4 Étude de courbe

(1)

Terminale S Analyse

Ce qu’il faut savoir

Cetteﬁche est un résuménon rigoureuxdes formules et méthodes vues en TS

1 Fonction exponentielle

Déﬁnition : Il existe une unique fonctionf telle quef^′=f etf(0) = 1.

propriétés analytiques :

• strictement positive

• strictement croissante

• lim

x→−∞e^x= 0 et lim

x→+∞e^x= +∞.

• Dérivation (e^u)^′=u^′e^u. propriétés algébriques :

• e^x+y= e^xe^y

• e^x−y=^e_e^xy

• (e^x)ⁿ= e^nx −2 −1 1 2

1 2 3 4 5 6 7

O ~ı

~

2 Fonction logarithme népérien

Déﬁnition : six >0, ln(x) est le nombre dont l’exponentielle vautx.

propriétés analytiques :

• ln(1) = 0 et ln(e) = 1

• pour toutx, ln(e^x) =x

• pour toutx >0,e^ln(x)=x

• strictement croissante sur ]0; +∞[.

• lim

x→0⁺ln(x) =−∞et lim

x→+∞ln(x) = +∞.

• Dérivation : Si pour toutx,u(x)>0, ln(u)^′=^u_u^′ propriétés algébriques :

Six >0 ety >0 alors

• ln(xy) = lnx+ lny

• ln(^x_y) = lnx−lny

• ln(xⁿ) =nlnx.

1 2 3 4 5 6 7

1 2 3

−3

−2

−1O ~ı

~

3 Dérivation

Fonction Fonction dérivée u+v u^′+v^′

ku ku^′

u×v u^′×v+v^′×u

u v

u^′v−v^′u v²

Fonction Fonction dérivée

e^u u^′e^u

ln(u) u^′

u uⁿavecn∈Z^⋆ nu^′uⁿ⁻¹

√u u^′

2√ u

4 Étude de courbe

• Équation de la tangente ena:y=f^′(a)(x−a) +f(a).

• Intersection avec l’axe (Ox) : on cherchextel quef(x) = 0

• Intersection avec l’axe (Oy) :f(0) =· · ·

• Tangente parallèle à l’axe (Ox) : on cherchextel quef^′(x) = 0

• Position relative deC_f etC_g : Étude du signe def(x)−g(x)

• Montrer qu’une équation a une unique solution : Résolution ou TVI

5 Intégration

Déﬁnition : Sifest une fonctionpositiveetconti- nue, on note^Ra^bf(x)dxl’aire, exprimée en unités d’aire, de la région du plan délimitée par la courbeC, l’axe des abscisses et les droites d’équationsx=aetx=b.

1 2 3 4 5

1 2 3

−1

−2

−3a b

C

R_b

af(x)dx=A Propriétés :

• Valeur moyenne :m=_b−a¹ ^Ra^bf(x)dx.

• Relation de Chasles :^Ra^cf(x)dx+^Rc^bf(x)dx=^Ra^bf(x)dx.

• Linéarité :^Ra^b

mf(x) +ng(x)dx=m^R_a^bf(x)dx+n^R_a^bg(x)dx.

• Relation d’ordre : Sif(x)< g(x) sur [a;b] alors^R_a^bf(x)dx <^R_a^bg(x)dx.

• Calcul :^Ra^bf(x)dx=F(b)−F(a) oùF est une primtive def.

(2)

Terminale S Suite

Ce qu’il faut savoir

1 Généralités

• sens de variation : étude du signe deun+1−un

• théorème de comparaison : Siun�vnet lim

n7→+∞un= +∞alors lim

n7→+∞vn= +∞

• théorème des gendarmes : Siun�vn�wnet lim

n7→+∞un= lim

n7→+∞wn=lalors lim

n7→+∞vn=l

• théorème limite monotone : toute suite croissante et majorée converge

2 Suites arithmétiques

• relation récursive :un+1=un+r

• prouver qu’une suite est arithmétique :un+1−un= constante

• prouver qu’une suite n’est pas arithmétique :u2−u16=u1−u0

• relation explicite :un=u0+n×r

• somme des termes :u0+· · ·+un= (n+ 1)^u⁰^+u₂ ⁿ=^{nb terme}premier+dernier

• limites :±∞suivant signe der 2

3 Suites géométriques

• relation récursive :un+1=q×un

• prouver qu’une suite est géométrique :^u_uⁿ⁺¹_n = constante

• prouver qu’une suite n’est pas géométrique : ^u_u²₁6=^u_u¹₀

• relation explicite :un=u0×qⁿ

• somme des termes :u0+· · ·+un=u01−qⁿ⁺¹

1−q = 1^er^terme×¹^−q^{nb terme}1−q

• limites :

