Partie II. Un autre exemple. Inégalité de Hölder.

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MPSI B Corrigé du DM 13 29 juin 2019

Partie I. Exemples. Une inégalité générale.

Dans toute cette partie, on utilisera souvent le résultat suivant.

Si une fonction continue, dénie dansRest monotone au voisinage de+∞et de

−∞alors elle majorée si et seulement si elle ne diverge pas vers+∞ni en−∞ni en+∞.

Ce résultat est une conséquence des dénitions des limites et du fait qu'une fonction continue sur un segment est bornée.

1. IciX =R,f(x) =Kx², h_m(x) =mx−Kx².

SiK <0, hm n'est majorée pour aucune valeur dem.

Si K >0, hm est majorée pour tous les m réels. On obtient facilement la valeur minimale de la fonction du second degré. On en déduit :

X^◦=R; f^◦(m) = m² 4K On vérie quef =f^◦ si et seulement siK= ¹₂.

2. Lorsque f est une fonction continue sur un segment X = [a, b], il en est de même des fonctionsh_mpour n'importe quelle valeur dem. Ces fonctions sont donc toujours bornées ce qui montreX^◦=R

Chaque fonction continue h_m atteint ses bornes sur le segment [a, b]. Il existe donc x_m∈[a, b]tel que f^◦(m) =h_m(x_m). Dans ce cas rien n'assure l'unicité dex_m. 3. IciX =Retf(x) = ¹₃x³. Commehm(x) =mx−¹₃x³, elle est monotone au voisinage

de+∞et de −∞avec

h_m(x)∼ −1 3x³

Cette fonction diverge vers+∞en−∞. Elle n'est pas bornée par conséquent X^◦=∅

4. IciX =Ret

f(x) =e^x, hm(x) =mx−e^x Examinons les limites

en − ∞ : h_m(x)→







−∞ si m >0 0 si m= 0 +∞ si m <0 en +∞ : h_m(x)→ −∞

Le résultat précisé au début permet de conclure queX^◦= [0,+∞[.

Sim= 0, la fonctionh0(x) =−e^x admet0 comme borne supérieure doncf^◦(0) = 0. Sim >0, formons le tableau de variations deh_m(x) =mx−e^x.

On ah⁰_m(x) =m−e^xet

0 lnm +∞

mlnm−m

hm % &

−1 −∞

On en déduit (en notant à nouveauxla variable) X^◦ = [0,+∞[

f^◦(x) =

0 si x= 0 xlnx−x si x >0

On forme alors ku(x) = ux−xlnx+x pour x > 0 dont on cherche le tableau de variationsk_u⁰(x) =u−lnx:

0 e^u +∞

e^u k_u % &

0 −∞

On en déduitX^◦◦=Ravecf^◦◦(x) =e^x.

5. IciX =Ret f(x) =αx+β,hm(x) =mx−αx−β = (m−α)x−β. Sim6=α, une des limites en±∞est +∞et donchmn'est pas majorée.On en déduit

X^◦={α}, f^◦(α) =−β

Alorshuest toujours bornée puisque son domaine de dénition est réduit au seul point αavechu(α) =uα−(−β). Donc en revenant à la lettrexpour désigner la variable :

X^◦◦=R, f^◦◦(x) =αx+β 6. IciX ne contient que quatre pointsX ={−1,0,1,2}et

hm(x) =











−m−1 si x=−1 0 si x= 0 m−2 si x= 1 2m−1 si x= 2

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai M0613C

(2)

0.5

−1

Fig. 1: I.6. Étude graphique

La question est alors de savoir, pour un nombre mdonné, quel est le plus grand des quatre nombres

−1−m 0 m−2 2m−1

Le plus commode est de faire une étude graphique en traçant les quatre droites m→ −1−m m→0 m→m−2 m→2m−1

Une de ces droites est l'axe des x. On voit clairement sur le dessin le graphe de f^◦ et on déduit facilement son expression (la démonstration ne mérite pas vraiment qu'on s'y attarde). On en déduitX^◦=Ret, en notant à nouveauxla variable,

f^◦(x) =







−x−1 si x≤ −1 0 si x∈

−1,¹₂ 2x−1 si x≥¹₂

Il est important de noter que la fonctionf^◦ est continue. Formons maintenantku(x) k_u(x) =







ux−(−x−1) = (u+ 1)x+ 1 si x≤ −1 ux−0 =ux si x∈

−1,¹₂ ux−(2x−1) = (u−2)x+ 1 si x≥ ¹₂

À cause du résultat cité dans le préambule, la fonctionk_u est majorée si et seulement siu+ 1≥0 etu−2≤0. Par conséquentX^◦◦= [−1,2].

