• Aucun résultat trouvé

la propriété est vraie pour n=0 supposons que n n 1 n n 1 n 1 n 2 U et montrons que U 3  3

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "la propriété est vraie pour n=0 supposons que n n 1 n n 1 n 1 n 2 U et montrons que U 3  3"

Copied!
10
0
0

Texte intégral

(1)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:

1/ 1 5 2 8

U ; U

9 27

 

2/ 0

0

U 1 0 1 3

   la propriété est vraie pour n=0

supposons que n n 1

n n 1

n 1 n 2

U et montrons que U

3 3

 

 

n 1 n n n n 1 n 1

n 1 n n 2 n 2

3U 2 U

3 3 3 3

  

    

n

n

U n 1 3

  ; nIN

n n

n 1 n n 1 n n 1 n n n 1

n n 1

2 n 2 3 U 1 2 1 1

U U U U U

3 3 3 3 3 3 3

1 1

3U 3

       

 

3/ a) n

n 1 n n n n

n 2 n 1 3n 6 3n 3 3

W 9 3

3 3 3 3 3

   

    

W est une suite géométrique de raison 1 3 b)

n 1 n

k 0 n

k 0

1 (13) 9 1

W W ( 1 )

1 2 3

1 3

   

 

4/ a) 1 0

0

9 2 3

S U 1

4 4.3

      c'est vraie pour n=0

supposons que n n 1

n 1 n

9 2n 3 9 2n 5

S ; montrons que S

4 4.3 4 4.3

 

   

n

n 1 k n n n 1 n

k 0

n n n

9 2n 3 n 1

S U S U

4 4.3 3

9 6 n 9 4n 4 9 2n 5

4 4.3 4.3 4 4.3

 

      

  

    

n

n 1

9 2n 3

S 4 4.3

   ; nIN*

b)

(2)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 2

n 1

k 1 0 n 2

k 1

0 1 n 2

n 2 n 1

k k n 1

k 0 k 0

n n 1 n 1 n 1 n 1

k 1 2 n 1

...

3 3 3 3

U U ... U

U ( U ) U

n 9 2n 3 n 9 6n 3

S 3 4 3 3 4 4.3

    

   

    

 

      

Exercice 2:

1) a) on a: 0 <U0 <1 la propriété est vraie pour n=0 supposons que 0 < Un < 1 et montrons que 0 < Un+1 < 1.

2 2

n n n n n 1

on a : 0U   1 0 U   1 0 U U   2 0 U 1

 0 < Un <1 ; nIN.

b)

n 1 n n n

n n n

U U 1U (U 1 ) 2

on a : 0 U 1 1U (U 1 ) 0 2

 

 U est décroissante.

U décroissante minorée par 0 U est convergente.

Un+1=f(Un) avec f(x)=1 1 2 2x.

U converge vers l.

f continue sur IR* donc en l.

f(l)=l 1l( l 1 ) 0 l 0 ou l 1

2    U étant décroissante alors l=0.

c) U est décroissante 0< Un U0=3

4 ; nIN.

n n n n n

n 1 n

3 7 1 7

on a : 0 U U 1 U ( 1 U ) U

4 4 2 8

U 7U ; n IN

8

    

7 1

l l l 0 l 0 et l 0 l 0

8 8

      

2) a) on a U0 >1 la propriété est vraie pour n=0.

Supposons que Un >1 et montrons que Un+1 >1.

