²u dx²

2 1 -2 1

/h²

4 -1 16 -30 16 -1

/12h²

d³u dx³

2 -1 2 0 -2 1

/2h³

4 1 -8 13 0 -13 8 -1

/8h³

d⁴u dx⁴

2 1 -4 6 -4 1

/h⁴

4 -1 12 -39 56 -39 12 -1

/6h⁴

(9)

R´ esum´ e sur la m´ ethode des Diff´ erences Finies

calcul sur un ensemble de points (maillage)

propri´ et´ es de convergence uniquement en ces points formules ´ etablies pour maillage uniforme

perte des propri´ et´ es de pr´ ecision sur autre maillage support de calcul important avec ordre (d´ eriv´ ee et pr´ ecision)

coˆ ut de calcul

traitement des fronti` eres

Probl` eme de Cauchy

8 <

: d U

dt = F (U, t) U (0) = U

₀

probl` eme d’´ evolution (´ equation d’´ evolution + condition initiale)

´

equation diff´ erentielle ordinaire du premier ordre U de dimension d

Th´ eor` eme de Cauchy-Lipschitz si F (U , t) est lipschitzienne

„

∃M, ∀i, j ∈ {1..d },

˛

˛ dF

_i

d U

j

˛

< M

«

alors il existe une solution unique sur R

⁺

Int´egration d’un probl`eme de Cauchy Formulation et notations 20 / 37

(10)

R´ eduction de l’ordre du probl` eme

Si l’ordre de d´ erivation maximal k est sup´ erieur ` a un, on se ram` ene au probl` eme de Cauchy pr´ ec´ edent

en d´ efinissant des variables suppl´ ementaires, d´ eriv´ ees des premi` eres.

r´ eduction ` a un probl` eme d’ordre 1

augmentation de la dimension du probl` eme (k × d )

conditions initiales : valeurs et d´ eriv´ ees suppl´ ementaires introduites

Int´egration d’un probl`eme de Cauchy Formulation et notations 21 / 37

R´ eduction de l’ordre : exemple

Syst` eme masse/ressort avec frottement visqueux

m d

²

x

dt

²

+ c dx

dt + k x = 0 Rq : probl` eme lin´ eaire scalaire, ordre 2

R´ eduction de l’ordre par cr´ eation de variables d´ eriv´ ees

Probl` eme ´ equivalent

d dt

„ x v

«

=

„ 0 1

−k /m −c /m

« „ x v

«

Rq :

syst` eme lin´ eaire de dim 2, ordre 1

(x v ) espace d’´ etats ou espace des phases

(11)

Euler explicite

d U

dt = F (U, t) Au premier ordre (

d´evelopp´ee entn

),

U

ⁿ⁺¹

− U

ⁿ

∆t + O(∆t) = F (U

ⁿ

, t

_n

) Euler explicite

U

ⁿ⁺¹

' U

ⁿ

+ ∆tF (U

ⁿ

, t

_n

)

Intégration d’un problème de Cauchy Intégration explicite et implicite 23 / 37

Euler explicite : exemple d’int´ egration

d

²

u

dt

²

+ 11 du

dt + 10u = 0 avec

u(0) = 10, du

dt

(0) = 0

On reformule le probl` eme d dt

„ u v

«

=

„ 0 1

−10 −11

« „ u v

«

t u(t)

solution ∆t = 0.1 ∆t = 0.21

(12)

Euler explicite : analyse de stabilit´ e

U

ⁿ⁺¹

= U

ⁿ

+ ∆t A · U

ⁿ

Hypoth` eses : probl` eme lin´ eaire et A diagonalisable W

ⁿ⁺¹

= W

ⁿ

+ ∆t Λ · W

ⁿ

On obtient, par composante, W

_iⁿ⁺¹

= (1 + ∆t λ

i

)W

_iⁿ

L’int´ egration est stable si ∀i, |1 + ∆t λ

i

| < 1

∆t Re(λ)

∆t Im(λ)

-1

condition de stabilit´ e sur ∆t si λ r´ eel, ∆t < 2

|λ|

exemple: 2 valeurs propres {−1; −10}

∆t

max

= 0.2 si λ imaginaire pur,

inconditionnellement instable si probl` eme non-lin´ eaire, λ = λ(U)

pas adaptatif

Euler implicite

(backward Euler)

d U

dt = F (U, t) Au premier ordre (

d´evelopp´ee entn+1

),

U

ⁿ⁺¹

− U

ⁿ

∆t + O(∆t) = F (U

ⁿ⁺¹

, t

n+1

) Euler implicite

U

ⁿ⁺¹

− ∆tF (U

ⁿ⁺¹

, t

n+1

) ' U

ⁿ

Remarques :

si probl` eme non lin´ eaire, difficult´ e ` a r´ esoudre (it´ eratif)

si probl` eme lin´ eaire, inversion matricielle (dim d)

(13)

Euler implicite lin´ earis´ e

Forme lin´ earis´ ee

U

ⁿ⁺¹

= U

ⁿ

+ ∆t

"

I − ∆t

„ ∂F

∂U

«

Un

#

−1

· F (U

ⁿ

) Remarques :

calcul de la matrice jacobienne (coˆ ut, difficult´ e) coˆ ut de l’inversion

Stabilit´ e W

_iⁿ⁺¹

= 1

1 − ∆t λ

_i

W

_iⁿ

stabilit´ e inconditionnelle pour tout λ

i

∈ C

⁻ ^Re(λⁱ ^<⁰⁾

Remarques :

sch´ ema inconditionnellement stable ∆t arbitrairement grand attention, seulement pr´ ecis au premier ordre

