Soit la propriété au rang n : « u

(1)

Activités mentales

1

Soit la propriété au rang n : « u

n

= 8

ⁿ⁺¹

+ 3 » Quelle est la propriété au rang n + 1 ?

2

Soit la propriété au rang n : « u

n

= 2 » Quelle est la propriété au rang n + 1 ?

3

On considère l’algorithme ci-dessous : 1. Liste des variables utilisées

2. a,n : entiers 3. Traitement 4. Demander n

5. Donner à a la valeur -11+2n 6. Tant que (a>0) faire 7. Donner à a la valeur a+2 8. Fin Tant que

9. Sortie 10. Afﬁcher a

1) Que renvoie l’algorithme si l’utilisateur saisit n = 2 ? 2) Que se passe t-il si l’utilisateur saisit n = 8 ?

3) Pour quelles valeurs de n cet algorithme ne fournit-il pas de résultat ?

4

On considère la propriété : « u

n

0 » où (u

n

) est la suite déﬁnie par u

0

= −3 et u

n+1

= 2u

n

pour tout n 0.

1) Cette propriété est-elle initialisée au rang n = 0 ? 2) Cette propriété est-elle héréditaire ?

3) Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel n 0 ?

5

On considère la propriété « 5

ⁿ

− 2 » est un multiple de 3.

1) Cette propriété est-elle initialisée au rang n = 1 ? 2) Cette propriété est-elle vraie pour tout entier naturel

n 1 ?

3) Cette propriété est-elle héréditaire ?

6

Déterminer un encadrement de la suite (u

n

) déﬁnie pour tout entier naturel strictement positif n par u

n

= 5 + 3(−1)

ⁿ

.

7

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout entier naturel n par u

n

= 4n + 5

n + 2 = 4 − 3 n + 2 . 1) Donner une minoration « évidente » de (u

n

).

2) Montrer que la suite (u

n

) est majorée par 4.

8

Trouver l’expression d’une suite majorée par 5.

9

Déterminer à partir de quel rang tous les termes de la suite (u

n

) sont strictement plus grands que A avec :

1) u

n

= n

²

et A = 10 000 2) u

n

= 3n + 5 et A = 538 3) u

n

= 2 √

n et A = 20

4) u

n

= n

²

+ 10n − 1 et A = 23

10

Donner la limite de la suite géométrique de pre- mier terme u

0

= −12 et de raison q = 0,8.

11

Pour lesquelles de ces expressions la limite quand n tend vers +∞ est-elle une forme indéterminée ?

1) n

³

− n 2) n × 0,1

ⁿ

3) n

0,1

ⁿ

4) 2 1 n

5) n

²

n

12

Sans justiﬁcation, dire dans les différents cas sui- vants si la suite (u

n

) est convergente ou divergente et préciser éventuellement sa limite.

1) u

n

= 4(−5)

ⁿ

2) u

n

= 3 − √ 2

n + 6 n − 1

n √ n 3) u

n

= −(2n + 5)

²

4) u

n

= (n + 1)( √ n + 2) 5) u

n

= − 4

π

ⁿ

× n

⁵

6) u

n

= 7n

²

− n + 2 7) u

n

= n

n + 1

13

Dans les différents cas suivants, donner une inégalité ou un encadrement de la suite (u

n

) permettant de déterminer sa limite par les théorèmes de comparai- son ou des gendarmes.

1) u

n

= 7 √

n + (−1)

ⁿ

2) u

n

= cos(n) + sin(n

²

) + 3(−1)

ⁿ

3) u

n

= −n + sin(n) n

4) u

n

=

(n + 2)

²

+ 2

14

Dans chacune des conﬁgurations suivantes dire si la suite (u

n

) est convergente, divergente ou si l’on ne peut pas conclure.

1) (u

n

) est croissante et u

n

3 pour tout n ∈ N

^∗

; 2) (u

n

) est décroissante et bornée par −3 et 12 ; 3) (u

n

) est décroissante et n’admet pas de minorant ; 4) (u

n

) est croissante et u

n

1 024 pour tout entier

n 236 ;

5) u

n+1

u

n

2 pour tout n ∈ N

^∗

;

6) u

n

u

_n₊1

2 pour tout n ∈ N

^∗

.