(3)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 3

2 2

n n n n n 1

on a : U  1 U  1 U U  2 U 1

 Un>1 ; nIN.

n 1 n n n

n n n 1 n

U U 1U (U 1 ) 2

on a : U 0 et U 1 0 U U 0

 

 U est une suite croissante.

b) U étant croissante Un U0 4 ; n IN

3 si U converge vers l l 1 1l l 0 ou l 1

2 2

  et l  4

3 ce qui est impossible

 U est divergente et comme elle est croissante alors elle diverge vers + . c)

n n 1 n n n

n 1 n

4 7 1 7

on a : U U U (U 1 ) U

3 3 2 6

U 7U ; n IN

6

   

1 0

2 1

n n 1

n n

n 0

on a : U 7U 6 U 7U

6 . . U 7U

6

7 4 7

U ( ) U ( )

6 3 6

comme n n

n n

lim 3 7( ) alors lim U

4 6     

Exercice 3:

1) on a 0 U0 1 la propriété est vraie pour n=0.

Supposons que 0 Un 1 et montrons que 0 Un+ 1.

On a: 0 Un 1 Un2 1 Un2-1 0 2(Un2-1) 0 Un2 2-Un2

2 n

n n n 1 n 1

2 n n 1

U 2 U U 1 U 1 et U 0

2 U

0 U 1

 

 

(4)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 4 donc 0 Un 1, pour tout nIN.

1) a) n 1

n n2

U 1

U 2 U

2 2 2 2

n n n n

2 n 1

n n2 n

on a : U 1 1 U 0 2 1 U 0 2 U 1

1 U

2 U 1 1 1

2 U U

         

   

par suite U est une suite décroissante.

U décroissante et minorée par 0 alors U est convergente.

b) on a: * Un+1=f(Un) avec f ( x ) x 2

. * U converge vers l.

* f continue en l car f est continue sur [0,1]

f(l)=l l l l( 2 l² 1) 0 l 0 ou l 1 ou l 1

  2 l²       

comme l[0,1] et U est décroissante alors l=0.

3) U est décroissante Un U0=1

2 , pour tout nIN

2 2 2

n n n n

n n n

2 2

n n

n 1 n

1 1 7 7 7

0 U U 2 2 U 2 U

2 4 4 4 2

1 2 U 2

et U 0 U

7 7

2 U 2 U

U 2 U , pour tout n IN

7

          

 

soit l= n

n

lim U

 ;

n 1 n

n

2 2 2

U U l l l( 1 ) 0 l 0

7 7 7

comme : U 0 l 0

    

  

par suite l=0

4) a) on a : U0 1 ( 2 )0 1 1

2 7 2 2

  la propriété est vraie pour n=0.

(5)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 5

n n 1

n n 1

n n 1

n 1 n n 1

2 1 2 1

sup posons que U ( ) et montrons que U ( )

2 2

7 7

2 2 2 1 2 1

on a : U U U ( ) ( )

2 2

7 7 7 7

d’où la propriété est vraie pour tout nIN.

b)

0 n 1 n k

n 0 1 n 1

k 0 n

n k

k 0

n

2 1 2 1 1 2

S U U .... U ( ) ... ( ) ( )

2 2 2

7 7 7

1 ( 2 )

2 7 1

( )

2 2

7 1 1

7 7

1 1

S ;n IN *

21 2 7

S est majorée par 1 2( 1 2 )

7 .

On a : Sn+1-Sn= Un 0 S est une suite croissante.

S croissante et majorée donc convergente.

5)a) on a V0=1 1

2 2 la propriété est vraie pour n=0 supposons que Vn1

2 et montrons que Vn+11

2.

2 2 2

n n n n n n n

1 1 1 1

on a : V V et U 0 U V U V

2 4 4 2

     

par suite Vn1

2 ; nIN b)

2 2 2

n n n n n n n n

n 1 n

n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n

2 2

n 1 n n 1 n n n 1 n

on a :U 0 U V V ; V 0 U V V

V V 0

on a : V 1 ,n IN V V 1 (V V )(V V ) V V 2

V V V V U V V

   

 

par suite 0 Vn+1-Vn Un ; nIN.

(6)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 6

1 0 0

2 1 1

n n 1 n 1

n 1

n 0 k n

k 0

n

on a : V V U

V V U

. .

