Chapitre 3 – Évaluer ses capacités – Résolution détaillée
Math'x Première S © Éditions Didier 2011 Exercice 88
1. cf 3. c
2. pour tout réel.
est dérivable sur ℝ en tant que fonction polynôme et
3. a.
donc pour ,
De même pour .
b. f’(0) et f’(3) sont les coefficients directeurs des tangentes à la courbe aux points d’abscisses 0 et 3.
3. c. Le point A a pour coordonnées (0 ; f(0)) soit A(0 ; 3).
La tangente en A à la courbe a pour équation
réduite soit .
B est le point de d' abscisse 3 d’où soit B (3 ; 6).
La tangente à en B a pour coefficient directeur (d’après 3.a.) donc l’équation réduite de est , où est un réel à déterminer.
Or B (3 ; 6) appartient à donc les coordonnées de B vérifient l’équation de d’où
donc et .
Soit D (xD ; yD) le point d’intersection de et . le couple (xD ; yD) est solution du système
.
Donc D a pour coordonnées (1,5 ;9).
d. qui est l’abscisse du milieu I de [AB].
Pour dériver une somme, on utilise les propriétés 2, 3 et 4.
Pour calculer lorsque l’on connait on remplace x par 0.
On utilise la propriété 1 :
L’équation réduite de la tangente en A d’abscisse a est
.
Conseil
On contrôle graphiquement les résultats des questions c et d.
Méthode
Méthode
Méthode
Chapitre 3 – Évaluer ses capacités – Résolution détaillée
Math'x Première S © Éditions Didier 2011 4. Généralisation
Soit et .
a. La tangente en A à a pour équation réduite
d’où .
b. De même la tangente en A à a pour équation
réduite .
Le point d’intersection de ces deux tangentes vérifie le système :
équivaut successivement à
.
Or le milieu de [AB] a pour abscisse
Donc le point d’intersection des tangentes à en A et B a même abscisse que le milieu de [AB].