(2)

Démontrer par récurrence

15

On considère la propriété « 3

ⁿ

1 + 2n » dont on souhaite démontrer qu’elle est vraie pour tout entier n 0.

1) Montrer que la propriété est initialisée.

2) Dans cette question, on décompose le travail à faire au brouillon pour justiﬁer l’hérédité.

a) Écrire l’hypothèse de récurrence.

b) Écrire la propriété au rang n + 1 (on simpliﬁera le membre de droite de l’inégalité).

c) Multiplier les deux membres de l’inégalité de la question 2a par 3 puis les simpliﬁer.

d) Justiﬁer que 3 + 6n 3 + 2n pour tout n 0.

3) Rédiger intégralement le raisonnement par récur- rence permettant de justiﬁer la propriété souhaitée.

À la question 2c, plutôt que de multiplier par 3, on aurait pu ajouter 2 aux deux membres de l’inégalité pour « passer » de 1 + 2n à 3 + 2n mais il aurait été plus difﬁcile de conclure ensuite.

16 MÉTHODE 1 p. 14

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 5 et u

n+¹

= 1

2 u

n

+ 1 pour tout n ∈ N.

Montrer par récurrence que 2 u

n

5 pour tout entier n 0.

17

On considère la suite (w

n

) déﬁnie par w

0

= 0 et w

n

= − 1

3 w

n−1

+ 4 pour tout n ∈ N

^∗

.

Montrer par récurrence que 1 w

n

4 pour tout entier n 1.

18

Pour tout entier naturel n 1, on déﬁnit n! qui se lit « n factorielle » ou « factorielle n » par :

1! = 1 ; 2! = 1 × 2 = 2 ; 3! = 1 × 2 × 3 = 6 ; etc.

1) Calculer 6!.

2) Montrer par récurrence que 3

ⁿ

n! pour tout n 7.

3) Montrer que n! n

ⁿ

pour tout n 1.

19

Montrer par récurrence que 4

ⁿ

− 1 est un multiple de 3 pour tout n 0.

20

On considère la propriété «

∑

n k=¹

k = n(n + 1)

2 »

dont on souhaite démontrer qu’elle est vraie pour tout n 1.

1) Recopier et compléter :

n+¹ k

∑

=¹

k =

n

k

∑

=¹

k

+ . . .

2) Démontrer la propriété souhaitée par récurrence.

21

Montrer par récurrence que pour tout entier n 1

on a

n

k

∑

=1

k

²

= n(n + 1)(2n + 1)

6 .

22

Somme des impairs

INFO

On a créé une feuille de tableur comme ci-dessous :

A B C

1 1 1

2 3 4

3 5 9

4 7 16

5 9 25

6 11 36

Dans la colonne A, on a écrit les premiers nombres im- pairs. En B1, on a écrit 1. Dans la cellule B2 est écrite la formule « =B1+A2 » qu’on a recopiée vers le bas.

1) Conjecturer une formule pour la somme des pre- miers nombres impairs : 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) pour n 1.

2) Démontrer cette égalité par récurrence.

23

On considère la suite arithmétique (u

n

) de pre- mier terme u

0

et de raison r.

1) Montrer que, pour tout n ∈ N, on a :

∑

n k=⁰

u

_k

= ( n + 1)(2u

0

+ nr)

2 .

2) En déduire la somme des 101 premiers termes de la suite arithmétique de premier terme u

0

= 8 et de raison 50.

24

On reprend la notation n! qui a été introduite à l’exercice 18 .

1) Calculer 4! puis 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3!.

2) Calculer 5! puis 1 × 1! + 2 × 2! + 3 × 3! + 4 × 4!.

3) Conjecturer une expression de

n−¹ k

∑

=¹

k.k! en fonction de n! pour n 2.

4) Démontrer cette égalité.

(3)

25

On considère la suite (v

n

) déﬁnie par v

0

= 1 et v

n

= 3v

n−1

− 2n + 6 pour tout entier n 1.

1) Calculer v

₁

, v

2

et v

3

.

2) La suite (v

n

) est-elle arithmétique ? géométrique ? 3) Montrer par récurrence que v

n

n pour tout n 0.

