I Rappels sur le second degré
I.1 Fonction polynôme du second degré
Définition 1 On appelle fonction polynôme du second degré toute fonctionP, définie surR, pouvant se ramener à la forme :P(x) =ax2+bx+coùa, b et csont des réels aveca6= 0
L’expressionax2+bx+cest encore appelée trinôme du second degré.
ax2+bx+c= 0⇔a
x+ b 2a
2
− ∆ 4a2
!
= 0⇔
x+ b 2a
2
= ∆
4a2 avec ∆ =b2−4ac D’où le théorème :
Théorème 1 Solutions de l’équationax2+bx+c= 0 1. Si ∆<0, l’équation n’a pas de solution réelle.
2. Si ∆ = 0, l’équation a une seule solutionx0=−2ba. 3. Si ∆>0, l’équation a deux solutions :
x1=−b+√
∆
2a et x2= −b−√
∆ 2a
Exemple 1 (E1) :x2−4x+ 4 = 0,(E2) :−6x2+x+ 1 = 0et(E3) : 5x2+ 6x+ 2 = 0
I.2 Représentation graphique, tableaux de signes, factorisation
Document synthétique ici :
http://gilles.costantini.pagesperso-orange.fr/Lycee_fichiers/CoursP_fichiers/dg2res.pdf
I.3 Exemples
1. Dessiner l’allure de la courbe de la fonction :f :x7−→ −3x2+ 2x+ 1
2. Résoudre l’inéquation 3x2+x+ 1 x2−3x−10>0
3. Factoriser 2012x2+x−2013
II Limites d’une fonction
II.1 Limites en + ∞ et en −∞ ( x 7−→ ±∞ )
1. Limite infinie ( f(x)7−→ ±∞)
f est une fonction définie sur un intervalle de la formeIα= [α; +∞[ ouIβ=]− ∞;β].
Définition 2 On dit quef(x)tend vers+∞lorsquextend vers+∞, quand tout intervalle du type[A; +∞[ contient toutes les valeurs def(x)pourxassez grand.
Cela se note lim
x→+∞f(x) = +∞
• Ce qui se traduit concrètement et rigoureusement par :
« pour toutA∈R, il existeun réelxA (qui dépend deA) tel que :
x∈Iα etx>xA implique quef(x)>A( ou encoref(x)∈[A; +∞[ ) »
• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :
« Il existe des grandsxdont l’image dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis »
O [
α
Remarque 1 Utiliser la définition pour prouver que lim
x→+∞f(x) = +∞revient à trouver des solutions dansIα à l’inéquationf(x)>A et ceci pour n’importe lequel des nombresAque je choisis.
Exemple 2 f(x) =x2 définie surI0= [0; +∞[(f(x)>0donc choix deA>0)
A= 100 A= 106 ... Aquelconque positif
EXERCICE 1 Prouver que lim
x→+∞
√x= +∞
Définition 3 On dit quef(x)tend vers−∞lorsquextend vers+∞, ...
On note ...
EXERCICE 2 1. Écrire deux définitions analogues traduisant lim
x→−∞f(x) = +∞et lim
x→−∞f(x) =−∞
2. Donner un exemple de fonction pour chacune des limites précédentes.
Fonctions de référence dont il faut retenir les limites
x→+∞lim x= +∞ lim
x→−∞x=−∞
x→+∞lim x2= +∞ lim
x→−∞x2= +∞
x→+∞lim xn= +∞ (n∈N∗) lim
x→−∞x3=−∞
x→+∞lim
√x= +∞ 2. Limite finie ( f(x)7−→L)
Définition 4 On dit quef(x)tend versLlorsquextend vers+∞, quand tout intervalle ouvert contenant Lcontient toutes les valeurs def(x)pour xassez grand.
Cela se note lim
x→+∞f(x) =L
• Traduction rigoureuse :
« pour toutǫ >0, ilexisteun réelxǫ (qui dépend deǫ) tel que :
x∈Iα etx>xǫ implique que|f(x)−L|6ǫ( ou encoref(x)∈]L−ǫ;L+ǫ[ ) »
• ou encore plus simplement mais avec moins de rigueur :
« Il existe des grandsxdont l’image se rapproche deLde manière aussi précise que je veux »
O L
+
α[
Remarque 2 Utiliser la définition pour prouver que lim
x→+∞f(x) =Lrevient à trouver des solutions dansIα à l’inéquation|f(x)−L|< ǫet ceci pour n’importe lequel des nombresǫque je choisis.
Exemple 3 f(x) = 1
x définie surI0=]0; +∞[
ǫ= 0,1 ǫ= 10−5 ... ǫquelconque positif
EXERCICE 3 Prouver que lim
x→+∞
3x−1 x+ 2 = 3
Définition 5 On dit quef(x)tend versL lorsquextend vers−∞, ...
On note ...
EXERCICE 4 Donner deux exemples de fonction vérifiant lim
x→+∞h(x) = 1 et lim
x→+∞g(x) =−2
Fonctions de référence dont il faut retenir les limites
x→+∞lim 1
x = 0 lim
x→−∞
1 x = 0
x→+∞lim 1
xn = 0 (n∈N∗) lim
x→−∞
1
xn = 0 (n∈N∗)
x→+∞lim
√1 x = 0 Notion d’asymptote horizontale
Définition 6 Lorsquef a pour limiteLen+∞(en−∞), on dit que la droite d’équationy=Lest asymptote horizontale à la la courbeCf en+∞(en−∞). D’un point graphique, la courbe def se rapproche de la droite d’équationy=L
x→+∞lim f(x) =L
O L
+
α[
x→−∞lim f(x) =L
O L
+
β]
Exemple 4 Traduire graphiquement la limite de l’exercice 3.
