Première S Devoir maison n ° 6 : exemple de corrigé. Page n ° 1 2007 2008
Partie A : partie graphique.
1. a ) Le coefficient directeur de la droite ( T ) tangente en C à la courbe de f qui passe par les points de coordonnées ( 0 ; 2 ) et ( - 2 ; 5 ) est donné par le formule m =
0 2
2 5−
−− = - 3
2 = - 1,5.
1. b ) La tangente ( T ) passe par le point C ( 0 ; 2 ). Donc son ordonnée à l'origine est égale à 2.
Donc une équation de la tangente ( T ) est y = -1,5 x + 2.
1. c ) f ( - 4 ) est l'ordonnée du point de la courbe de f d'abscisse -4. Donc f ( - 4 ) = 12.
f ' ( - 3 ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point de coordonnées ( - 3 ; 11 ).
C'est une tangente horizontale d'équation y = 11. Donc f ' ( - 3 ) = 0.
f ' ( 0 ) est le coefficient directeur de la tangente à la courbe au point de coordonnées ( 0 ; 2 ).
C'est donc le coefficient directeur de ( T ). D'où f ' ( 0 ) = -1,5.
2. a ) Résoudre graphiquement f ( x ) = 0 cela signifie rechercher les valeurs de x lorsque la courbe coupe l'axe des abscisses. Voir croix rouges. L'ensemble des solutions est { -1,65 ; 1,2 }.
b ) La courbe de f coupe en un seul point la droite d'équation y = 3. Ce point est B ( - 1 ; 3 ).
Donc l'ensemble des solutions de l'équation f ( x ) = 3 est { - 1 }.
c ) La courbe de f ne coupe jamais la droite d'équation y = 5. Donc l'équation f ( x ) = 5 n'admet aucune solution.
Partie B : partie algébrique.
1. Df = { x ∈ / f ( x ) existe } = { x ∈ / 2 x
4 x
² x 2 +− +
− existe } = { x ∈ / x + 2 ≠ 0 } = { x ∈ / x ≠ -2 }.
D = ] - ∞ ; - 2 [ U ] - 2 ; + ∞ [.
2. Soit x ∈ D alors -2x + 3 − 2 x
2+ = (x+2)(x−+2x2+3)−2. Le numérateur est égal à -2x² + 3x − 4x + 6 − 2 = -2x² − x + 4.
Donc pour tout élément x de D, f ( x ) = -2x + 3 − 2 x
2+ .
3. a ) Pour tout x ∈ D et tout x ≠ 0 ; f ( x ) = 2 x
4 x
² x 2 +− +
− =
x) 1 2 ( x
²) x 2
4
² x 2 1 x
²(
x 2
+ +−
−−
− = - 2x ×
x 1 2
² x
2 x 2 1 1
+
− +
.
+∞
→
xlim -2x = - ∞ et
+∞
→
xlim ( 1 + 1 2x −
²
x2 ) = 1 et
+∞
→
xlim ( 1 + 2
x ) = 1 donc xlim f ( x ) = - ∞ →+∞
−∞
→
xlim -2x = + ∞ et
−∞
→
xlim ( 1 + 1 2x −
²
x2 ) = 1 et
−∞
→
xlim ( 1 + 2
x ) = 1 donc xlim f ( x ) = + ∞ →−∞
f ( x ) = -2x + 3 − 2 x
2+ et - 2 × ( - 2 ) + 3 = 4 + 3 = 7.
2
x 2
xlim
−
<−
→ ( x + 2 ) = 0 et x < - 2 entraîne x + 2 < 0 donc
2
x 2
xlim
−
<−
→ x 2
2+ = - ∞ et donc
2
x 2
xlim
−
<−
→ ( -2x + 3 − 2 x
2+ ) = + ∞
D'où
2
x 2
xlim
−
<−
→ f ( x ) = + ∞
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2
x 2
xlim
−
>−
→ ( x + 2 ) = 0 et x > - 2 entraîne x + 2 > 0 donc
2
x 2
xlim
−
>−
→ x 2
2+ = + ∞ et donc
2
x 2
xlim
−
>−
→ ( -2x + 3 − 2 x
2+ ) = − ∞
D'où
2
x 2
xlim
−
>−
→ f ( x ) = − ∞ . 3. b )
2
x 2
xlim
−
<−
→ f ( x ) = + ∞ et
2
x 2
xlim
−
>−
→ f ( x ) = − ∞ cela signifie qu'au voisinage de - 2 la courbe de f se rapproche de la droite d'équation x = - 2 autrement dit la droite d'équation x = - 2 ( parallèle à l'axe des ordonnées ) est une asymptote à la courbe de f.
3. c ) f ( x ) = -2x + 3 − 2 x
2+ et
+∞
→ xlim
2 x
2+ = 0 et
−∞
→ xlim
2 x
2+ = 0
Cela signifie qu'au voisinage de + ∞ et de - ∞ la courbe de f se rapproche de la droite d'équation y = - 2x + 3.
Autrement dit la droite d'équation y = -2x + 3 est une asymptote à la courbe de f au voisinage de + ∞ et de - ∞ 3. d ) f ( x ) − ( -2x + 3 ) = -
2 x
2+ . Si x < - 2 alors x + 2 < 0 donc - 2 x
2+ > 0 donc f ( x ) − ( -2x + 3 ) > 0 ⇔ f ( x ) > -2x + 3. Donc sur l'intervalle ] - ∞ ; - 2 [ alors la courbe de f se situe strictement au dessus de l'asymptote.