26

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 1 et u

_n₊1

= 1

4 u

n

+ 3 pour tout entier n 0.

On a donc u

n+1

= f (u

n

) avec f la fonction déﬁnie sur R par f (x) = 1

4 x + 3 dont la courbe représentative est donnée ci-dessous avec la droite d’équation y = x :

+0 +

2 +

4 +

+ 5 0

+ 1

+ 2

+ 3

+ 4

+ 5

u0 u₁

1) Reproduire la ﬁgure et y construire sans calcul les points d’abscisses u

2

et u

3

sur l’axe des abscisses.

2) a) Entre quels entiers consécutifs peut-on conjectu- rer que tous les termes de la suite sont compris à partir du rang 1 ?

b) Démontrer cette conjecture.

27 MÉTHODE 2 p. 15

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 0,8 et u

n+1

= (u

n

)

²

pour tout entier n 0.

On donne ci-dessous la courbe de la fonction carrée et la droite d’équation y = x :

−+0,2 +

0 +

0,2 + 0,4 +

0,6 + 0,8 +

1 +

0,2 + 0,4

+ 0,6

+ 0,8

+ 1

1) À l’aide du graphique ci-dessus, conjecturer les variations de la suite (u

n

).

2) Montrer par récurrence que 0 u

n+1

u

n

pour tout n 0.

Que peut-on en déduire sur les variations de (u

n

) ?

28

On considère la suite déﬁnie par u

0

= 2 et u

n+1

= 2u

n

− 1 pour tout entier n 0.

Montrer par récurrence que la suite (u

n

) est croissante.

29

On considère la suite (w

n

) déﬁnie par w

0

= 2 et w

n

= 1

5 w

_n₋1

+ 1

2 pour tout entier n 1.

Montrer que w

n

= 11 8

1 5

_n

+ 5

8 pour tout n 0.

30

Avec un tableur

INFO

On considère la suite (w

n

) déﬁnie par w

0

= 4 et par la relation de récurrence w

n

= 2w

n−1

− 3 pour tout n ∈ N

^∗

. On donne ci-dessous la feuille de tableur don- nant les premiers termes de la suite (w

n

).

A B C

1 n w(n)

2 0 4

3 1 5

4 2 7

5 3 11

6 4 19

7 5 35

1) Quelle formule a été écrite en B3 et recopiée vers le bas pour obtenir ces résultats ?

2) On considère la suite (r

n

) déﬁnie pour tout entier naturel n par r

n

= w

n

− 3.

Conjecturer une formule explicite pour (r

n

) puis pour (w

n

).

3) Démontrer cette conjecture.

31

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 0 et u

n+1

= u

n

+ 3n(n + 1) + 1 pour tout entier n 0.

1) À l’aide d’une calculatrice, conjecturer une expres- sion explicite de u

n

.

2) Démontrer cette égalité en utilisant une démonstra- tion par récurrence.

3) Soit (v

n

) la suite déﬁnie pour tout n ∈ N par v

n

= n

³

.

a) Montrer que v

0

= u

0

.

b) Montrer que la suite (v

n

) satisfait la relation de récurrence de la suite (u

n

).

Les suites (u

n

) et (v

n

) ont même premier terme et

satisfont la même relation de récurrence, cela im-

plique que (u

n

) et (v

n

) sont la même suite sans avoir

à utiliser une démonstration par récurrence.

(4)

Majorants, minorants et variations

32

Pour chacune des suites représentées graphique- ment ci-dessous, conjecturer un majorant, un minorant ou un encadrement.

