T 5/11 DS 4 19 d´ecembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : D´eterminer une primitive (10 minutes) (4 points) 1. D´eterminer une primitive F de f :x7→3x2−5x+ 3 surR
2. En d´eduire la primitive Gde f tel queG(1) = 1
Exercice 2 : Probl`eme (45 minutes) (16 points) On consid`ere la fonction d´erivablef d´efinie surI = [0 ; 20] par :
f(x) = 1 000(x+ 5)e−0,2x. Partie A - ´Etude graphique
On a repr´esent´e sur le graphique ci-dessous, la courbe repr´esentative de la fonctionf.
R´epondre aux questions suivantes par lecture graphique.
−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 500
1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000
0 f
1. R´esoudre graphiquement et de fa¸con approch´ee l’´equation f(x) = 3 000.
2. Donner graphiquement une valeur approch´ee de l’int´egrale de f entre 2 et 8 `a une unit´e d’aire pr`es. Justifier la d´emarche. On hachurera l’aire correspondante.
Partie B - ´Etude th´eorique
1. On notef0 la d´eriv´ee de la fonctionf sur [0 ; 20].
D´emontrer que pour toutx de [0 ; 20],f0(x) =−200xe−0,2x.
2. En d´eduire le sens de variation def et dresser son tableau des variations sur l’intervalle [0 ; 20]. Si n´ecessaire, arrondir `a l’unit´e les valeurs pr´esentes dans le tableau.
3. D´emontrer que l’´equation f(x) = 3 000 admet une unique solution α sur [0 ; 20], puis donner une valeur approch´ee de α `a 10−2 pr`es `a l’aide de la calculatrice.
4. (a) Montrer que la fonctionF d´efinie sur l’intervalle [0 ; 20] par l’expres- sion F(x) =−5 000(x+ 10)e−0,2x est une primitive de la fonction f sur [0 ; 20].
(b) Calculer Z 8
2
f(x) dx. On donnera la valeur exacte, puis la valeur ar- rondie `a l’unit´e.
Partie C - Application ´economique
La fonction de demande d’un produit est mod´elis´ee sur l’intervalle [0 ; 20] par la fonction f ´etudi´ee dans les parties A et B.
Le nombre f(x) repr´esente la quantit´e d’objets demand´es lorsque le prix uni- taire est ´egal `ax euros.
Utiliser les r´esultats de la partie B afin de r´epondre aux questions suivantes : 1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
sup´erieure `a 3 000 objets ?
2. D´eterminer la valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8]. In- terpr´eter ce r´esultat.