⋄ ±∞siq >1

⋄ 0 si−1< q <1

⋄ u0 siq= 1

⋄ pas de limite siq�−1

4 Démonstration par récurrence

Avec une égalité : on part de u

k+1

et l’on revient à u

k

Soit (un) la suite déﬁnie paru0= 0 et pour tout entier natureln,un+1= 2un+ 1. Montrer par récurrence que pour tout entier natureln, on aun= 2ⁿ−1.

1. Initialisation : Pourn= 0,

• d’une partu0= 0

• d’autre part 2⁰−1 = 1−1 = 0.

donc la propriété est vraie au rang 0.

2. Hérédité : On suppose qu’il existe un rangktel queuk= 2^k−1. Il faut montrer que la propriété est vraie au rangk+ 1.

uk+1 = 2uk+ 1

HR= 2(2^k−1) + 1

dvp= 2×2^k−2 + 1

prop= 2^k+1+ 1 donc la propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion :La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entiern�0.

∀ninN, un= 2ⁿ−1

Avec une inégalité : on part de l’hypothèse de récurrence

Soitaun réel strictement positif. Démontrons par récurrence que pour tout entier natureln, (1 +a)ⁿ�1 +na.

1. Initialisation : Pourn= 0,

• d’une part (1 +a)⁰= 1

• d’autre part 1 + 0×a1.

La propriété est vraie au rang 0.

2. Hérédité : On suppose qu’il existe un rangktel que (1 +a)^k�1 +ka Il faut montrer que la propriété est vraie au rangk+ 1.

(1 +a)^k � 1 +ka (1 +a)^k(1 +a) � (1 +ka)(1 +a)

(1 +a)^k+1 � 1 +a+ka+ka²

orka²est positif donc 1 +a+ka+ka²>1 +a+ka= 1 + (k+ 1)adonc (1 +a)^k+1�1 + (k+ 1)a

La propriété est donc vraie au rangk+ 1.

3. Conclusion :La propriété est vraie au rang 0 et est héréditaire. Elle est donc vraie pour tout entier naturel.

∀a∈R^+∗, ∀n∈N(1 +a)ⁿ�1 +na

(3)

Terminale S Probabilités

Ce qu’il faut savoir

1 Loi binomiale

Déﬁnition : Une variable alétoireX suit uneloi binomialesi

• on repètenfois de façonindépendanteune expérience aléatoire ;

• l’experience est à2issues :Succèsde probabilitépetEchecde probabilité1-p;

• la variableXcompte le nombre deSuccèsau cours desnexpériences.

On note parfoisX֒→B(n;p) Calculs :

• P(X=k) =ⁿ_kp^k(1−p)^n−k(à la calculatrice)

• Espérance :E(x) =n×p

• Variance :V(x) =n×p×(1−p)

• Écart-type :σ=^qn×p×(1−p)

• Intervalleﬂuctuation : Sin�30 ;np�5 ;n(1−p)�5, L’intervalle deﬂuctuation à 95% d’une fréquence, pour un échantillon de taillen, selon la loi binomiale de paramètre netpest :

[a n ; b

n] où

( aest le plus petit entier tel queP(X�a)>0,025 best le plus petit entier tel queP(X�b)�0,975

2 Probabilités conditionnelles

Formules :

• événement contraire :p(A) = 1−p(A)

• union :p(A∪B) =p(A) +p(B)−p(A∩B)

• probabilité conditionnelle :pA(B) =^p(A∩B)_p(B)

• intersection :p(A∩B) =p(A)×pA(B)

• formule probabilités totales :p(B) =p(A∩B) +p(A∩B)

• indépendance :AetBindependant ssip(A∩B) =p(A)× p(B) doncpA(B) =p(B)

�

A

p(A)

p_A(B) B

A

1−p(A)

p_A(B) E

p E

A(B)