1)

+0 + 1 +

2 + 3 +

4 + 5 +

6 + 7 +

8 + 9 + + 10

0 + 1

+ 2

+ 3

+ 4

+ 5

+ 6

+ 7

•

• •

2)

+0 + 1 +

2 + 3 +

4 + 5 +

6 + 7 +

8 + 9 + + 10

0 + 1

+ 2

+ 3

+ 4

+ 5

+ 6

+ 7

•

• • • • • • • • • •

3)

+1 + 2 +

3 + 4 +

5 + 6 +

7 + 8 +

9 + 10

+

−100 +

−90 +

−80 +

−70

−60+

−50+

−40+

−30+

−20+

−10+ + 0 10+ + 20

• • •

• •

•

4)

+0 + + 1 0

+ 1

u0 u2 u1

33

Donner un minorant et/ou un majorant évident de la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N par :

1) u

n

= 3 + 5n 5) u

n

= 1 − 2 n + 1 2) u

n

= 5 + 1

n + 1 6) u

n

= cos

n π 2 − 4 3) u

n

=

1 2

_n

− 3 7) u

n

= n + (−1)

ⁿ

4) u

n

= 4(−1)

ⁿ

+ 1

4

34 MÉTHODE 3 p. 17

1) Montrer que la suite de terme général :

a) n

²

− 4n + 6 est minorée et en donner un minorant ; b) −3n

²

+ 9n − 4 est majorée et en donner un majo-

rant ; c) n

²

+ cos(n)

n + 1 est minorée et en donner un minorant (indication : n

²

− 1 = (n − 1)(n + 1)) ;

d) 8n + 1

n + 5 est bornée par 0 et 8 ; e) −n

²

− 2n + 1

n

²

+ 3n + 2 est bornée par −1 et 1 2 ;

2) Montrer que la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 5 et u

n+1

= 2

u

n

− 1 est bornée par 2 et 5.

35

Montrer que les deux suites (u

n

) et (v

n

) déﬁnies ci-dessous sont à termes positifs.

1) u

0

= 3 et u

n+1

= 5

1 + u

n

pour tout n 0 ; 2) v

0

= 4 et v

_n₊1

= 2v

n

+ 4 pour tout n 0.

36

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 1 et u

n+¹

= −0, 1u

²n

+ 4 pour tout entier n 0.

1) En utilisant la calculatrice, donner des valeurs ap- prochées de u

1

, u

2

, u

3

et u

4

à 10

⁻²

près et conjecturer un encadrement de cette suite par deux entiers.

2) Démontrer cette conjecture.

37

En utilisant la méthode la plus adaptée, étudier les variations de la suite (u

n

) dans chacun des cas ci-dessous et en déduire si u

0

est un majorant ou un minorant de (u

n

) :

1) u

0

= 3 et u

_n₊1

= 3u

n

− 4 pour tout n 0 ; 2) u

0

= 0 et u

n+1

= u

n

− 5n

²

− 2 pour tout n 0 ; 3) u

n

= 2n

³

− 3n

²

− 120n + 3 pour tout n 0 ; 4) u

n

= 5

3

ⁿ⁺¹

pour tout n 0 ; 5) u

0

= 6 et u

n+1

= √

5u

n

pour tout n 0.

(5)

38

On considère la fonction f déﬁnie sur [0 ; +∞[ par f (x) = 5x + 1

x + 2 .

1) Étudier les variations de la fonction f . 2) Soit (u

n

) la suite déﬁnie par u

n

= 5n + 1

n + 2 pour tout n ∈ N.

a) Étudier le sens de variation de la suite (u

n

).

b) Montrer que la suite (u

n

) est majorée par 5.

3) Soit (v

n

) la suite déﬁnie par v

0

= 100 et v

_n₊1

= f (v

n

) = 5v

n

+ 1

v

n

+ 2 pour tout n ∈ N.

a) Montrer que 0 v

n+¹

v

n

pour tout n ∈ N.

b) En déduire le sens de variation de la suite (v

n

).

39

Samira et Jean-Louis doivent répondre à la ques- tion suivante :

Soit (u

n

) la suite déﬁnie par u

0

= 0,5 et u

n+1

= u

n

+ 1

u

n

+ 2 pour tout n ∈ N.

Montrer par récurrence que 0 u

n

u

n+¹

pour tout n ∈ N.

Samira prétend qu’à l’étape de l’hérédité, il serait in- téressant de connaître les variations de la fonction x → x + 1

x + 2 alors que Jean-Louis pense que c’est inutile.

Départager les deux amis.

40

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 4 et u

_n₊₁

= 5

6 − u

n

pour tout entier n 0.

On donne ci-dessous la courbe représentative de la fonction f déﬁnie sur [0 ; 5, 5] par f (x) = 5

6 − x et la droite d’équation y = x.

