2010-2011
www.zribimaths.jimdo.com Page 1 Exercice 1:
1/ 1 5 2 8
U ; U
9 27
2/ 0
0
U 1 0 1 3
la propriété est vraie pour n=0
supposons que n n 1
n n 1
n 1 n 2
U et montrons que U
3 3
n 1 n n n n 1 n 1
n 1 n n 2 n 2
3U 2 U
3 3 3 3
n
n
U n 1 3
; nIN
n n
n 1 n n 1 n n 1 n n n 1
n n 1
2 n 2 3 U 1 2 1 1
U U U U U
3 3 3 3 3 3 3
1 1
3U 3
3/ a) n
n 1 n n n n
n 2 n 1 3n 6 3n 3 3
W 9 3
3 3 3 3 3
W est une suite géométrique de raison 1 3 b)
n 1 n
k 0 n
k 0
1 (13) 9 1
W W ( 1 )
1 2 3
1 3
4/ a) 1 0
0
9 2 3
S U 1
4 4.3
c'est vraie pour n=0
supposons que n n 1
n 1 n
9 2n 3 9 2n 5
S ; montrons que S
4 4.3 4 4.3
n
n 1 k n n n 1 n
k 0
n n n
9 2n 3 n 1
S U S U
4 4.3 3
9 6 n 9 4n 4 9 2n 5
4 4.3 4.3 4 4.3
n
n 1
9 2n 3
S 4 4.3
; nIN*
b)
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n 1
k 1 0 n 2
k 1
0 1 n 2
n 2 n 1
k k n 1
k 0 k 0
n n 1 n 1 n 1 n 1
k 1 2 n 1
...
3 3 3 3
U U ... U
U ( U ) U
n 9 2n 3 n 9 6n 3
S 3 4 3 3 4 4.3
Exercice 2:
1) a) on a: 0 <U0 <1 la propriété est vraie pour n=0 supposons que 0 < Un < 1 et montrons que 0 < Un+1 < 1.
2 2
n n n n n 1
on a : 0U 1 0 U 1 0 U U 2 0 U 1
0 < Un <1 ; nIN.
b)
n 1 n n n
n n n
U U 1U (U 1 ) 2
on a : 0 U 1 1U (U 1 ) 0 2
U est décroissante.
U décroissante minorée par 0 U est convergente.
Un+1=f(Un) avec f(x)=1x² 1 2 2x.
U converge vers l.
f continue sur IR* donc en l.
f(l)=l 1l( l 1 ) 0 l 0 ou l 1
2 U étant décroissante alors l=0.
c) U est décroissante 0< Un U0=3
4 ; nIN.
n n n n n
n 1 n
3 7 1 7
on a : 0 U U 1 U ( 1 U ) U
4 4 2 8
U 7U ; n IN
8
7 1
l l l 0 l 0 et l 0 l 0
8 8
2) a) on a U0 >1 la propriété est vraie pour n=0.
Supposons que Un >1 et montrons que Un+1 >1.
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2 2
n n n n n 1
on a : U 1 U 1 U U 2 U 1
Un>1 ; nIN.
n 1 n n n
n n n 1 n
U U 1U (U 1 ) 2
on a : U 0 et U 1 0 U U 0
U est une suite croissante.
b) U étant croissante Un U0 4 ; n IN
3 si U converge vers l l 1l² 1l l 0 ou l 1
2 2
et l 4
3 ce qui est impossible
U est divergente et comme elle est croissante alors elle diverge vers + . c)
n n 1 n n n
n 1 n
4 7 1 7
on a : U U U (U 1 ) U
3 3 2 6
U 7U ; n IN
6
1 0
2 1
n n 1
n n
n 0
on a : U 7U 6 U 7U
6 . . U 7U
6
7 4 7
U ( ) U ( )
6 3 6
comme n n
n n
lim 3 7( ) alors lim U
4 6
Exercice 3:
1) on a 0 U0 1 la propriété est vraie pour n=0.
Supposons que 0 Un 1 et montrons que 0 Un+ 1.
On a: 0 Un 1 Un2 1 Un2-1 0 2(Un2-1) 0 Un2 2-Un2
2 n
n n n 1 n 1
2 n n 1
U 2 U U 1 U 1 et U 0
2 U
0 U 1
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1) a) n 1
n n2
U 1
U 2 U
2 2 2 2
n n n n
2 n 1
n n2 n
on a : U 1 1 U 0 2 1 U 0 2 U 1
1 U
2 U 1 1 1
2 U U
par suite U est une suite décroissante.
U décroissante et minorée par 0 alors U est convergente.
b) on a: * Un+1=f(Un) avec f ( x ) x 2 x²
. * U converge vers l.