II.2 Limite infinie d’une fonction en un réel a ( x 7−→ a et f (x) 7−→ ∞ )
f est définie sur un ensemble (intervalle, réunion d’intervalles, ...) dontaest l’une des bornes.
Définition 7 On dit que f(x) tend vers +∞lorsque x tend vers a, quand tout intervalle de la forme [A; +∞[ contient toutes les valeurs de f(x)pourxassez proche dea.
Cela se note lim
x→af(x) = +∞
Traduction approximative :
« Il existe desxproche deadont l’image dépasse n’importe lequel des nombres que je choisis » Exemple 5 Déterminer lim
x→0
1 x2 Faire un schéma illustrant le résultat.
Remarque 3 :
1. D’une manière générale, pour donner une définition de lim
x→af(x) = L (L fini ou infini), il faut adapter les définitions en remplaçant «pour x assez grand» par «pour x assez proche de a»
2. Dans certains cas, pourxproche dea,f(x) prend des valeurs positives très grandes et des valeurs négatives très petites, doncf n’a pas de limite ena.
Exemple 6 f:x7−→ 3
x−2. Étude en 2.
x 1.9 1.99 1.999 1.9999 1.99999
f(x)
x 2.1 2.01 2.001 2.0001 2.00001
f(x)
O
Définition 8 Lorsque lim
x→af(x) = +∞ou−∞, on dit que la droite∆ :x=aest asymptote àCf et cette définition se généralise aux limites à gauche ou à droite.
Illustrations :
xlim→af(x) = +∞
O
xlim→af(x) =−∞
O
xlim→a x>a
f(x) = +∞ et lim
x→a x<a
f(x) =−∞
O
II.3 Opérations sur les limites
On considère deux fonctions f etg, admettant des limites soit en−∞, soit en +∞, soit en un réel a.
1. Limite d’une somme
lim f l l +∞ −∞
lim g l′ ±∞ +∞ −∞
lim(f+g)
Dans le cas limf =−∞ et limg= +∞ on ne peut pas tirer de conclusion générale pourf+g, il s’agit d’une forme indéterminée.
2. Limite d’un produit
lim f l l6= 0 +∞ +∞ −∞
lim g l′ ±∞ +∞ −∞ −∞
lim(f ×g)
∗ : + ou−appliquer la règle des signes.
Dans le cas limf = 0 et limg=±∞, on ne peut pas tirer de conclusion générale pourf ×g, il s’agit d’une forme indéterminée.
3. Limite d’un quotient
lim f l l +∞ −∞
lim g l′6= 0 ±∞ l′6= 0 l′6= 0 lim(gf)
∗ : + ou−appliquer la règle des signes.
Dans les cas suivants :
limf =±∞ et limg=±∞ ; limf = 0 et limg= 0 ;
on ne peut pas tirer de conclusion générale pour fg, il s’agit deformes indéterminées.
Exemple 7 Déterminer la limite en 3 def:x7−→ 1−x (x−3)2
II.4 Limites en + ∞ et −∞ d’une fonction polynôme
Propriété 1 Limite d’une fonction polynôme en±∞
En +∞et en−∞uniquement, la limite de la fonction polynôme définie surRpar : x7−→anxn+....+a1x+a0(avecan6= 0)
est celle de la fonctionx7−→anxn
On dit qu’à l’infini une fonction polynôme a même limite que son terme de plus haut degré.
Exemple 8 Étudier la limite en+∞de la fonctionx7−→1 + 2x−5x3
II.5 Limites en + ∞ et −∞ d’une fonction rationnelle
Propriété 2 Limite d’une fonction rationelle en±∞
En +∞et en−∞uniquement, la limite de la fonction rationnelle définie surR− {v.i} par : x7−→ anxn+....+a1x+a0
bpxp+....+b1x+b0
(avecan6= 0 etbp6= 0) est celle de la fonctionx7−→ anxn
bpxp
On dit qu’à l’infini une fonction rationnelle a même limite que le rapport des termes de plus haut degré.
Exemple 9 Étudier la limite en+∞de la fonctionx7−→ x3−x+ 1 8x2−1
II.6 Théorèmes de comparaison
Les résultats ci-dessous permettent, dans certains cas, de déterminer la limite lorsque x tend vers a (a fini ou infini) d’une fonctionf, par comparaison à d’autres fonctions dont le comportement est connu.
Propriété 3 Théorème des gendarmes (Limite finie) Si, pourxassez « proche » de a, on a l’encadrement
u(x)6f(x)6v(x), etsiuet v ont la même limiteLena, alors lim
x→af(x) =L
traduction graphique poura= +∞
O
Exemple 10 :
∀x∈]0; 1], 2
x6f(x)6 3
x. Quelle est la limite def en+∞?
Exemple 11 :
∀x∈]1; +∞[, 2x
x−1 6f(x)6 2x+ 1
x−1. Quelle est la limite def en+∞?
Propriété 4 Théorèmes de comparaison (Limite infinie)
• Si, pourxassez « proche » dea, on a l’inégalité
f(x)>u(x), et si lim
x→au(x) = +∞, alors lim
x→af(x) = +∞
• Si, pourxassez « proche » dea, on a l’inégalité
f(x)6u(x), et si lim
x→au(x) =−∞, alors lim
x→af(x) =−∞
Exemple 12 Étudier le comportement de f:x7−→x−2 sinxen+∞.
II.7 Limite d’une fonction composée
Théorème 2 a, betLsont chacun un réel ou l’un des symboles ∞ou−∞. Si lim
x→af(x) =bet lim
y→bg(y) =Lalors lim
x→agof(x) =L schéma de composition
x f
y g f(x)
g(y) =g(f(x))
Exemple 13 :
Étudier la limite éventuelle en+∞deu:x7−→√
x2+x+ 1.