+0 + + 1 0

+ 1

1) Reproduire la ﬁgure et construire les points d’abs- cisses u

0

, u

1

, u

2

sur l’axe des abscisses.

2) Montrer que cette suite est bornée par 1 et 4.

3) Conjecturer le sens de variation de (u

n

) puis démon- trer cette conjecture.

Déﬁnitions des limites

41

Pour chacune des suites représentées ci-dessous, dire quelle semble être sa limite quand n tend vers +∞.

1)

+0 +

1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

+ 10 0

+ 1 2+

+ 3 4+

+ 5

•

• •

• • • • • • •

2)

+0 +

1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

10

+

−5

−4+ +

−3

−2+ +

−1 + 0

+ 1

•

• • • • • • • • •

3)

+0 +

1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

+ 10 0 10+ + 20

+ 30

+ 40

+ 50

+ 60

+ 70

+ 80

+ 90

+ 100

• • •

•

4)

+1 + 2 +

3 + 4 +

5 + 6 +

7 + 8 +

9 + 10 +

11 + 12

+

−50 +

−40 +

−30 +

−20 +

−10 + 0

+ 10

• • •

•

• • • •

•

• •

(6)

42

Pour chacune des suites représentées ci-dessous, dire si elle semble converger ou diverger.

1)

+1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

10 +

−2 +

−1 + 0

+ 1

+ 2•

•

2)

+0 +

1 +

2 +

3 +

4 +

5 +

6 +

7 +

8 +

9 +

10

−3+

−2+ +

−1 + 0

+ 1

+ 2

+ 3

•

• •

3)

⁺₁ ⁺₂ ⁺₃ ⁺₄ ⁺₅ ⁺₆ ⁺₇

+

−60

−50+

−40+ +

−30 +

−20

−10+ +

0 •

• •

•

43

Déterminer, s’il existe, le rang à partir duquel tous les termes de suite (u

n

) appartiennent à I avec : 1) u

n

= 0,5

ⁿ

et I =] − 0,001 ; 0,001[

2) u

n

= n

²

et I =]50 ; +∞[

3) u

n

= n

³

et I =]1 000 ; 2 000[

4) u

n

= −6n + 12 et I =] − ∞ ; −100[

5) u

n

= sin nπ

2 et I =]0 ; 2[

6) u

n

= √ 2

n et I =]1,9 ; 2,1[

7) u

n

= ( −1)

ⁿ

n

²

et I =] − 0,01 ; 0,01[

44

Limite d’une suite constante

ROC

Montrer qu’une suite constante converge.

45

Justiﬁer les limites suivantes avec la déﬁnition : 1) lim

n→+∞

2n + 3 = +∞ 4) lim

n→+∞

6 − n

²

= −∞

2) lim

n→+∞

−n + 6 = −∞ 5) lim

n→+∞

5 √

n = +∞

3) lim

n→+∞

n

²

= +∞ 6) lim

n→+∞

n

²

+ 3 n + 1 = +∞

46

Justiﬁer les limites suivantes avec la déﬁnition : 1) lim

n→+∞

1 n = 0 3) lim

n→+∞

10n + 5

−5n + 2 = −2 2) lim

n→+∞

6n + 2

2n + 1 = 3 4) lim

n→+∞

6 + √ 5 n = 6

Opérations sur les limites

47 MÉTHODE 4 p. 21

Déterminer les limites suivantes.

1) lim

n→+∞

11

ⁿ

8) lim

n→+∞

−n

³

√ n 2) lim

n→+∞

−2(1,1)

ⁿ

9) lim

n→+∞

3

ⁿ

+ 8 3) lim

n→+∞

− 1 2

_n

+ 8 10) lim

n→+∞

0,5

ⁿ

n 4) lim

n→+∞

3 × 0,99

ⁿ⁺¹

11) lim

n→+∞

−2

ⁿ

− 5n

²

5) lim

n→+∞

6n

⁸

+ 3n 12) lim

n→+∞

√ 5

²ⁿ⁻¹

6) lim

n→+∞

2n

⁶

+ 3n

⁴

− 5 13) lim

n→+∞

8 − π

ⁿ

4 + 3

n 7) lim

n→+∞

(6n

⁸

+ 3n)(2n

⁶

+ 3n

⁴

− 5)

