CORRECTION DU DS (Dérivées)
Exercice 1 : On considère une fonction f dont la courbe représentative est donnée ci-dessous : 1. f(−4)=2 ; f′ (−4)=−1 ; f′(2)=0 et f′(0)=2.
2. La tangente à la courbe de f au point E d ’ abscisse – 4 a pour équation réduite : y = f ′ ( − 4)( x + 4) + f( − 4), soit y = -1( x + 4) + 2, c'est-à-dire y =−𝑥 − 2.
3. Cf courbe sur votre copie Exercice 2 :
1. f est dérivable sur IR\{-0,5}.
Pour tout x différent de − , on pose u (x) = 2x -7 et v (x ) =-4 x − 2. On a alors u ′ (x ) = 2 et v ′ (x ) =-4 Ainsi, pour tout x différent de − ,
2 2 2
2( 4 2) ( 4)(2 7) 8 4 8 28 32
'( ) ( 4 2) ( 4 2) ( 4 2)
x x x x
f x x x x
2. g est dérivable sur]1; +∞[.
Pour tout x > 1, on pose u (x) =3𝑥 + 6𝑥 − 2 et v(x ) = 3x-1. On a alors u ′ (x ) =6𝑥 + 6 et v ′ (x) = 3 Ainsi, pour tout x > 1, on a g x '( ) (6 x 6)(3 x 1) 3(3 x
2 6 x 2)
g x '( ) 18 x
2 6 x 18 x 6 9 x
2 18 x 6 27 x
2 30 x 3. Pour tout réel x ,
21
( ) 5
2 5
h x x
Pour tout réel x , on pose u(x ) = 2𝑥 + 5. On a alors u ′ (x) = 4x . Ainsi, pour tout réel x, on a
24
220
2 2'( ) 5
(2 5) (2 5)
x x
h x x x
Exercice 3 : Soit f la fonction définie sur IR par f(x ) =𝑥 − 9𝑥 + 27𝑥 + 1. On note C la courbe représentative de la fonction f dans un repère.
1. T a pour équation y = f ′ (1)(x − 1) + f(1).
f(1)= 1 − 9 + 27 + 1 = 20
f est dérivable sur IR pour tout réel x, on a f ′ (x ) =3𝑥 − 18𝑥 + 27 . Alors f ′ (1) = 3-18+27=12 Ainsi T a pour équation y = 12(x − 1) 20 1
2 , c'est-à-dire y = 12x + 20.
2. 𝑓 (−1) = 3 + 18 + 27 = 48 𝑒𝑡 𝑓 (7) = 3 × 49 − 18 × 7 + 27 = 48
𝑓 (−1) = 𝑓 (7) = 48 . Les tangentes à la courbe de f au point d’abscisse (-1) et au point d’abscisse 7 ont le même coefficient directeur, elles sont donc parallèles.
3. Si il existe des points où la tangente à la courbe de f est horizontale alors le coefficient directeur de ces tangentes est nul. Chercher les abscisses de ces points revient à chercher les valeurs de x telles que 𝑓 (𝑥) = 0.
'( ) 0 3
218 27 0
f x x x
2
4 ( 18)
24 3 27 324 324 0
b ac
Il existe donc un point de la courbe où la tangente est horizontale.
0
18 3
2 6
x b a
La courbe de f admet une tangente horizontale au point d’abscisse 3.
𝑓(3) = 27 − 81 + 81 + 1 = 28.
Au point de coordonnées (3 ; 28), la tangente à la courbe de f est horizontale.
4. S’il existe des points où la tangente à la courbe de f est parallèle à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 − 4 alors cette tangente et cette droite ont le même coefficient directeur 1. Chercher les abscisses de ces points revient à chercher les valeurs de x telles que 𝑓 (𝑥) = 1
2 2
'( ) 1 3 18 27 1 3 18 26 0
f x x x x x
2
4 ( 18)
24 3 276 324 312 12
b ac
Il existe donc un point de la courbe où la tangente est horizontale.
1 2
18 12 18 2 3 9 3 18 12 18 2 3 9 3
2 6 6 3 2 6 6 3
b b
x et x
a a
La courbe de f admet deux tangentes parallèles à la droite d’équation 𝑦 = 𝑥 − 4, une au point d’abscisse 9 3 3
et l’autre au
point d’abscisse 9 3 3
.
Exercice 4 : Version 1 Soit f la fonction définie sur 𝐼𝑅 − {2} par 3 4
( ) 2
f x x x
. 1. Pour tout réel x différent de 2, 3 4
( ) 2
f x x x
. f est derivable sur 2
On pose 𝑢(𝑥) = 3𝑥 + 4 𝑒𝑡 𝑣(𝑥) = 𝑥 − 2 On a alors 𝑢 (𝑥) = 3 𝑒𝑡 𝑣 (𝑥) = 1 Pour tout reel x different de 2, 3( 2) 1(3
24) 3 6 3
24 10
2'( ) ( 2) ( 2) ( 2)
x x x x
f x x x x
2. T a pour équation y = f ′ (0)(x − 0) + f(0).
2
3 0 4 4 10 10 5
(0) 2 '(0)
0 2 2 (0 2) 4 2
f et f
Ainsi T a pour équation 5
( 0) 2
y 2 x , c'est-à-dire 5 2 2 y x 3. On étudie le signe de 5
( ) ( 2)
f x 2 x
2 2 2