Si x > - 2 alors x + 2 > 0 donc - 2 x2
+ < 0 donc f ( x ) − ( -2x + 3 ) < 0 ⇔ f ( x ) < -2x + 3.
Donc sur l'intervalle ] - 2 ; + ∞ [ alors la courbe de f se situe strictement en dessous de l'asymptote.
4. a ) f ( x ) = 2 x
4 x
² x 2 +− +
− donc f ' ( x ) =
)² 2 x (
) 4 x
² x 2 ( 1 ) 2 x )(
1 x 4 (
+− − − + +
−
−
Le numérateur de f ' ( x ) est égal à -4x² − 8x − x − 2 + 2x² + x − 4 = -2x² − 8x − 6.
J'ai vérifié que f ' ( x ) =
)² 2 x (
6 x 8
² x 2 +− −
− .
4. b ) Le signe de f ' ( x ) dépend du signe de son numérateur.
Calculons le discriminant : b² − 4ac = 64 − 4 ( -2 ) ( - 6 ) = 64 − 48 = 16 = 4².
Ainsi les racines sont x1 = ) 2 ( 2
4 8−
×− = - 1 et x2 = ) 2 ( 2
4 8−
×+ = - 3 . Le tableau de signe de ce trinôme est
x −∞ - 3 - 1 +∞
-2x²− 8x − 6 − 0 + 0 −
Le tableau de signe de f ' ( x ) est donc
x −∞ - 3 - 2 - 1 +∞
f ' ( x ) − 0 + + 0 −
c ) Ainsi sur l'intervalle ] - ∞ ; - 3 [ la fonction f ' ( x ) est négative. Donc la fonction f est strictement décroissante sur l'intervalle ] - ∞ ; - 3 [. Ainsi sur l'intervalle ] - 3 ; - 2 [ la fonction f ' ( x ) est positive. Donc la fonction f est strictement croissante sur ] - 3 ; - 2 [. Ainsi sur l'intervalle ] - 2 ; - 1 [ la fonction f ' ( x ) est positive. Donc la fonction f est strictement croissante sur ] - 2 ; - 1 [. Ainsi sur l'intervalle ] - 1 ; + ∞ [ la fonction f ' ( x ) est négative. Donc la fonction f est strictement décroissante sur ] -1 ; + ∞ [. La fonction f est strictement décroissante sur ] - ∞ ; - 3 [.
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Donc si x < - 3 alors f ( x ) > f ( - 3 ). La fonction f est strictement croissante sur ] - 3 ; - 2 [. D'où pour x > - 3
alors f ( x ) > f ( - 3 ). f ( - 3 ) = 6 + 3 − 2 / ( - 1 ) = 9 + 2 = 11. Ainsi pour tout x de l'intervalle ] - ∞ ; - 2 [ f ( x ) ≥ 11.
Donc 11 = f ( - 3 ) est le minimum de la fonction f sur l'intervalle ] - ∞ ; - 2 [.
La fonction f est strictement croissante sur ] - 2 ; - 1 [. Donc si x < -1 alors f ( x ) < f ( - 1 ) La fonction f est strictement décroissante sur ] -1 ; + ∞ [. D'où pour x > - 1 alors f ( x ) < f ( - 1 ) f ( - 1 ) = ( -2+1+4)/1 = 3 Ainsi pour tout x de l'intervalle ] - 2 ; + ∞ [ f ( x ) ≤ 3.
Donc 3 = f ( - 1 ) est le maximum de la fonction f sur l'intervalle ] - 2 ; + ∞ [.
4. d ) Le tableau de variation de f est :
x −∞ -3 -2 -1 +∞
signe de f ′ − 0 + + 0 −
+ ∞ + ∞ 3
f
11 - ∞ - ∞
5. Une équation de la tangente à la courbe C au point d'abscisse x = 0 est donnée par la formule : y = f ' ( 0 ) ( x − 0 ) + f ( 0 ).
f ' ( 0 ) = - 6
4 = -1,5 et f ( 0 ) = 4
2 = 2. Donc une équation est y = -1,5x + 2.
6. Démontrer que le point I ( - 2 ; 7 ) est centre de symétrie de la courbe C revient à démontrer que les points M ( -2 + x ; f ( - 2 + x ) ) et M ' ( - 2 − x ; f ( - 2 − x ) ) admette I comme milieu.
Soit x ∈ tel que -2 + x et - 2 − x sont deux éléments de D.
C'est à dire soit x ∈ tel que - 2 + x ≠ - 2 et - 2 − x ≠ -2 ⇔ x ≠ 0.
Soit x ∈ * alors f ( -2 + x ) = - 2 ( -2 + x ) + 3 −
2 x 2
2+ +
− = 4 − 2x + 3 − 2
x = 7 − 2x − 2 x Et f ( - 2 − x ) = - 2 ( -2 − x ) + 3 −
2 x 2
2 +
−
− = 4 + 2x + 3 + 2
x = 7 + 2x + 2 x Donc f ( - 2 +x ) + f ( - 2 − x ) = 14 = 2 × 7.
Donc I est le centre de symétrie de la courbe C.
