1. x et y sont d´ efinies sur R ∗ , donc D f = R ∗ .

Universit´ e Grenoble Alpes Ann´ ee 2018-2019 Module MAT 307

Corrig´ e examen terminal du 26 Juin 2019

Exercice 1

On pose f (t) = (x(t), y(t)).

1. x et y sont d´ efinies sur R ^∗ , donc D f = R ^∗ .

• lim

t→+∞ x(t) = lim

t→+∞ y(t) = +∞. Pour t > 0 on a y(t) x(t) =

t + 2b t ² 2 + a t ³

t→+∞ −→ +∞.

Il y a donc une branche parabolique de direction (Oy) en t = +∞.

• Une ´ etude similaire en t = −∞ produit la mˆ eme conclusion.

• lim

t→0 x(t) = lim

t→0

y(t) = − lim

t→0

y(t) = +∞. Pour t 6= 0 on a y(t)

x(t) = t ⁴ + 2bt 2t ³ + a −→

t→0 0.

Il y a donc une branche parabolique de direction (Ox) en t = 0.

2. Un point de rebroussement est un point singulier. En un tel point s on doit donc avoir x ⁰ (s) = y ⁰ (s) = 0,

c’est-` a-dire 2 1 − a

s ³

= 2

s − b s ²

= 0, d’o` u s = a

et a = b.

Lorsque a = b, on a

x ⁰⁰ a

= 6a ⁻

, y ⁰⁰ a

= 6, x ⁰⁰⁰

a

= −24a ⁻

, y ⁰⁰⁰ a

= −12a ⁻

,

en particulier on remarque que x ⁰⁰

a

x ⁰⁰⁰

a

6=

y ⁰⁰ a

y ⁰⁰⁰

a

, donc les vecteurs f ⁰⁰ a

et f ⁰⁰⁰ a

forment une famille libre de R ² . Ainsi le point de param` etre t = a

est un point de rebroussement de seconde esp` ece.

3. x ⁰ (t) = 2

1 − 2 t ³

, y ⁰ (t) = tx ⁰ (t). En particulier x ⁰ y ⁰⁰ − x ⁰⁰ y ⁰ = x ⁰² ≥ 0 (avec ´ egalit´ e si et seulement si t = 2

), donc la courbe ne change pas de convexit´ e. Son tableau de variations est le suivant:

t x ⁰ (t)

x(t)

y(t)

y ⁰ (t)

−∞ 0 2 ^1/3 +∞

+ − 0 +

−∞

−∞

+∞ +∞

3 × 2 ^1/3 3 × 2 ^1/3

+∞

+∞

+∞

+∞

−∞

+∞

3 × 2 ^2/3 3 × 2 ^2/3

+∞

+∞

− − 0 +

Trac´ e de la courbe Courbe avec cercle osculateur 4. On calcule ~ v(1) =

−2

−2

d’o` u T ~ (1) = 1

√ 2 −1

−1

et N(1) = ~ 1

√ 2 1

−1

. On calcule de plus ~a(1) = 12

10

ce qui donne a N (1) = ~a(1) · N(1) = ~ √

2 et donc un rayon sign´ e R = _a ^{k~ v(1)}

N

(1) = 4 √

2. On calcule finalement C(1) = M (1) + R ~ N (1) =

8 1

. Le cercle osculateur est donc le cercle de centre C(1) et de rayon 4 √ 2.

5. Appelons ` la longueur d’arc recherch´ ee. On a :

` = Z 2.5

2

p x ⁰ (t) ² + y ⁰ (t) ² dt d’apr` es le cours

= Z 2.5

2

2

1 − 2 t ³

p 1 + t ² dt voir le d´ ebut de la r´ eponse 3.

≈ 2.02 (calculatrice).

Exercice 2

1. Les solutions stationnaires v´ erifient x ⁰ = y ⁰ = 0, donc x et y sont constantes (que l’on note encore x et y). Ici cela conduit au syst` eme

x (a − by) = 0 (cx − d) y = 0,

En appliquant la r` egle du produit nul, on voit que si x = 0 alors y = 0, et que si x 6= 0 alors y = a b puis x = d

c . R´ eciproquement on v´ erifie que les couples (0, 0) et ^d _c , ^a _b

sont bien des solutions du syst` eme.

D’o` u le r´ esultat.

2. Ce syst` eme est d´ ecoupl´ e. D’apr` es le cours, x(t) = x 0 e ^at et y(t) = y 0 e ^−dt . Donc

t→+∞ lim x(t) = +∞, lim

t→+∞ y(t) = 0.

3. (a) On a x = X + d

c et y = Y + a

b , ce qui donne



 



 



X ⁰ =

X + d c

a − b

Y + a b

Y ⁰ =

c

X + d c

− d

Y + a b

, d’o` u



 

 

X ⁰ = −b

X + d c

Y Y ⁰ = cX

Y + a b

.

(b) A ∈ M 2 ( R ), ses valeurs propres λ 1 , λ 2 ∈ C v´ erifient λ 1 + λ 2 = 0 et λ 1 λ 2 = αβ, d’o` u λ 1 =

−i √

αβ = −λ 2 . On a

A − i p αβI 2

√ α i √

β

= 0 = A + i p

αβI 2

√ α

−i √ β

,

2

d’o` u A = P DP ⁻¹ avec P = √

α √

α i √

β −i √ β

et D = i √

αβ 0

0 −i √ αβ

.

(c) D’apr` es le cours, on a d’o` u Z (t) = P

e ^{−i √ αβt} 0

0 e ⁱ

√ αβt

P ⁻¹ Z(0) ce qui donne apr` es multiplica- tion matriciel Z(t) =





X ₀ cos( √

αβt) − Y ₀ q _α

β sin( √ αβt) X 0

q β α sin( √

αβt) + Y 0 cos( √ αβt)



.

(d) Dans (3 a), on a montr´ e que (X, Y ) v´ erifiait le syst` eme non-lin´ eaire suivant X ⁰ (t)

Y ⁰ (t)

+ A X(t)

Y (t)

= −b

c

X (t)Y (t) avec α = ^bd _c et β = ^ac _b . Pour X 0 et Y 0 petit, la solution de ce syst` eme devrait se comporter comme la solution du probl` eme lin´ earis´ e Z ⁰ (t) + AZ(t) = 0, c’est ` a dire une trajectoire en forme d’ellipse autour de l’origine.

En revenant aux fonctions d’origines, ceci veut dire que si on d´ emarre proche de la position d’´ equilibre ( ^b _c , ^a _b ), alors la trajectoire (x(t), y(t)) devrait tourner autour de ce point d’´ equilbre (en forme d’ellipse).

3