V V U

V V U S 1

2( 1 2 ) 7

1 1

V ; n IN

2 2( 1 2 ) 7

 

 V est majorée par 1 1 2 2( 1 2 )

7

b) on a Vn+1-Vn 0 V est croissante.

V croissante, majorée donc convergente.

Exercice 4:

1) a) on a 0 < U0 < 1 la propriété est vraie pour n=0.

Supposons que 0 < Un < 1 et montrons que 0 < Un+1 < 1.

On a 0<Un <1 1+Un>0 et 1+Un2

>0 Un+1 >0.

2

n n n n

n 1

n n

n n n n 1

U U U (U 1 )

U 1

1 U 1 U

on a :U 1 0; U 0; 1 U 0 U 1 0

 

      donc 0 < Un+1 < 1

par suite 0 < Un < 1 ; nIN b)

n 1 n n

n

n n n n 1 n

U U 1 U

1 U

on a :0 U 1 1 U 0 et 1 U 0 U U 0

    

 U est une suite croissante.

U croissante , majorée par 1 alors U est convergente.

On a:

Un+1=f(Un) avec f ( x ) 1 1 x

U converge vers l

f continue sur IR\{-1} donc en l

(7)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 7

 f(l)=l l 1 l² l 1 1 l

   

2) a) 1-Un+1 =

2

n n

n

n n

1 U U

1 ( 1 U )

1 U 1 U

; nIN

on a U est croissante Un 1

2 ; nIN

n n n

n n

n n n n

n

n 1 n

3 1 2 U 2

1 U et 0 U 1

2 1 U 3 1 U 3

U 2

et 1 U 0 ( 1 U ) ( 1 U )

1 U 3

U 2( 1 U ) ;n

3

    

 

b) on a : 0 1 U0 1 1 2( )0 2 2 3

    la propriété est vraie pour n=0.

Supposons que 0<1-Un1 2( )n et montrons que 0 1 Un 1 1 2( )n 1

2 3 2 3

 

n n 1

n 1 n

n n

2 2 1 2 1 2

on a :0 1 U ( 1 U ) ( ) ( )

3 3 2 3 2 3

0 1 U 1 2( ) ;n IN 2 3

 

  

1) a)

0 1

1 2

n n

n

n n k n

k

k 1 k 1

n n

on a : 0 1 U 1 2( ) 2 3 0 1 U 1 2( )

2 3 .

.

0 1 U 1 2( ) 2 3

1 (2)

1 2 1 2 3 2

0 n U ( ) [ ] 1 ( )

2 3 2 3 1 2 3

3 0 n S 1 (2)

3

 

 

 

   

    

(8)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 8 b)

n n

n

n n

n n n

1 2

0 1 V ( 1 ( ) )

n 3

1 2

lim ( 1 ( ) ) 0 lim 1 V 0 lim V 1

n 3

  

 

   

Exercice 5:

1/ a) on a U2=3

2 2 < U2 < 3 la propriété est vraie pour n=2.

Supposons que n < Un < n+1 et montrons que n+1<Un+1 < n+2.

n n 1

n n

n 1

1 1 1

n U n 1 n 2 U n 2

n 1 U n n 1 U n 1

comme n 1 2 n 1 U n 2

n 1

          

       

 n<Un < n+1 ; n2.

On a n

n n

lim n lim U

      

c) on a n < Un < n+1 et n+1< Un+1 < n+2 Un+1 > Un U est une suite croissante.

1) a)

n 1 n

n 1 n n

n

n n

n

n n

1 1 nU

V 1 1

U n 1 2 n 1 nU U

U

1 1 1

n n(U n ) (U n ) 1 1 1

1 V

n(U n ) U n n n

   

   

 

b) on a V1=0 0 V1 1 la propriété est vraie pour n=1.

