Au cours du chapitre précédent, nous avons découvert que les quatre opérations s'étendent naturellement aux fonctions. Dans ce chapitre, nous allons définir une autre opération sur les fonctions, appelée " composition de fonctions ". Cette opération repose sur l'idée suivante : si une grandeur z est fonction de y et si y est une fonction de x, alors z est aussi fonction de x. En 1748, dans son premier livre consacré aux fonctions, Euler explique cette opération, qu'il appelle le " changement de variable ".
Vous l'avez déjà rencontrée en seconde lors des exercices sur les enchaînements de fonctions.
E1 Activité pour découvrir la composée de deux fonctions.
Soit f la fonction définie sur par f ( x ) = 2x + 1 et soit g la fonction définie sur par g ( x ) = x3. 1. Complétons le tableau suivant :
Première étape Soit x un nombre réel Deuxième étape L'image de x par f est
Troisième étape L'image du résultat précédent par g est
On vient de faire la composée de la fonction f suivie de la fonction g cad g ( f ( x ) ).
2. Complétons le tableau suivant :
Première étape Soit x un nombre réel Deuxième étape L'image de x par g est
Troisième étape L'image du résultat précédent par f est
On vient de faire la composée de la fonction g suivie de la fonction f cad f ( g ( x ) ).
3. Ecrivons h comme la composée d'une fonction f suivie d'une fonction g.
a. h ( x ) = x 2 + 1 b. h ( x ) = 1
x² + 1 .
1 Composée de fonctions.
Soit f une fonction définie sur un intervalle I à valeurs dans un intervalle J.
Soit g une fonction définie sur l'intervalle J.
Alors la composée de f suivie de g est la fonction qui à tout x réel de I associe g ( f ( x ) ).
Elle est notée gof. Ne pas lire " goffe " mais lire " g rond f "…
Exemple : f ( x ) = x² et g ( x ) = 3x. Ecrire l'image de x par gof. Voir feuille annexe.
Remarques :
La fonction gof est obtenue en enchaînant les fonctions f et g dans cet ordre ce que l'on peut représenter par le schéma suivant : I J
x f ( x ) g ( f ( x )
Méthode pour déterminer gof : appliquer la définition gof ( x ) = g ( f ( x ) ) en considérant f ( x ) comme une variable puis remplacer f ( x ) par son expression algébrique.
Méthode pour décomposer une fonction h sous la forme gof.
Il faut essayer et tester jusqu'à ce que ça fonctionne : prendre une fonction g puis une fonction f et calculer gof puis le comparer à h. Une fois que le test est réussi, il est nécessaire d'établir le schéma donnant les ensembles de définition respectifs des fonctions considérées.
Méthode pour déterminer le domaine de définition de gof : Dgof = { x ∈ / x ∈ Df et f ( x ) ∈ Dg }.
Exemple : f ( x ) = 2x − 3 et g ( x ) = x. Déterminer Dgof et ensuite l'expression gof ( x ). Voir annexe.
Soit u une fonction définie sur une partie D de telle que pour tout x ∈ D, u ( x ) ≥ 0.
Alors la fonction racine carrée de u est la fonction, notée u définie sur D par : ( u ) ( x ) = u ( x ) C'est la composée de la fonction u suivie de la fonction racine carrée.
Soit u une fonction définie sur une partie D de .
Alors la fonction valeur absolue de u est la fonction, notée u, définie sur D par :
( u ) ( x ) = u(x) =
− ≥≤
0 ) x ( u si ) x ( u
0 ) x ( u si ) x ( u
Exemple : f ( x ) = 5x + 2 et g ( x ) = x . Déterminer gof. Voir feuille annexe.
E2 Savoir déterminer des fonctions composées.
P 17 n ° 36.
2 Sens de variation d'une fonction composée.
On dit qu'une fonction f est monotone sur un intervalle I si elle est croissante, décroissante ou constante sur cet intervalle I.
Soit u une fonction monotone sur un intervalle I
Soit v une fonction monotone sur un intervalle J telle que pour tout x de I, u ( x ) appartient à J.
Si u et v ont même sens de variation, alors vou est croissante sur I.
Soit u une fonction monotone sur un intervalle I
Soit v une fonction monotone sur un intervalle J telle que pour tout x de I, u ( x ) appartient à J.
Si u et v ont des sens de variation contraires, alors vou est décroissante sur I.
Démonstration : voir feuille annexe.
E3 Etude des variations de fonctions composées.
A ) Déterminer le sens de variation de la fonction gof sur l'intervalle donné.
1 ) f ( x ) = x − 3 et g ( x ) = x sur l'intervalle [ 3 ; + ∞ [.
2 ) f ( x ) = x + 3 et g ( x ) = x² sur l'intervalle [ -5 ; - 3 ].
