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Chapitre II : LIMITES D’UNE FONCTION, CONTINUITÉ
I- Définitions de limites
1) Limite finie d’une fonction en l’infini
Soient et ℓ deux réels et une fonction définie sur un intervalle de la forme ; +∞ (respectivement
−∞; ).
Approche intuitive : Dire qu’une fonction admet pour limiteℓ en +∞ (respectivement en −∞) signifie que () peut être « aussi proche de ℓ que l’on veut » dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).
Définition 1 : On dit qu’une fonction admet pour limiteℓ en +∞ (respectivement en −∞) si tout
intervalle ouvert contenant ℓ (de la forme ]ℓ
–
α ; ℓ+
α avec α > 0) contient tous les réels () dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).On note :
→lim∞() =ℓ (resp. lim→∞() =ℓ)
Exemple : Étudier la limite de la fonction définie sur ℝ∗ par () = 1 +²! en −∞ et +∞. 2) Limite infinie d’une fonction en l’infini
Approche intuitive : Dire qu’une fonction admet pour limite+∞en +∞ (respectivement en −∞) signifie que () peut être « aussi grand que l’on veut » dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).
Définition 2 : On dit qu’une fonction admet pour limite+∞ en +∞ (respectivement en −∞) si tout intervalle de la forme # ; +∞[ où # est un réel (logiquement positif) contient tous les réels () dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).
On note :
→∞lim () = +∞ (resp. lim→
∞() = +∞)
Exemple : Étudier la limite de la fonction définie sur ℝ par () = 3² − 1 en −∞ et +∞.
Approche intuitive : Dire qu’une fonction admet pour limite−∞en +∞ (respectivement en −∞) signifie que () peut être négatif et « aussi grand que l’on veut en valeur absolue » dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).
Définition 3 : On dit qu’une fonction admet pour limite−∞ en +∞ (respectivement en −∞) si tout intervalle de la forme ] − ∞; #[ où # est un réel (logiquement négatif) contient tous les réels () dès que est « assez grand » (resp. dès que est négatif et « assez grand en valeur absolue »).
On note :
→∞lim () = −∞ (resp. lim→∞() = −∞)
Exemple : Étudier la limite de la fonction définie sur ℝ par () = −4² + 2 en −∞ et +∞.
2 3) Limite d’une fonction en un point
On considère une fonction définie sur un ensemble '.
Soit un réel tel que ∈ ' ou est une borne de '. a) Limite infinie d’une fonction en un point
Approche intuitive : Dire qu’une fonction admet pour limite+∞
(
resp. −∞) en signifie que () peut être « aussi grand que l’on veut » (resp. négatif et « aussi grand que l’on veut en valeur absolue ») dès que est « suffisamment proche de ».Définition 4 : On dit qu’une fonction admet pour limite+∞ (respectivement en −∞) en si tout
intervalle de la forme # ; +∞ où # est un réel (positif) (resp. − ∞; # où # est un réel (négatif)) contient tous les réels () dès que est « suffisamment proche de ».
On note :
→)lim() = +∞ (resp. lim→)() = −∞)
Exemple : Étudier la limite en 0 des fonctions et * définies sur ℝ∗ par () = 1 + !
² et *() = 3 − !
²
Remarque : On sera souvent amené à étudier les limites en lorsque < et lorsque > . On parlera alors respectivement de limite « à gauche » et « à droite » en .
Exemple : Étudier la limite en 0 de la fonction définie sur ℝ∗ par () =!
b) Limite finie d’une fonction en un point
Approche intuitive : Dire qu’une fonction admet pour limiteℓ en signifie que () peut être « aussi proche de ℓ que l’on veut » dès que est « suffisamment proche de » .
Définition 5 : On dit qu’une fonction admet pour limiteℓ en si tout intervalle ouvert contenant ℓ (de la forme ]ℓ
–
α ; ℓ+
α [ avec α > 0) contient tous les réels () dès que est « suffisamment proche de » On note :→)lim() =ℓ
Exemple : Etudier la limite en 2 de la fonction définie sur ℝ\{2} par () =²/00
4) Limites et asymptotes Définition 6 :
1) On dit que la droite d’équation = est asymptote à la courbe représentative de si () a pour limite +∞ou −∞ lorsque tend vers .
2) On dit que la droite d’équation 1 = ℓ est asymptote à la courbe représentative de en +∞
(
resp. −∞) si() a pour limite ℓ lorsque tend vers +∞
(
resp. −∞).Remarque : Dans le 1er cas, on parle d’asymptote « verticale » et dans le 2e cas d’asymptote « horizontale » mais il est plus rigoureux de dire « asymptote parallèle à l’axe des ordonnées » pour le 1) et « asymptote parallèle à l’axe des abscisses » pour le 2).