Supposons que 1 1 Vn 1

 n et montrons que 1 1 Vn 1 1

n 1

n n

n

n 1

1 1 n 1 n 1

on a : 1 V 1 1 V 1

n n n n 1 V 1

n

1 1 V 1

n 1

      

 

1 1 Vn 1

 n ; nIN*.

(9)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 9 c)

n n n

n n

n n

n n

lim 1 1 0 lim V 1 n

1 1

V 1 U n

U n V 1

lim U n 1 2

 



  

   

 

3) a)

n n n n

k k n

k 1 k 1 k 1 k 1

n n

1 1 1

k(V 1 ) [( kV ) ( k )] S k

1 1 n 1 n

S n S

2 2n

b) n n k n k

k 1 k 1

n 1 1 1

S k(V 1 ) k(V 1 )

2n

k k k k

n n

k

k 1 k 1

n

1 1

on a : 1 V 1 V 1 0 1 k(V 1 ) 0 | k(V 1 )| 1

k k

| k(V 1 )| 1 n

n 1 1 1

| S | n

2n n

            

c) n n

n n n n

1 n 1 n 1 1

lim 0 lim ( S ) 0 lim S lim

n 2n 2n 2

   

   

Exercice 6 :

1/a/ soit P : « Un>0 , nIN »

On a U0=1 >0 alors P est vraie pour le premier terme.

Supposons que P est vraie jusqu’à l’ordre n et montrons qu’elle est vraie à l’ordre n+1

On a Un+1=

U U 2 U

2 U

n n n

2

n

et Un > 1 alors Un+1 >1 D’où P est vraie pour tout nIN

b/ nIN ; Un+1-Un=

U 2

n

>0 d’où U est croissante

(10)

2010-2011

www.zribimaths.jimdo.com Page 10

c/ supposons que U est majorée, puisqu’elle est croissante alors elle converge vers l

Dans ce cas on a : U converge vers l, Un+1=f(Un) ( f(x)=

x

² x 2

) et f continue en l

Alors f(l)=l l²=2+l² 0=2 ce qui est impossible et par suite U n’est pas majorée.

U non majorée et croissante alors U est divergente et 



U

lim n n

.

2/a/ nIN ; Vn+1-Vn=

U 1 1 4

U 4 4 4

) U U 2 2 ( U

2 4

U ) )(U

U (U

2 n 2

n n

n n n

1 n n 1

n

>

1.

b/ soit P : « Vn n , nIN»

On a V0 0 d’où P est vraie pour le premier terme.

Supposons que P est vraie jusqu’à l’ordre n et montrons qu’elle vraie à l’ordre n+1.

On a Vn+1 – Vn 1 d’où Vn+1 Vn+1 n+1.

D’où P est vraie pour tout nIN.

On a  





n donc limV

lim n

n n

c/ Vn+1-Vn=

U 1 12

n

; nIN.

On a Vn n d’où Un² 4n d’où pour tout nIN*

n 4

1 U

1

2 n

et par suite 1+

U 1

2 n

1+

n 4

1 ;nIN*

En fin Vn+1-Vn 1+

n 4

1 ; nIN*.

3/ on a 1 Vn+1-Vn 1+

n 4

1 donc limWn 1

n



.

Références

Documents relatifs

Donc A\B est un minorant de A.. Corrig´ e du devoir maison L2MI Arithm´ etique. 4) La relation ∼ est clairement une relation

[r]

On en déduit, d’après le théorème de convergence des suites monotones, que la suite (u n )

Énoncer la réciproque de la

L’initialisation consiste à vérifier la propriété à un rang

Par le corollaire du th´ eor` eme des valeurs interm´ ediaires f (θ) a deux solutions (approximativement 0,4 et 0,64).. Le lapin s’en sortira donc si l’angle mesure entre 23 et

E1 Réponse GRILLE de CORRECTION du

La notion d’observabilité est cruciale pour les systèmes où le vecteur d’état complet n’est pas accessible à la mesure mais doit être reconstruit, estimé ou filtré à