Sur ]−∞,−1]la fonctionk_u est croissante. Elle atteint sa borne supérieure en−1 en prenant la valeur−u.

Sur 1

2,+∞la fonctionku est décroissante. Elle atteint sa borne supérieure en ¹₂ en prenant la valeur ^u₂.

Sur

−1,¹₂ la fonction ku est ane et varie entre les deux valeurs précedentes. Sa borne supérieure est donc la plus grande des deux valeurs précédentes.On en déduit

∀u∈[−1,2] :f^◦◦(u) = sup

R

k_u= max(−u,u 2) Soit, revenant à la lettrex:

f^◦◦(x) =

−x si x∈[−1,0]

1

2x si x∈[0,2]

On remarque que le domaine de dénition est le plus petit intervalle contenant le domaine de dénition def.

7. Pourx∈X etm∈X^◦,

mx−f(x) =hm(x)≤f^◦(m) = sup

X

hm

d'où

mx≤f(x) +f^◦(m)

Partie II. Un autre exemple. Inégalité de Hölder.

1. L'étude de la fonctionhmconduit à X^◦=Ravec

u^◦_p(m) = 0pourm≤0 etu^◦_p(m) =u_q(m)pour m >0

(3)

Fig. 2: I.6. Graphe de f^◦◦

Au cours de cette étude on utilise en particulier la dénition deq: 1 + 1

p−1 = p

p−1 = 1 1−¹_p =q

2. a. On exploite l'inégalité I.7. pour obtenir la première inégalité demandée puis on remplacexparλxet y par ¹_λy pour obtenir la seconde.

b. On ajoute les inégalités précédentes pour les couplesx_i,x_j. 3. a. Calculons la dérivée dev :

v⁰(x) =ax^p−1−bx^−q−1=ax^−(1+q)

x^p+q−b a

La fonctionvest donc décroissante puis croissante, elle atteint sa valeur minimale (notéeV) en(^b_a)^p+q¹ avec

V =a p(b

a) p p+q +b

q(b a)

− q

p+q

De plus,

1− p

p+q = q p+q = 1

p 1− q

p+q = p p+q = 1

q











⇒V = 1

pa^p¹b¹^q +1

qa¹^pa¹^q =a¹^pb¹^q

b. L'inégalité du 2.b. est de la forme

∀λ >0,

n

X

i=1

x_iy_i≤v(λ)aveca=

n

X

i=1

x^p_i et b=

n

X

i=1

y_i^q On en déduit la meilleure inégalité possiblePn

i=1xiyi ≤V oùV =a¹^pb¹^q est la valeur minimale de la fonction. On obtient ainsi l'inégalité de Hölder.

Partie III. Espaces N et N

₀

de fonctions convexes.

Les conditions imposées aux fonctions de N et N₀ entraînent clairement qu'elles sont convexes et croissantes.

1. Commef(0) = 0, on peut poserτ(x) = ^f(x)_x et interpréterτ comme le taux d'accrois- sement en 0 de la fonction f. D'après le théorème des accroissements nis, il existe cx ∈]0, x[ tel que τ(x) = f⁰(cx). Comme τ diverge vers +∞, la fonction f⁰ n'est pas majorée, commef⁰ est strictement croissante, elle diverge vers+∞.

2. Appliquons le théorème des accroissements nis entrexet 2x. Il existec∈]x,2x[tel que

f(2x)−f(x) =xf⁰(c)≥xf⁰(x)

carf⁰ est croissante. Comme de plusf est aussi croissante avec f(0) = 0, le nombre f(x)est positif donc

xf⁰(x)≤f(2x) 3. On suppose ici quef⁰→+∞en+∞. Comme

f⁰(x)≤2f(2x) 2x

On en déduit ^f(2x)_2x → +∞. Comme d'autre part τ est croissante car f est convexe, cela prouve queτ→+∞

Partie IV. Transformée de Legendre dans N

₀

.

1. Les propriétés des fonctions dansN0en particulierf⁰ croissante,f⁰→+∞en+∞et le calcul deh⁰_m(x) =m−f⁰(x)conduisent au tableau suivant

0 x_m +∞

f^◦(m) hm % &

0 −∞

(4)

La fonctionhmatteint son maximum en un unique pointxmnotéϕ(m).

