Corrigé fiche 10
Exercice 1
a) La dérivée de x est 1 donc la fonction cherchée est f(x) = x b) f(x) = x² car f ’(x) = 2x
c) f(x) = 1/x car f ’(x) = -1/x² d) f(x) = ln x
e) Exercice 2
a) La dérivée de x² + 1 est 2x donc on a une forme u’/u ; la fonction cherchée est donc f(x) = ln ( x² +1 )
b) f(x) = x3
c) f(x) = ( d) f(x) = 1/x² Exercice type 1
1) On a :
2) On a :
Or donc f ’(x) dépend du signe de x + 9
x -9
f ’(x) - 0 +
f(x) 0
3) La fonction f est négative sur par lecture du tableau de variations . Sur la fonction f est continue et strictement croissante . 0 appartient bien à l’intervalle . Donc par le corollaire du théorème des valeurs
intermédiaires , il existe un unique a dans tel que f(a) = 0 . -8 < a < -7,9
4) On a donc f(x) < 0 si x < a et f(x) > 0 si x > a .
5) Sur [-5 ;0] , la fonction f est positive donc l’aire cherchée est :
Nous allons calculer cette intégrale en utilisant une intégration par parties : On pose :
, on obtient alors :
Exercice type 2 1) On pose :
Corrigé fiche 10
1 + x² > 0 donc f ’(x) est du signe de -2x
x 0
f ’(x) + 0 -
f(x) 0
Donc par lecture du tableau de variations , f(x) et donc : De même , on pose : g(x) =
x 0
g ’(x) + 0 -
g(x) 0
Donc g(x) et 2) On a :
L’intégration conserve l’ordre donc :
Exercice type 3 1) On a :
Corrigé fiche 10
2) On a :
3) L’intégration conserve l’ordre donc on peut écrire :
Donc par le théorème des gendarmes ,