3 ) f ( x ) = - 2x + 5 et g ( x ) = x3 sur [ - 10 ; 10 ].
4 ) f ( x ) = 4 − x et g ( x ) = 1
x sur ] - ∞ ; 4 [
B ) Déterminer le sens de variation de f sur l'intervalle donné en décomposant f en fonctions de référence.
1 ) f ( x ) = 2x + 5 sur [ -2,5 ; + ∞ [ 2 ) f ( x ) = 2 − 3 x sur [ 0 ; + ∞ [ 3 ) f ( x ) =
1 x 21 +
− sur ] 0,5 ; + ∞ [ 3 Fonctions polynômes.
Définitions :
On appelle fonction polynôme toute fonction P définie sur pour laquelle il existe un entier naturel n non nul et des réels a0, a1, a2, …, an tels que : pour tout réel x, P ( x ) = an xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0.
L'expression an xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 est appelée un polynôme de degré n.
L'entier naturel n est appelé le degré du polynôme.
Chaque ai xi porte le nom de monôme de degré i. Les réels ai sont appelés les coefficients du polynôme.
Définitions
Soit P un polynôme et x0 un réel.
On dit que x0 est une racine réelle du polynôme P lorsque P ( x0 ) = 0.
La fonction qui à tout réel x associe la valeur 0 est appelée la fonction polynôme nul.
Exemples : citons une fonction constante ; puis une fonction affine ;
puis une fonction trinôme ; puis une fonction polynôme de degré 3 . Voir annexe.
Théorèmes :
Tout polynôme, différent du polynôme nul, s'écrit de façon unique sous la forme P ( x ) = an xn + an-1xn-1 + … + a1x + a0 avec an ≠ 0.
Cette écriture est appelée la forme réduite du polynôme P.
Soient P et Q deux polynômes non nuls.
Pour tout réel x, P ( x ) = Q ( x ) si et seulement si P et Q ont le même degré et ont leurs coefficients respectifs des monômes de même degré égaux.
E4 Savoir déterminer des coefficients de polynômes.
1 ) Déterminer les coefficients a, b, et c pour que l'égalité soit vraie pour tout réel x.
( x − 2 ) ( ax² + bx + c ) = -2x3 + 3x² + 5x − 6.
2 ) f est le polynôme défini par f ( x ) = 3x4 − 4x3 + 1.
Déterminer les réels a, b, et c tels que pour tout réel x, on ait : f ( x ) = ( x − 1 )² ( ax² + bx + c ) 3 ) Déterminer les coefficients a, b, et c pour que l'égalité soit vraie pour tout réel x.
( x² − 1 ) ( ax3 + bx² + cx ) = x5 + x3 − 2x 4 Fonctions rationnelles.
Définition
Soient P et Q deux polynômes, Q étant un polynôme non nul, la fonction rationnelle est la fonction quotient P
Q ,
c'est à dire la fonction R définie pour tout réel x tel que Q ( x ) ≠ 0 par : R ( x ) = ) x ( Q
) x ( P
Exemple : Soit f la fonction rationnelle définie sur ] - ∞ ; 3 [ U ] 3 ; + ∞ [ par f ( x ) = 3 x
5 x−+ .
Déterminons deux réels a et b tels que pour tout x réel différent de 3, f ( x ) = a + 3 x
b− . Voir feuille annexe.
Méthode générale :
1 ) Ecrire l'expression que l'on veut obtenir.
2 ) La réduire au même dénominateur.
3 ) Ordonner suivant les puissances décroissantes de x.
4 ) Identifier les coefficients.
Méthode astucieuse.
1 ) Transformer le numérateur de façon à faire apparaître le dénominateur.
2 ) Séparer en deux fonctions rationnelles.
E5 Savoir déterminer des coefficients de fonctions rationnelles.
P 19 n ° 58.
Déterminer les réels a et b et c pour obtenir une deuxième forme de la fonction f.
1 ) f ( x ) = 4 x
9 x
2−− = a + 4 x
b− avec x ≠ 4.
2 ) f ( x ) =
) 3 x 2 )(
1 x (
1 +
− =
1 x
a− + 3 x 2
b+ avec x ≠ 1 et x ≠ - 3 2 . 3 ) f ( x ) =
) x 2 )(
3 x ( x
6 x
12+ + − = a x + x 3
b+ + 2 x
c− avec x ≠ 0 et x ≠ -3 et x ≠ 2.
Test de compréhension du chapitre 4
1 ) Donner la définition de la composée de f suivie de g.
2 ) Donner la méthode pour déterminer g o f
3 ) Donner la méthode pour déterminer le domaine de définition de g o f 4 ) Déterminer le sens de variation de v o u
5 ) Donner la définition d'une fonction polynôme 6 ) Donner la définition d'une fonction rationnelle
7 ) Donner une méthode pour transformer en une somme de deux fonctions une fonction rationnelle.
