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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

L-Mateur Devoir de contrôle: n 1 Prof: Talbi Rachid

Classe:4sc 2 Durée : 2H Le 12 = 11 =2016

EXERCICE ❶

(4pts) 1. Sur le graphique ci-dessous, on a tracé f la courbe d’une fonction f ; dérivable sur R ; et ses tangentes

aux points A; B et C d’abscisses respectives 3 ; 0 et 2:

1. Donner par lecture graphique (a) f (0) ; f ( 1) et f( 3):

(b) f 0 ( 3) ; f 0 (0) et f 0 (2):

2. (a) Donner une équation de la tangente T à f au point B:

(b) Déterminer f ([ 3; 2])

3. (a) Dresser le tableau de variation de f:

(b) Calculer lim

x ! 1 f cos 2 (x) + 1 x EXERCICE ❷

(4pts) Soit f la fonction dé…nie sur R par : f (x) =

( 2x 1 sin x si x 0 2

x 2 si x < 0 1. Calculer lim

x ! 1 f (x)

(a) Montrer que f(x) 2x 2 pour tout x 0 (b) En déduire lim

x ! + 1 f (x)

2. (a) Montrer que f est continue en 0:

(b) Etudier la dérivabilité de f en 0

1

(2)

3. Montrer que l’équation f(x) = 0 admet une solution unique 2 i 4 ;

2 h

EXERCICE ❸

(5pts)

Soit (u n ) la suite dé…nie sur N par : 8 <

:

u 0 = 0

u n+1 = 2u n + 1

u n + 2 ; 8 n 2 N 1. Calculer u 1 et u 2 :

(a) Montrer par récurrence que 0 u n < 1; 8 n 2 N (b) Montrer que la suite (u n ) est croissante.

(c) En déduire que la suite (u n ) est convergente.

2. Soit (v n ) la suite dé…nie sur N par : v n = u n 1 u n + 1

(a) Montrer que (v n ) est une suite géométrique:Préciser la raison et le premier terme:

(b) Exprimer v n ; pius u n en fonction de n:

(c) En déduire lim

n ! + 1 u n

3. Déterminer un entier N tel que ; pour tout n N : u n > 0:99 EXERCICE ❹

(7pts) 1. (a) Véri…er que 1 + i p

3 est une racine cubique de 8:

(b) Résoudre dans C l’équation z 3 = 8

2. Le plan est muni d’un repère orthonormé direct (O; ! u ; ! v ) ;on considère les points A; B et C d’a¢ xes respectives z A = 1 + i p

3 ; z B = 1 i p

3 et z C = 2 (a) Ecrire z A et z B sous forme trigonométrique:

(b) Montrer que z A 2016 2 R +

(c) PLacer les points A; B et C dans le repère (O; ! u ; ! v ) avec précision.

3. (a) Véri…er que z B z C

z A z C = e i 3

(b) En déduire la nature du triangle ABC:

4. Soit les points D et E d’a¢ xes respectives z D = 1 + e i 3 et z E = 1 + z D 2 (a) Montrer que D 2 (A 0 ; 1) avec z A

0

= 1

(b) Déterminer ! \ A 0 C; !

A 0 D :Placer le point D:

5. (a) Déterminer la forme exponentielle des nombres complexes z D z A

0

et z E z A

0

: (b) En déduire que les points A 0 ; D et E sont alignés.Placer le point E:

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