1. f(x ) 4 2 x² pour 3 x 1.

1S DEVOIR SURVEILLE N°2 Le 14 novembre 2018 I. Dans chacun des cas suivants, donner un encadrement de f(x).

Justifier en faisant apparaître toutes les étapes.

1. f(x ) 4 2 x² pour 3 x 1.

2. f(x ) 2

(6 x)² pour 2 x 5.

3. f(x ) 1

5 x² pour 4 x 3

II. Construire le tableau de variation de chacune des fonctions suivantes : 1. f définie par f(x) 2 x 4

2. g définie par g(x ) 1 2 x² 1 3. h définie par h(x ) 2 2 x 1 4. k définie par k(x ) 1

x²

III. Soit g la fonction définie par g (x) 3 2x ² 5x 3 1. Déterminer l’ensemble de définition de g.

2. Déterminer les variations de la fonction u définie par u (x) 2 x² 5 x 3, puis en déduire les variations de la fonction g sur son ensemble de définition.

IV. Soit f la fonction définie par : f(x ) 2 x 4 x 2 . 1. Déterminer l’ensemble de définition Df de f.

2. Montrer que f(x ) 2 8

x 2 pour tout x de Df . 3. Construire le tableau de variation de la fonction f.

4. Étudier la position relative de la courbe représentative de f et la droite D d’équation y 2x 2.

V. x est un réel strictement positif.

1. Montrer que pour tout x  ]0 1[,x ² x 2. Justifier que x

x 2 0.

3. Montrer que x

x 2 1.

4. Comparer x

x 2 ; x x 2 et  

  x x 2

2

VI. f est la fonction définie sur par f(x ) | 2 x 5 . |

1. Calculer f(3) et f( 2).

2. Donner le tableau de signes de 2x 5 sur . 3. Écrire f(x ) sans valeur absolue.

4. Tracer la représentation graphique de la fonction f.

5. Résoudre graphiquement | 2x 5 | 3.

CORRECTION DU CONTRÔLE N°2 I.

1.

3 x 1 donc 9 x ² 1 car la fonction carrée est décroissante sur ] 0]

donc 11 2 x ² 3

donc 11 2 x² 3 car la fonction racine est croissante sur [0 [ donc 4 11 4 2 x ² 4 3 car 4 0

2. f(x ) 2

(6 x)² pour 2 x 5.

2 x 5 donc 2 x 5 car 1 0

donc 4 6 x 1

donc 16 (6 x ) ² 1 car la fonction carrée est croissante sur [0 [

donc 1

16

1

(6 x ) ² 1 car la fonction inverse est décroissante sur [0 [.

donc 1

8 2

(6 x )² 2 car 2 0

3. f(x ) 1

5 x² pour 4 x 3

4 x 3 donc 0 x² 16

donc 5 5 x² 21 donc 1

5 1

5 x ² 1

21 car la fonction inverse est décroissante sur ]0 [.

II.

1. f définie par f(x) 2 x 4

x 0 + x

0 2 x

0

car 2 0 2 x 4

4

2. g définie par g(x ) 1 2 x² 1

x 1 0 1 + x²

0 x² 1

1 1

x² 1 1

2

x² 1 2 car 2 0

2

x ² 1 2

car 1 0 1 2

x ² 1 3

on ajoute 1

3. h définie par h(x ) 2 2 x 1

x 1/2 +

2x 1 fonction affine de coeff.

dir 2 2x 1

0

2 2 x 1

2

4. k définie par k(x ) 1 x²

x 0 + x²

0 1

x² positif positif

1 x²

III. Soit g la fonction définie par g (x) 3 2x ² 5x 3 1. g (x) est défini ssi 2x² 5 x 3 0.

Résolution de 2 x² 5x 3 0 :

49 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x 1 3 et x 2 1

2 et il est du signe de a 2 0 sauf entre ces racines.

On a donc le tableau suivant :

x 1/2 3 + 2 x ² 5x 3

Ainsi, l ensemble de définition de g est  

  1 2 3 . 2. On a le tableau suivant :

x 1/2 5/4 3 +

2 x² 5 x 3 49/8 5

4 et 49

8 et a 2 0 donc u est croissante puis décroissante

2x ² 5x 3 7 2

4 g (x)

21 2 4 IV. Soit f la fonction définie par : f(x ) 2 x 4

x 2 . 1. f est définie sur \{ 2}.

2. Soit x un réel différent de 2 : 2 8

x 2 2(x 2) x 2 8

x 2

2x 4 8

x 2

2x 4

x 2 f(x ).

Ainsi, f(x ) 2 8

x 2 , pour tout x de Df . 3. On a le tableau suivant :

x 2 + x 2

1 x 2 8

x 2 8 0

2 8 x 2

4. On étudie le signe de f(x ) (2x 2).

f(x ) (2 x 2) 2 x 4 x 2

(2x 2)( x 2) x 2

2 x 4 (2 x² 2 x 4 x 4) x 2

2 x²

x 2 . On peut alors construire le

tableau suivant :

x 2 0 + 2x ²

x 2 2x ² x 2

P osi ti ons rel ati ves C f au dessus de D C f en dessous de D C f en dessous de D V. x est un réel strictement positif.

1. Si 0 x 1, alors 0 x² x (on multiplie l inégalité par x 0 donc on ne change pas l ordre) alors 0 x ² x car la fonction racine carrée est strictement croissante sur [0 [ c'est-à-dire 0 x x car x² x pour tout réel x 0.

On a donc x² x et x x . Ainsi, x² x 2. Justifier que x

x 2 0.

x 0 donc x 2 2 0 et ainsi x x 2 0.

3. x

x 2 1 x (x 2) x 2

2 x 2 . 2 0 et x 2 0 donc 2

x 2 0, c'est-à-dire x

x 2 1 0. On a donc x x 2 1.

4. D après les questions 2 et 3, 0 x

x 2 1. Alors, d après la question 1,  

 

x x 2

2 x

x 2

x x 2 VI. f est la fonction définie sur par f(x ) | 2 x 5 . |

1. f(3) | 2 3 5 | | | 1 1 et f( 2) | 2 ( 2) 5 | | 9 | 9.

2. On a le tableau suivant :

x 5/2 + 2x 5

3. D après le tableau ci-dessous : f(x )



  ^{(2x 5) si x 5} ₂

2x 5 si x ⁵

2

, c'est-à-dire f(x )



  ^{2 x 5 si x 5} ₂

2x 5 si x ⁵

2 4. Les fonctions x | 2 x 5 et x | 2x 5 sont affines donc leurs représentations graphiques sont des droites. La représentation graphique de f est donc formée de deux demi- droites. On obtient le graphique ci-contre :

La représentation graphique de f est en traits pleins.

5. Il semble que | 2 x 5 | 3 ait pour ensemble de solutions

] 1[ ]4 [.