3 Variables aléatoires continues

Cas général

• Déﬁnition :P(c�X�d) =^Rc^df(t)dt

• Propriété :f doit vériﬁer la propriété^R_a^bf(t)dt= 1

• Esperance :E(X) =^R_a^btf(t)dt

c d

f

Loi uniforme sur intervalle [a ;b]

• fonction de densité :_b−a¹ pourx∈[a, b] et 0 sinon

• Probabilité :P(c�X�d) =^d−c_b−a

• Esperance :E(X) =^a+b₂

a b

1 b−a

Loi exponentielle

• fonction de densité :f(t) =λe^−λtsur [0; +∞[

• Probabilité :P(c�X�d) =e^−λc−e^−λd P(X�c) =e^−λc

• Propriété de durée de vie sans vieillissement : PX�c(X�c+h) =P(X�h).

• Esperance :E(x) =_λ¹

0.2 0.4 0.6

1 2 3 4 5 6

P(1�X�3)

Loi normale

Déﬁnition : Une variable aléatoireXà valeurs dansRsuit la loi normale centrée réduite, notéeN(0; 1), si sa densité de probabilité est la fonction déﬁnie surRpar

f(t) = 1

√2πe⁻^t

2 2.

On utlise souvent la symétrie de la courbe pour calculer des probabilités lorsque l’on en connait une.

0.1 0.2 0.3 0.4

2 4

−2

−4

Probabilités d’événements classiques :

SoitX une variable aléatoire suivant une loi normaleN(m,σ²). Alors

• P(m−σ�X�m+σ)≈0,68 ;

• P(m−2σ�X�m+ 2σ)≈0,95 ;

• P(m−3σ�X�m+ 3σ)≈0,997.

Seuils usuels :

u0,05≈1,96 ce qui signiﬁe queP(−1,96�X�1,96)≈0,95.

u0,01≈2,58 ce qui signiﬁe queP(−2,58�X�2,58)≈0,99.

(4)

Terminale S Nombre Complexe

Ce qu’il faut savoir

1 Forme algébrique

Déﬁnition :

• On appelleensemble des nombres complexesl’ensemble des nombres de la forme x+ iy, oùx∈R,y∈Ret i est un nombre vériﬁant i²=−1. Cet ensemble est notéC.

• L’écriturez=x+ iyest appelléeforme algébriquedu nombrez.

• Le réelxest appelépartie réelledu complexezet notéRe(z).

• Le réelyest appelépartie imaginairedu complexezet notéIm(z).

• Le nombrez=x−iyest appeléconjugué dez. Il sert, entre autre, à rendre réel des dénominateurs aﬁn d’obtenir des formes algébriques.

Exemple : On donnez1=−2 + 3i etz2= 4−i

1. z1+z2= (−2 + 3i) + (4−i) =−2 + 4 + i(3−1) = 2 + 2i ; 2. 2z1= 2(−2 + 3i) =−4 + 6i ;

3. z1×z2= (−2 + 3i)(4−i) =−8 + 2i + 12i−3i²=−8 + 14i−(−3) =−5 + 14i.

4. z3= 2

3 + i= 2(3−i)

(3 + i)(3−i)=6−2i

9−i² =6−2i 10 =3

5−1 5i.

5. z4=1 + 2i

5−6i=(1 + 2i)(5 + 6i)

(5−6i)(5 + 6i)=5 + 6i + 10i + 12i²

5²−(6i)² =5 + 16i−12

25−36(−1)=−7 + 16i 61 . Propriétés :

1. z=z; 2. z+z= 2Re(z) ; 3. z−z= 2iIm(z).

Équation du second degré et nombres complexes :

On considère l’équationaz²+bz+c= 0 oùa,betcsont trois nombres réels.

On poseΔ=b²−4ac.

• siΔ>0, l’équation admet deux solutionsx1=−b+√ Δ

2a etx2=−b−√ Δ 2a ;

• siΔ= 0, l’équation admet une solution doublex=− b 2a;

• siΔ<0, l’équation n’admet pas de solution dansRmais admet deux solutions conju- guées dansC:z1=−b+ i√

−Δ

2a etz2−z1=−b−i√

−Δ

2a .

2 Forme trigonométrique

Déﬁnitions :

• À tout pointMde coordonnées (x;y), on associe lenombre complexez=x+iy.

• Ce nombre complexe est appeléaﬃxedu pointM.

• M est lepoint imagedez.