48

Déterminer les limites suivantes : 1) lim

n→+∞

5 + 2 n − 8

n

²

+ 1

n

³

5) lim

n→+∞

√ 5 2 2

_n

2) lim

n→+∞

0,236

ⁿ

+ 5 10 − 5

n

¹²

6) lim

n→+∞

3 √ n + √ 5

n − 6 3) lim

n→+∞

2

ⁿ

0,5

ⁿ

7) lim

n→+∞

n

²

−0,5

ⁿ

4) lim

n→+∞

5(−0,4)

ⁿ

− 0,4 × 5

ⁿ 49 MÉTHODE 5 p. 21

Déterminer les limites suivantes : 1) lim

n→+∞

n

²

− 2n 2) lim

n→+∞

−3n

³

+ 5n

²

+ 6n − 1 3) lim

n→+∞

n

³

− 3n

⁴

+ 2n

²

− 5n + 2 4) lim

n→+∞

(n

²

− 7n + 2)(n

³

− 8n + 1) 5) lim

n→+∞

6n

²

+ 3n + 5

−2n

²

+ 5n − 1 6) lim

n→+∞

9n

⁷

− 5n

⁴

+ n n

²

+ 1 7) lim

n→+∞

6n

²

+ 4n − 2 8n

³

+ 7n

²

− 4n + 7

50

Déterminer les limites suivantes : 1) lim

n→+∞

(−3n

²

− 2n + 1)

²

4) lim

n→+∞

5 × 10

⁻ⁿ⁻¹

2) lim

n→+∞

0,2

⁻ⁿ

5) lim

n→+∞

√ 2

⁻²ⁿ⁺¹

n + 1 3) lim

n→+∞

(n

²

− 6n + 2)

³

6) lim

n→+∞

(−1)

ⁿ

n

²

(−0,2)

ⁿ

(7)

51

Déterminer les limites suivantes (on cherchera à factoriser par « ce qui l’emporte ») :

1) lim

n→+∞

n − √

n 4) lim

n→+∞

2

ⁿ

− 5

ⁿ

3

ⁿ

+ 2

ⁿ

2) lim

n→+∞

−2n

²

+ n √

n 5) lim

n→+∞

4

ⁿ

− 6

ⁿ

4

ⁿ

+ 6

ⁿ

3) lim

n→+∞

3

ⁿ

− 2

ⁿ

6) lim

n→+∞

0,5

ⁿ

− 0,2

ⁿ

2

ⁿ

+ 1

52

Limite d’une expression polynomiale P

ARTIE

A : Cas général

On considère une suite (u

n

) dont le terme général est une expression polynomiale de degré k c’est-à-dire que u

n

= ∑

^k

i=0

a

i

n

ⁱ

avec a

i

∈ R pour tout i et a

_k

= 0.

Par exemple, 2n

⁵

+ 3n

⁴

− 5n

²

+ 12 est de degré 5.

1) Pour k = 0, (u

n

) est de degré k 1 donc de la forme :

• a

1

n + a

0

avec a

1

= 0 pour k = 1 ;

• a

_k

n

^k

+ a

_k₋₁

n

^k⁻¹

+ . . . + a

0

avec a

_k

= 0 pour k 2.

a) Factoriser a

k

n

^k

+ . . . + a

0

par n

^k

puis simpliﬁer l’expression obtenue.

b) Déterminer lim

n→+∞

a

k

+ . . . + a

0

n

^k

.

2) En déduire que (u

n

) a la même limite que son terme de plus haut degré.

P

ARTIE

B : Applications

En utilisant le résultat démontré à la partie précédente, calculer sans factoriser :

1) lim

n→+∞

5n

⁴

+ 12n

³

− 3n

²

+ 5n + 15 2) lim

n→+∞

−πn

⁸

+ 10 000 000n

⁷

3) lim

n→+∞

3n

⁶

− 5n

⁵

+ 12n

⁴

− 7n

³

+ 8n

²

+ 5n + 15

−7

53

Limite d’une expression rationnelle

1) En s’inspirant de l’exercice précédent, montrer que la limite d’une suite dont le terme gé- néral est une expression rationnelle (quotient de polynômes) est la limite du quotient des termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur.