* f continue en l car f est continue sur [0,1]
f(l)=l l l l( 2 l² 1) 0 l 0 ou l 1 ou l 1
2 l²
comme l[0,1] et U est décroissante alors l=0.
3) U est décroissante Un U0=1
2 , pour tout nIN
2 2 2
n n n n
n n n
2 2
n n
n 1 n
1 1 7 7 7
0 U U 2 2 U 2 U
2 4 4 4 2
1 2 U 2
et U 0 U
7 7
2 U 2 U
U 2 U , pour tout n IN
7
soit l= n
n
lim U
;
n 1 n
n
2 2 2
U U l l l( 1 ) 0 l 0
7 7 7
comme : U 0 l 0
par suite l=0
4) a) on a : U0 1 ( 2 )0 1 1
2 7 2 2
la propriété est vraie pour n=0.
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n n 1
n n 1
n n 1
n 1 n n 1
2 1 2 1
sup posons que U ( ) et montrons que U ( )
2 2
7 7
2 2 2 1 2 1
on a : U U U ( ) ( )
2 2
7 7 7 7
d’où la propriété est vraie pour tout nIN.
b)
0 n 1 n k
n 0 1 n 1
k 0 n
n k
k 0
n
2 1 2 1 1 2
S U U .... U ( ) ... ( ) ( )
2 2 2
7 7 7
1 ( 2 )
2 7 1
( )
2 2
7 1 1
7 7
1 1
S ;n IN *
21 2 7
S est majorée par 1 2( 1 2 )
7 .
On a : Sn+1-Sn= Un 0 S est une suite croissante.
S croissante et majorée donc convergente.
5)a) on a V0=1 1
2 2 la propriété est vraie pour n=0 supposons que Vn 1
2 et montrons que Vn+1 1
2.
2 2 2
n n n n n n n
1 1 1 1
on a : V V et U 0 U V U V
2 4 4 2
par suite Vn 1
2 ; nIN b)
2 2 2
n n n n n n n n
n 1 n
n n 1 n n 1 n n 1 n n 1 n
2 2
n 1 n n 1 n n n 1 n
on a :U 0 U V V ; V 0 U V V
V V 0
on a : V 1 ,n IN V V 1 (V V )(V V ) V V 2
V V V V U V V
par suite 0 Vn+1-Vn Un ; nIN.
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1 0 0
2 1 1
n n 1 n 1
n 1
n 0 k n
k 0
n
on a : V V U
V V U
. .
V V U
V V U S 1
2( 1 2 ) 7
1 1
V ; n IN
2 2( 1 2 ) 7
V est majorée par 1 1 2 2( 1 2 )
7
b) on a Vn+1-Vn 0 V est croissante.
V croissante, majorée donc convergente.
Exercice 4:
1) a) on a 0 < U0 < 1 la propriété est vraie pour n=0.
Supposons que 0 < Un < 1 et montrons que 0 < Un+1 < 1.
On a 0<Un <1 1+Un>0 et 1+Un2
>0 Un+1 >0.
2
n n n n
n 1
n n
n n n n 1
U U U (U 1 )
U 1
1 U 1 U
on a :U 1 0; U 0; 1 U 0 U 1 0
donc 0 < Un+1 < 1
par suite 0 < Un < 1 ; nIN b)
n 1 n n
n
n n n n 1 n
U U 1 U
1 U
on a :0 U 1 1 U 0 et 1 U 0 U U 0
U est une suite croissante.
U croissante , majorée par 1 alors U est convergente.
On a:
Un+1=f(Un) avec f ( x ) 1 x² 1 x
U converge vers l
f continue sur IR\{-1} donc en l
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f(l)=l l 1 l² l 1 1 l
2) a) 1-Un+1 =
2
n n
n
n n
1 U U
1 ( 1 U )
1 U 1 U
; nIN
on a U est croissante Un 1
2 ; nIN
n n n
n n
n n n n
n
n 1 n
3 1 2 U 2
1 U et 0 U 1
2 1 U 3 1 U 3
U 2
et 1 U 0 ( 1 U ) ( 1 U )
1 U 3
U 2( 1 U ) ;n
3
b) on a : 0 1 U0 1 1 2( )0 2 2 3
la propriété est vraie pour n=0.
Supposons que 0<1-Un 1 2( )n et montrons que 0 1 Un 1 1 2( )n 1
2 3 2 3
n n 1
n 1 n
n n
2 2 1 2 1 2
on a :0 1 U ( 1 U ) ( ) ( )
3 3 2 3 2 3
0 1 U 1 2( ) ;n IN 2 3
1) a)
0 1
1 2
n n
n
n n k n
k
k 1 k 1
n n
on a : 0 1 U 1 2( ) 2 3 0 1 U 1 2( )
2 3 .