2. a. Les conditions deN0entraînent quef⁰est strictement croissante deR+dansR+. Elle est bijective car continue avec les bonnes limites .

b. Commex_mannule la dérivée deh_m, on am=f⁰(ϕ(m)). Doncϕest la bijection réciproque def⁰. On en déduit queϕest continue (d'après un résultat du cours).

Elle est également croissante ce qui conduit aux bonnes limites grace aux limites def⁰.

3. D'après les questions précédentes, on peut écrire

f^◦(m) =mϕ(m)−f◦ϕ(m)

Comme f⁰ est strictement croissante avec f⁰⁰ > 0, la bijection réciproque de f⁰ est dérivable (résultat de cours) avec

ϕ⁰ = 1 f⁰⁰◦ϕ On en déduit queϕestC¹ puis quef^◦ estC¹avec

f^◦0=ϕ(m) +mϕ⁰(m)−ϕ⁰(m)f⁰(ϕ(m)) =ϕ(m)

carf⁰(ϕ(m)) =m. CommeϕestC¹, cela prouve quef^◦ estC². D'après le calcul deϕ⁰ déjà eectué,

f^◦00= 1 f⁰⁰◦ϕ

4. Les calculs précédents et la dénition deN0montrent clairement quef^◦∈ N0. D'autre part,f^◦◦0 est la bijection réciproque def^◦0c'est à diref⁰. Ainsif^◦◦ et f ont la même dérivée, la condition en 0 prouve qu'elles sont égales.

Partie V. Un résultat général.

Dans toute cette partie, on supposeX^◦ non vide.

1. L'inégalité de la question I.7. entraîne que pour chaquexdeX,f(x)est un majorant de

{mx−f^◦(m), m∈X^◦} d'où

∀x∈X, f(x)≥sup{mx−f^◦(x), m∈X^◦}

2. a. Il est clair quem∈[m1, m2]si et seulement si0≤m2−m≤m2−m1. Si on pose t= _m^m²^−m

2−m1 c'est à direm=m2−t(m2−m1) =tm1+ (1−t)m2.On obtient bien m∈[m1, m2]⇔ ∃t∈[0,1] tel quem=tm1+ (1−t)m2

b. Si m1 et m2 sont dans X^◦ et m dans [m1, m2], il existe t dans [0,1] tel que m=tm1+ (1−t)m2. Comme f(x) = tf(x) + (1−t)f(x), on peut écrire pour toutxdeX :

hm(x) =thm1(x) + (1−t)hm2(x)

Il est important de remarquer quetet1−tsont positifs dans cette formule. C'est cela qui montre que h_m est majorée par tf^◦(m₁) + (1−t)f^◦(m₂) et donc que m∈X^◦.

c. On déduit de b. queX^◦ est convexe. C'est donc toujours un intervalle deR.

3. a. D'après V.1., pour toutx∈X,f(x)est un majorant de {mx−f^◦(m), m∈X^◦} doncx∈X^◦◦ ce qui entraîneX ⊂X^◦◦ avecf^◦◦(x)≤f(x).

b. On n'a pas toujoursX^◦◦=X car d'après I.2.c., l'ensembleX^◦(et à fortioriX^◦◦) est toujours un intervalle ce qui n'est pas forcément le cas pour le domaine de départX (comme dans le troisième exemple de la partie précédente).

c. D'après 1.,X^◦⊂X^◦◦. En remplaçantX parX^◦ on obtient donc X^◦⊂X^◦◦

On va exploiter maintenant

∀x∈X:f^◦◦(x)≤f(x)

Considérons un m quelconque dans X^◦◦◦ et un xquelconque dans X. Comme f^◦◦(x)≤f(x), on a aussi

mx−f(x)≤mx−f^◦◦(x)≤f^◦◦◦(m)

Par conséquent,f^◦◦◦(m)est un majorant dex→mx−f(x)déni dansX ce qui prouve m∈ X^◦ avecf^◦(m) ≤f^◦◦◦(m). Comme on avait déjà f^◦◦◦(x) ≤f^◦(x) (c'est la relationf^◦◦(x)≤f(x)appliquée àf^◦) on obtient bien nalement

X^◦◦◦=X^◦:f^◦◦◦=f^◦