Pr´ edicteur/correcteur

point milieu

dU

dt = F (U , t )

U = U

ⁿ

+ ∆t

2 F (U

ⁿ

, t

n

) U

ⁿ⁺¹

= U

ⁿ

+ ∆tF

„

U , t

n

+ ∆t 2

«

t

u(t)

Euler explicite

pr´edicteur

RK2

2 pas, 2 ´ evaluations de F m´ ethode d’ordre 2

rapport coˆ ut O1/O2 ` a pr´ ecision ´ egale : n

²

/2n

Intégration d’un problème de Cauchy Intégration multi-étapes 28 / 37

(14)

M´ ethodes de Runge et Kutta

G´ en´ eralisation des m´ ethodes p multi-´ etapes (multi-level)

U

i

= U

ⁿ

+ ∆t

i−1

X

j=0

α

ij

F ` U

j

´

U

ⁿ⁺¹

= U

ⁿ

+ ∆t

p

X

j=0

β

j

F ` U

j

´

Tableau de Butcher associ´ e

γ

₀

= 0

γ

1

α

1,0

γ

i

α

i,0

α

i,i−1

γ

_p

α

_p,0

α

_p,j

α

_p,p−1

β

₀

. . . . . . β

_p

consistance γ

i

= P

i−1

j=0

α

i,j

et P

p

j=0

β

j

= 1

Tableaux de Butcher : exemples

Euler RK ordre 1 0

1 point milieu trap` eze

RK ordre 2

0 1/2 1/2

0 1

0 1 1

1/2 1/2

RK ordre 3

0 1 1

1/2 1/4 1/4 1/6 1/6 2/3

RK ordre 4

0 1/2 1/2

1/2 0 1/2

1 0 0 1

1/6 1/3 1/3 1/6

(15)

Diagramme de stabilit´ e lin´ eaire des m´ ethodes Runge-Kutta

∆tRe(λ)

∆tIm(λ)

extension du domaine de stabilit´ e

extension significative sur l’axe imaginaire (RK3 et RK4)

Propri´ et´ es des m´ ethodes num´ eriques

1

CONSISTANCE :

le mod` ele continu est approch´ e avec une erreur d’ordre connu cette erreur d´ epend des pas caract´ eristiques de discr´ etisation l’ordre de pr´ ecision quantifie la variation de cette erreur (//pas) la solution discr` ete th´ eorique converge vers la solution continue

2

STABILIT´ E :

un sch´ ema est stable si la solution du calcul est effectivement la solution du probl` eme discret

toute perturbation num´ erique est amortie

3

CONVERGENCE :

la solution discr` ete converge vers la solution continue lorsque les pas tendent vers 0

Th´ eor` eme de Lax

un sch´ ema consistant et stable est convergent

Int´egration d’un probl`eme de Cauchy Validation et exploitation 32 / 37

(16)

Calcul d’erreur

Int´ egration du

dt = −u :

erreur relative ` a t = 10 selon nombre de pas

10 100 1000 10000

1e-12 1e-11 1e-10 1e-09 1e-08 1e-07 1e-06 1e-05 0.0001

0.001 0.01 0.1 1

RK1RK2 RK4

Convergence de la m´ ethode

Soit

m(h) mesure de la solution discr` ete associ´ ee au pas caract´ eristique h, p l’ordre de pr´ ecision du sch´ ema de discr´ etisation

m

0

la solution exacte de cette mesure pour le probl` eme continu On a

m(h) = m

0

+ ε(h) ε(h) = O(h

^p

)

On effectue 3 calculs (m

1

, m

2

, m

3

) de pas (h

1

, h

2

, h

3

) de ratios r . On calcule l’ordre de la m´ ethode selon

p = 1

ln r ln m

3

− m

2

m

2

− m

1

Remarque :

Ce calcul peut ˆ etre sensible au comportement r´ eellement asymptotique de la m´ ethode

(17)

Extrapolation de Richardson

A partir de `

m(h

₁

) = m

₀

+ k h

₁^p

+ O(h

₁^p+1

) m(h

2

) = m

0

+ k (rh

1

)

^p

+ O(h

^p+1₁

) On peut calculer

m

^?

= r

^p

m

₁

− m

₂

r

^p

− 1 = m

1

+ m

₁

− m

₂

r

^p

− 1 qui est une estimation d’ordre p + 1 de m

0

Conclusion

Diff´ erences Finies

m´ ethode bas´ ee sur les d´ eveloppements de Taylor utilisable pour les EDP (plusieurs coordonn´ ees)

support de calcul potentiellement ´ etendu (coˆ ut, traitement des fronti` eres) sensibilit´ e ` a la qualit´ e de la r´ epartition des points

Probl` eme ` a valeur initiale

discr´ etisation Diff´ erence Finies de l’op´ erateur “temporel”

m´ ethodes explicites, pr´ ecision et stabilit´ e

attention aux probl` emes raides (vp tr` es diff´ erentes) et peu amortis m´ ethodes implicites

coˆ ut de calcul (si d 1) et en non-lin´ eaire attention ` a la pr´ ecision

classe de m´ ethodes utilis´ ees pour l’int´ egration des EDP (instationnaires)

Conclusion 37 / 37