• Soit un pointMd’aﬃxezdans le plan complexe ;

⋄ la distanceOMest appeléemoduledezet notée|z|;

⋄ une mesure de (^→u,⁻OM) est appelée⁻⁻⁻⁻⁻⁻^→ argumentdezet

notée arg(z). O ~u

~v

��

M

H x

y θ r

• L’écriturez=r(cosθ+ i sinθ) est appelléeforme trigonométriquedu nombrez. Elle est parfois notéez= [r,θ].

Propriétés des modules : Pour tout nombre complexezetz^′, on a :

• Conjugué :|z|=|z|etarg(z) =−arg(z).

• Produit :|zz^′|=|z||z^′|et argzz^′= argz+ argz^′

• Quotient :siz^′6= 0, z z^′ =|z|

|z^′|et argz z^′

= argz−argz^′.

3 Complexes et Géométrie

• Le pointI milieu de [AB] a pour aﬃxe^z^A^+z₂ ^B

• le vecteur⁻AB⁻⁻⁻⁻^→a pour aﬃxez−−−−−→

AB=zB−zA.

• AB=|zB−zA|

• (^→u;⁻AB) = arg(z⁻⁻⁻⁻^→ B−zA) = [2π].

• Corollaire hors-programme mais utile :(⁻DC;⁻⁻⁻^−→ ⁻BA) = arg⁻⁻⁻⁻^→ _z^z^A^−z^B

C−zD

[2π].

Les lignes trigonométriques remarquables :

0 π 6 π 4 π 3 π 2

5π 6

3π 4

2π 3

−π

7π 6 5π

4 4π

3 3π

2

11π 7π 6 5π 4

3

1 2

√2 2

√3

0 2

−¹2

−^√2²

−^√2³

1 2

√2 2

√3 2

−¹2

−^√2²

−^√2³

(5)

Terminale S Espace

Ce qu’il faut savoir

1 Points et vecteurs de l’espace

SiAetBsont des points de coordonnées respectives (xA, yA, zA) et (xB, yB, zB), alors

• les coordonnées du milieu du segment [AB] sont^xÂ^+x₂ ^B,^yÂ^+y₂ ^B,^zÂ^+z₂ ^B;

• les coordonnées du vecteur⁻AB⁻⁻⁻⁻^→sont (xB−xA, yB−yA, zB−zA) ;

• si le repère (O;~i,~j, ~k) est orthonormé, alorsAB=^q(xB−xA)²+ (yB−yA)²+ (zB−zA)² Trois vecteurs de l’espace^→u, ^→v,^→wnon tous nuls et non colinéaires deux à deux sontcopla- nairessi, et seulement si, il existe deux réelsαetβ, éventuellement nuls, tels que^→u=α^→v+β^→w.

Deux vecteurs^→uet^→vnon nuls de l’espace sontcolinéairessi et seulement si les coordonnées sont proportionnelles.

Deux vecteurs^→u et^→v non nuls de l’espace sontorthogonauxsi et seulement si leur produit scalaire est nul.

2 Droites de l’espace

Représentation paramétrique : Une représentation paramétrique de la droiteΔpassant parA(2;−1; 0) et de vecteur directeur^→u





 5 4 7





est :











x = xA+x→ut = 2 + 5t y = yA+y→ut =−1 + 4t z = zA+z→ut = 7t

(t∈R)

Positions relatives de deux droites : Deux droites de l’espace sont

• confondues si elles sont coplanaires et ont 2 points communs ;

• sécantes si elles sont coplanaires et ont un unique point commun ;

• parallèles si elles sont coplanaires et n’ont aucun point commun ;

• non-coplanaires sinon.

Intersection de droites : Pour déterminer l’intersection éventuelle de droites, il faut chercher une valeur detet une valeurt^′vériﬁant les trois équations. On conclut suivant le nombre de solutions du système.

3 Plans de l’espace

Équation et vecteur normal : Tout planP de vecteur normal^→n admet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d= 0 oùdest un réel. Réciproquement, siPadmet une équation cartésienne de la formeax+by+cz+d= 0, alors le vecteur ^→n(a;b;c) est un vecteur normal au planP.

Positions relatives de deux plans : Deux plans de l’espace sont

• confondus si ils ont au moins 3 points communs non alignés ;

• sécants si leur intersection est une droite ;

• parallèles si ils n’ont aucun point commun.

L’intersection de deux plans est donc un plan, une droite ou l’ensemble vide.