.
0 1 U 1 2( ) 2 3
1 (2)
1 2 1 2 3 2
0 n U ( ) [ ] 1 ( )
2 3 2 3 1 2 3
3 0 n S 1 (2)
3
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n n
n
n n
n n n
1 2
0 1 V ( 1 ( ) )
n 3
1 2
lim ( 1 ( ) ) 0 lim 1 V 0 lim V 1
n 3
Exercice 5:
1/ a) on a U2=3
2 2 < U2 < 3 la propriété est vraie pour n=2.
Supposons que n < Un < n+1 et montrons que n+1<Un+1 < n+2.
n n 1
n n
n 1
1 1 1 n² n² n²
n U n 1 n 2 U n 2
n 1 U n n 1 U n 1
comme n 1 n² 2 n 1 U n 2
n 1
n<Un < n+1 ; n2.
On a n
n n
lim n lim U
c) on a n < Un < n+1 et n+1< Un+1 < n+2 Un+1 > Un U est une suite croissante.
1) a)
n 1 n
n 1 n n
n
n n
n
n n
1 1 nU n²
V 1 1
U n 1 2 n² n 1 n² nU U
U
1 1 1
n n(U n ) (U n ) 1 1 1
1 V
n(U n ) U n n n
b) on a V1=0 0 V1 1 la propriété est vraie pour n=1.
Supposons que 1 1 Vn 1
n et montrons que 1 1 Vn 1 1
n 1
n n
n
n 1
1 1 n 1 n 1
on a : 1 V 1 1 V 1
n n n n 1 V 1
n
1 1 V 1
n 1
1 1 Vn 1
n ; nIN*.
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n n n
n n
n n
n n
lim 1 1 0 lim V 1 n
1 1
V 1 U n
U n V 1
lim U n 1 2
3) a)
n n n n
k k n
k 1 k 1 k 1 k 1
n n
1 1 1
k(V 1 ) [( kV ) ( k )] S k
n² n² n²
1 1 n 1 n
S n S
n² 2 2n
b) n n k n k
k 1 k 1
n 1 1 1
S k(V 1 ) k(V 1 )
2n n² n²
k k k k
n n
k
k 1 k 1
n
1 1
on a : 1 V 1 V 1 0 1 k(V 1 ) 0 | k(V 1 )| 1
k k
| k(V 1 )| 1 n
n 1 1 1
| S | n
2n n² n
c) n n
n n n n
1 n 1 n 1 1
lim 0 lim ( S ) 0 lim S lim
n 2n 2n 2
Exercice 6 :
1/a/ soit P : « Un>0 , nIN »
On a U0=1 >0 alors P est vraie pour le premier terme.
Supposons que P est vraie jusqu’à l’ordre n et montrons qu’elle est vraie à l’ordre n+1
On a Un+1=
U U 2 U
2 U
n n n
2
n
et Un > 1 alors Un+1 >1 D’où P est vraie pour tout nIN
b/ nIN ; Un+1-Un=
U 2
n
>0 d’où U est croissante
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c/ supposons que U est majorée, puisqu’elle est croissante alors elle converge vers l
Dans ce cas on a : U converge vers l, Un+1=f(Un) ( f(x)=
x
² x 2
) et f continue en l
Alors f(l)=l l²=2+l² 0=2 ce qui est impossible et par suite U n’est pas majorée.
U non majorée et croissante alors U est divergente et
U
lim n n
.
2/a/ nIN ; Vn+1-Vn=
U 1 1 4
U 4 4 4
) U U 2 2 ( U
2 4
U ) )(U
U (U
2 n 2
n n
n n n
1 n n 1
n
>
1.
b/ soit P : « Vn n , nIN»
On a V0 0 d’où P est vraie pour le premier terme.
Supposons que P est vraie jusqu’à l’ordre n et montrons qu’elle vraie à l’ordre n+1.
On a Vn+1 – Vn 1 d’où Vn+1 Vn+1 n+1.
D’où P est vraie pour tout nIN.
On a
n donc limV
lim n
n n
c/ Vn+1-Vn=
U 1 12
n
; nIN.
On a Vn n d’où Un² 4n d’où pour tout nIN*
n 4
1 U
1
2 n
et par suite 1+
U 1
2 n
1+
n 4
1 ;nIN*
En fin Vn+1-Vn 1+
n 4
1 ; nIN*.
3/ on a 1 Vn+1-Vn 1+
n 4
1 donc limWn 1
n
.