3 II- Calculs de limites
1) Limites et opérations
Considérons deux fonctions et * définies dans un voisinage de où désigne un réel ou −∞ ou +∞. a) Limite d’une somme de fonctions
→)lim() ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞
→)lim*() ℓ′ +∞ −∞ +∞ −∞ −∞
→)lim() + *()
Exemple : Calculer les limites suivantes :
→3lim 4² + 3 −2
5 ; lim→3(2² − 3 + 2) ; lim→6
76
41 − 1
²5
b) Limite d’un produit de fonctions
→)lim() ℓ ℓ > 0 ℓ < 0 ℓ > 0 ℓ < 0 +∞ −∞ +∞ 0 0
lim→)*() ℓ′ +∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞ −∞ +∞ −∞
→)lim() × *()
Exemples : Calculer les limites suivantes :
→3lim (² + 3) ×2
; lim→3(2² − 3 + 2) ; lim→6
96
41 − 1
²5
c) Limite d’un quotient de fonctions
Dans cette partie, on considère que la fonction * ne s’annule jamais.
1:; cas : lim→)*() ≠ 0
→)lim() ℓ ℓ ℓ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞ +∞ −∞
→)lim*() ℓ′ ≠ 0 +∞ −∞ ℓ′ > 0 ℓ′ > 0 ℓ@< 0 ℓ@< 0 +∞ +∞ −∞ −∞
→)lim ()
*()
4 2: cas : lim→)*() = 0
→)lim() ℓ > 0 ou +∞ ℓ > 0 ou +∞ ℓ < 0 ou −∞ ℓ < 0 ou −∞ 0
→)lim*() 0 0 0 0 0
→)lim ()
*()
Exemples : Calculer les limites suivantes :
→3lim
² − 2 + 5
−3 + 2 ; lim→! − 3
− 1 ; lim→0 2 − 5
² − 3 + 2
d) Limite en l’infini des fonctions polynômes et rationnelles Propriété 1 :
1) La limite en l’infini d’une fonction polynôme est égale à la limite de son terme de plus haut degré.
2) La limite en l’infini d’une fonction rationnelle (quotient de deux polynômes) est égale à la limite du quotient des deux termes de plus haut degré.
Exemple : Calculer les limites suivantes :
→3lim (3² − 5 + 1); lim→3(−2/− ² + 2 + 3) ; lim→3 3² + 5
2/− 3 + 1 ; lim→3 −² + 3 + 1 5² − 3 + 2 2) Limites et composition
Exemple : Soit la fonction définie sur ………. par () = √2 − .
est l’enchaînement de deux fonctions : C définie sur ℝ et donc sur ………. par C() = 2 − suivie de la fonction D définie sur ………. par D(E) = √E.
On peut donc écrire () = DFC()G. Définition 7 :
D est une fonction définie sur un intervalle H et C une fonction définie sur un intervalle I tel que, pour tout ∈ I, C() ∈ H.
La fonction composée C suivie de D est la fonction définie sur I par () = DFC()G. On peut aussi écrire = D ∘ C et on lit « D rond C ».
Théorème 1 : (admis)
, L et M désignent des réels ou −∞ ou +∞.
Si lim→)C() = L et si limP→QD(E) = M alors lim→)DFC()G = M Exemples : Calculer les limites suivantes :
→3lim √2 − ; lim→345 −1 5
0; lim→/4 2 + 35
S
5 3) Limites et comparaison
Théorème 2 :
désigne un réel ou −∞ ou +∞.
Soient et * deux fonctions définies sur un intervalle I, voisinage de .
1) Si pour tout ∈ I, () ≤ *() et si lim →)() = +∞ , alors lim →)*() = +∞
2) Si pour tout ∈ I, () ≤ *() et si lim →)*() = −∞ , alors lim →)() = −∞
Théorème 3 : « dit des gendarmes »
ℓ désigne un réel et désigne un réel ou −∞ ou +∞.
Soient , * et ℎ trois fonctions définies sur un intervalle I, voisinage de .
Si pour tout ∈ I, () ≤ *() ≤ ℎ() et si lim →)() = lim →)ℎ() = ℓ , alors lim →)*() = ℓ
III- Continuité et théorème des valeurs intermédiaires
1) Définition de la continuité
Définition 8 : Soit une fonction définie sur un intervalle I contenant 6. 1) On dit que la fonction est continue en 6 lorsque :
→lim W() = (6)
2) On dit que la fonction est continue sur I lorsque est continue en tout point de I.
Graphiquement : La courbe représentative d’une fonction continue sur un intervalle I peut être tracée sur cet intervalle sans lever le crayon.
Exemples :
1) la fonction inverse est continue sur −∞; 0 et sur 0; +∞
2) La fonction partie entière est définie sur ℝ mais n’est pas continue sur ℝ. Elle est continue sur tout intervalle de la forme ………..
2) Théorème des valeurs intermédiaires et conséquences Théorème 4 : « dit des valeurs intermédiaires » (admis)
Soit une fonction définie et continue sur un intervalle [; L] (où et L sont deux réels tels que < L).
La fonction atteint toutes les valeurs comprises entre () et (L), c’est-à-dire : Pour tout réel X compris entre () et (L), il existe au moins un réel M de l’intervalle ; L tel que (M) = X.
Corollaire : (admis)
Soit une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle [; L] (où et L sont deux réels tels que < L). Alors, pour tout réel X compris entre () et (L), il existe un unique réel M de l’intervalle [; L]tel que (M) = X.
