Lyc´ee Schuman Perret
Mars 2021 SERIE D’EXERCICES SUR LES FONCTIONS Cira1
EXERCICE 1
On consid`ere la fonction s est d´efinie par :
s(t) = 0 si t <0
s(t) = t−1 + e−t si 06t <1 s(t) = t−3 + e−t(1 + 2e) si 16t <2 s(t) = e−t(1 + 2e−e2) si t>2
1. On rappelle que la notation f(a+) repr´esente la limite de la fonction f lorsque la variable t tend vers a par valeurs sup´erieures : f(a+) = lim
t→a t>a
f(t). De mˆeme, f(a−) = limt→a
t<a
f(t).
a. Calculer s(1+), s(1−), s(2+), s(2−). Que peut-on en conclure pour la fonction s lorsque t = 1 ett = 2 ?
b. Calculer s′(t) sur chacun des intervalles ]0 ; 1[, ]1 ; 2[ et ]2 ; +∞[.
On admet que s′ est strictement positive sur ]0 ; 1[∪]2 ; +∞[.
D´eterminer le signe de s′(t) sur l’intervalle ]1 ; 2[.
c. Calculer la valeur exacte des[ln(1 + 2e)]. D´eterminer lim
t→+∞s(t) et dresser le tableau des variations de la fonction s sur ]0 ; +∞[.
d. Calculers′(1+), s′(1−), s′(2+), s′(2−). On admet que ces nombres sont respectivement les coefficients directeurs des demi-tangentes `a droite et `a gauche aux points d’abscisse 1 et d’abscisse 2 de la courbe Γ repr´esentative de la fonctions.
2. On se place dans le plan rapport´e `a un rep`ere orthogonal O, −→
i , −→ j
d’unit´es graphiques 5 cm sur l’axe des abscisses et 50 cm sur l’axe des ordonn´ees.
a. Recopier et compl´eter le tableau suivant dans lequel les valeurs num´eriques seront donn´ees `a 10−2 pr`es.
t 1 1,2 1,4 1,6 2 2,5 3 3,5
s(t)
b. Tracer alors les tangentes ou demi-tangentes `a la courbe Γ repr´esentative de la fonction s aux points d’abscisses 0, 1, et 2. Tracer alors la courbe Γ.
EXERCICE 2
Aucune connaissance sur ces syst`emes n’est n´ecessaire pour traiter l’int´egralit´e de cet exercice.
Partie A
Un onduleur `a commande asynchrone d´elivre une tension p´eriodique f(t) de p´eriode 2π selon la repr´esentation graphique suivante :
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0
−0,5
−1,0 0,5
−2π −π −π
3
−π 3
π
3 π 2π
t
1. Sur l’annexe no1, on a repr´esent´e graphiquement sur [−2π ; 2π] la tensionf(t) et la tensionf
t+ 2π
3
.
Sur le document r´eponse, compl´eter le tableau de valeurs et construire la repr´esentation graphique de la tension f
t+4π
3
sur [−2π ; 2π].
2. En r´egime triphas´e, l’onduleur soumet la phase 1 `a la tension f(t), la phase 2 `a la tension f
t+ 2π
3
et la phase 3 `a f
t+ 4π 3
. Le neutre, quant `a lui, est soumis `a la somme S(t) des tensions des phases, d´efinie par
S(t) =f(t) +f
t+2π 3
+f
t+4π
3
.
Si cette somme est nulle pour tout nombre r´eel t, le syst`eme triphas´e est ´equilibr´e.
Sinon le syst`eme est d´es´equilibr´e.
a. Calculer S(0).
b. Le syst`eme triphas´e ´etudi´e dans cette partie est-il ´equilibr´e ?
Remarque : Dans les hˆopitaux, les banques, les lyc´ees, etc., l’´energie ´electrique est fournie par des transformateurs ou par les onduleurs qui alimentent une multitude de r´ecepteurs (ordinateurs, lampes basse-consommation ...) qui g´en`erent des courants harmoniques.
Sans une installation adapt´ee et sans une utilisation de r´ecepteurs optimis´es, l’accumulation d’harmoniques de rangs multiples de 3 conduit au d´es´equilibre du syst`eme triphas´e. Ceci peut engendrer de graves probl`emes .’ surchauffe du fil portant le neutre, ph´enom`enes d’interf´erence, augmentation des pertes d’´energie, ouverture des fusibles ou interrupteurs automatiques ...
Pour garantir l’´equilibrage d’un syst`eme triphas´e, on peut utiliser un onduleur `a commande d´ecal´ee. Ainsi, nous consid´erons dans cette partie que la tension d´elivr´ee est un signal g de p´eriode 2π, dont la repr´esentation graphique sur [−2π ; 2π] figure ci-apr`es :
0
−0,5
−1,0 0,5
−2π −π −π
3
−π 3
π
3 π 2π
t
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Annexe 1
Repr´esentation graphique de la tension f(t)
0
−0,5
−1,0 0,5
−2π −π −π
3
−π 3
π
3 π 2π
t
Repr´esentation graphique de la tension f
t+2π 3
0
−0,5
−1,0 0,5
−2π −π −π
3
−π 3
π
3 π 2π
t
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Document r´eponse
Tableau des valeurs prises par f
t+4π 3
pour certaines valeurs de t
t −4π
3 −π −π
2 0 π
3 π 4π
3
5π 3 f
t+4π
3
1 −1
Rep`ere pour repr´esenter f
t+ 4π 3
0
−0,5
−1,0 0,5 1,0
−2π −π −π
3
−π 3
π
3 π 2π
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