HX4 — Contrˆole 1994/15
Exercice 1
◮SoitE unK-e.v. On rappelle qu’unprojecteur deE est un endomorphismepdeE v´erifiant p◦p=p. On sait que, sipest un projecteur deE, alorsE= (kerp)⊕(imp), et impest l’ensemble des vecteurs deE qui sont invariants sous l’action dep.
Q1 Soit pun projecteur de E. Montrez que kerp= im(IdE−p), puis que imp= ker(IdE−p).
◮Dans la suite, p et q sont deux projecteurs de E. IdE d´esigne l’endomorphisme identique de E, et 0 l’endomorphisme nul.
Q2 On suppose (IdE−p)◦q=q◦(IdE−p) =0. Montrez quep−qest un projecteur.
Q3 R´eciproquement, montrez que si p−qest un projecteur, alors (IdE−p)◦q=q◦(IdE−p) =0.
Q4 En d´eduire quep−qest un projecteur ssi on a simultan´ement imq⊂impet kerp⊂kerq.
◮Dans les trois questions suivantes, on suppose quep−qest un projecteur.
Q5 Montrez que im(p−q) = (imp)∩(kerq).
Q6 Montrez que kerpet imqsont en somme directe.
Q7 Montrez que ker(p−q) = (kerp)⊕(imq).
Exercice 2
◮Rappel :R+d´esigne l’intervalle [0,+∞[. Nous notonsEl’ensembleC∞(R+,R), muni de sa structure naturelle deR-e.v.
Q1 Soit f ∈ E. Justifiezrigoureusementl’existence de la fonction x∈R+7→
Z x
0
e−tf(t)dt
ainsi que son appartenance `a E. D´esormais, cette fonction sera not´ee Φ(f). Nous d´efinissons ainsi une fonction Φ deE dans lui-mˆeme.
Q2 Soientf ∈ E etx∈R+. Que pensez-vous des notations¡ Φ(f)¢
(x), Φ(f)(x) et Φ¡ f(x)¢
? Q3 Prouvez que Φ est un endomorphisme deE.
Q4 Soientf ∈ E etF = Φ(f). Combien vautF(0) ? Φ est-il surjectif ? Q5 Φ est-il injectif ?
Q6 Soit F ∈ E v´erifiantF(0) = 0. Montrez qu’il existe un et un seul ´el´ement f deE tel que Φ(f) =F. Vous expliciterez f en fonction deF.
◮Rappel : une fonctionf, d´efinie sur un intervalleIdeRet `a valeurs r´eelles, est diteborn´ee s’il existe un r´eel M >0 tel que¯
¯f(x)¯
¯6M pour toutx∈I. Notez bien queM d´epend def.
◮NotonsBl’ensemble des ´el´ements deE qui sont born´es.
Q7 Montrez que Best stable par Φ.
Q8 Donnez un autre exempleint´eressantde s.e.v. deE stable par Φ. Bien entendu, vous donnerez une preuve
`a l’appui de votre exemple !
[Contr^ole 1994/15] Compos´e le 7 mars 2008
