1 La courbe représentant f passe donc par le point de coordonnées ( 0

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2007 2008 Exemple de corrigé.

P 62 n ° 61 f ( x ) = x³− 3x + 1 f ( 0 ) = 1

La courbe représentant f passe donc par le point de coordonnées ( 0 ; 1 ).

Or parmi les six courbes proposées, la seule qui passe par ce point est C₅. Pour tout x ∈, f ' ( x ) = 3x² − 3.

Ainsi f ' ( 0 ) = − 3.

Donc la courbe représentant f ' passe donc par le point de coordonnées ( 0 ; − 3 ).

Or parmi les six courbes proposées, la seule qui passe par ce point est C₄. g ( x ) = 1

2 x.

g ( 0 ) = 0 et g ( 1 ) = 0,5.

g est une fonction linéaire donc sa représentation graphique est une droite.

Plus précisément c'est la droite qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; 0 ) et ( 1 ; 0,5 ).

Donc la courbe représentant g est la courbe C_1.

Pour tout x réel, g ' ( x ) = 0,5.

Donc la courbe représentant g ' est la droite horizontale d'équation y = 0,5.

Ainsi la courbe représentant g' est la courbe C₂. h ( x ) = x² − 1.

h ( 0 ) = − 1.

La courbe représentant h passe donc par le point de coordonnées ( 0 ; − 1 ).

Or parmi les six courbes proposées, la seule qui passe par ce point est C₃. Pour tout x ∈ , h ' ( x ) = 2x

Donc la courbe représentant h ' est une droite passant par l'origine et par le point ( 1 ; 2 ).

Or parmi les six courbes proposées, la seule qui passe par ce point est C₆. Conclusion

f C₅ f ' C₄ g C₁ g ' C₂ h C₃ h ' C₆

(2)

P 62 n ° 65.

1. Voir ci dessous.

2. Soit M un point d'abscisse a sur l'hyperbole d'équation y = 1

x avec a > 0.

Alors une équation de la tangente en M à la courbe H est donnée par la formule : y = f ' ( a ) ( x − a ) + f ( a ).

Or f ' ( a ) =

² a1

− et f ( a ) = 1

a donc une équation est y = −a²1_{( x −}_{a ) +}¹

a = −a²1_{× x +}

² a1

− _{× ( −}_{a ) +}¹ a y = −

² a

x₊¹ a + 1

a = −

² a

x ₊² a 3. La tangente en M coupe les axes en A et en B.

A est le point d'intersection de la tangente et de l'axe ( x' x ) donc ses coordonnées vérifient y = 0 et par conséquent x vérifie l'équation −

² a

x₊²

a = 0 ⇔ − x + 2a = 0 ⇔ x = 2a.

Donc A est le point de coordonnées ( 2a ; 0 ).

B est le point d'intersection de la tangente et de l'axe ( y' y ) donc ses coordonnées vérifient x = 0 et par conséquent y vérifie l'égalité y = 2

a

Donc B est le point de coordonnées ( 0 ; 2 a ).

Le milieu du segment [ AB ] a ses coordonnées qui vérifient x = ( 2a + 0 ) / 2 = a et y = ( 0 + 2

a ) / 2 = 1 a Or ( a ; 1

a ) sont les coordonnées du point M.

Donc M est le milieu du segment [ AB ] .

(3)

P 89 et p 90 n ° 95.

a. Dans le repère ( O ; Åi , Åj ) on considère le point B ( 1 ; 0 ) et le point H ( 0 ; 0,5 ).

Dire que la courbe représentative de la fonction recherchée a l'allure de la rampe cela signifie que le domaine de définition de f est l'intervalle [ 0 ; 1 ].

Dire que la rampe doit passer par le point B cela signifie que la fonction f recherchée vérifie f ( 1 ) = 0.

Dire que la rampe doit passer par le point H cela signifie que la fonction f recherchée vérifie f ( 0 ) = 0,5.

Dire que la rampe doit être tangente au sol au point B cela signifie que la fonction f doit vérifier la condition f ' ( 1 ) = 0.

Dire que la rampe doit être tangente au dessus de la marche au point H cela signifie que la fonction f doit vérifier la condition f ' ( 0 ) = 0.

b. Trouvons a, b, c et d tels que f ( x ) = ax³ + bx² + cx + d.

f ( 0 ) = 0,5 se traduit par a × 0³ + b × 0² + c × 0 + d = 0,5. Autrement dit d = 0,5.

Calculons f ' ( x ) = 3ax² + 2bx + c.

f ' ( 0 ) = 0 se traduit par 3a × 0² + 2b × 0 + c = 0. Autrement dit c = 0.

Ainsi f ( x ) = ax³ + bx² + 0,5 et f ' ( x ) = 3ax² + 2bx.

Or f ( 1 ) = 0 donc a + b + 0,5 = 0.

Et f ' ( 1 ) = 0 donc 3a + 2b = 0.

Ainsi b = − a − 0,5 et 3a + 2 ( − a − 0,5 ) = 0 ⇔ 3a − 2a − 1 = 0 ⇔ a = 1.

Donc b = − 1,5.

La fonction recherchée est donc f ( x ) = x³ − 1,5x² + 0,5.