2) En déduire, sans factoriser : a) lim

n→+∞

−8n

³

+ 6n

²

− 3n + 178 2n

²

+ 3n + 6 b) lim

n→+∞

n

²⁰¹⁵

n

²⁰¹⁶

+ 1

54

Soit (v

n

) la suite géométrique de premier terme v

1

= 3 et de raison 0,5. On note S

n

= ∑

ⁿ

k=1

v

k

. Quelle est la limite de S

n

quand n tend vers +∞ ?

55

On considère deux suites (u

n

) et (v

n

) telles que

n→+

lim

∞

u

n

+ v

n

= 5 et lim

n→+∞

u

n

− v

n

= 1.

Montrer que (u

n

) et (v

n

) sont convergentes et détermi- ner leur limite respective.

56

Suites mêlées

On considère les suites mêlées (u

n

) et (v

n

) déﬁnies par u

0

= −10, v

0

= 20 et :

u

n+1

= 0,7u

n

+ 0,8v

n

v

n+¹

= 0,8u

n

+ 0,7v

n

pour tout n ∈ N.

1) a) Calculer u

1

, v

1

, u

2

et v

2

.

b) Les suites (u

n

) et (v

n

) sont-elles arithmétiques ? géométriques ?

2) a) Montrer que la suite (a

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N par a

n

= u

n

+ v

n

est géométrique.

b) En déduire le terme général de (a

n

) puis lim

n→+∞

a

n

. 3) a) Montrer que la suite (b

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N

par b

n

= u

n

− v

n

est géométrique.

b) En déduire le terme général de (b

n

) puis lim

n→+∞

b

n

. c) Les suites (u

n

) et (v

n

) sont-elles convergentes ? 4) Déduire des questions précédentes les termes géné-

raux de (u

n

) et (v

n

).

5) Déterminer lim

n→+∞

∑

n k=⁰

u

_k

.

57

D’après Bac (Polynésie - 2013)

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 1 2 et telle que pour tout entier naturel n,

u

n+1

= 3u

n

1 + 2u

n

. 1) a) Calculer u

1

et u

2

.

b) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n, on a 0 < u

n

.

2) On admet que pour tout entier naturel n, u

n

< 1.

Démontrer que la suite (u

n

) est croissante.

3) Soit (v

n

) la suite déﬁnie, pour tout entier naturel n, par v

n

= u

n

1 − u

n

.

a) Montrer que la suite (v

n

) est une suite géomé- trique de raison 3.

b) Exprimer pour tout entier naturel n, v

n

en fonction de n.

c) En déduire que, pour tout entier naturel n, on a : u

n

= 3

ⁿ

3

ⁿ

+ 1 .

d) Déterminer la limite de la suite (u

n

).

(8)

58

Condition sufﬁsante d’arrêt (1)

ALGO

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N par u

n

= n

³

+ n.

1) Quelle valeur le programme ci-dessous afﬁche-t-il si l’utilisateur rentre A = 10 000 ?

1. Liste des variables utilisées 2. n : entier

3. u,A : réels 4. Traitement 5. Demander A

6. Donner à n la valeur 0 7. Donner à u la valeur 0 8. Tant que (u<=A) faire 9. Donner à n la valeur n+1 10. Donner à u la valeur n

³

+n 11. Fin Tant que

12. Sortie

13. Afﬁcher la valeur de n

2) Justiﬁer que le programme s’arrête quelle que soit la valeur de A rentrée par l’utilisateur.

59

Condition sufﬁsante d’arrêt (2)

ALGO

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N par u

n

= 20 + 0,5

ⁿ

4 + 0,1

ⁿ

.

1) Concrètement, que fait le programme ci-dessous : 1. Liste des variables utilisées

2. n,k : entiers 3. u : réel 4. Traitement 5. Demander k

6. Donner à n la valeur 0 7. Donner à u la valeur 4,2

8. Tant que (u<=5-0,1

^k

ou u>=5+0,1

^k

) faire

9. Donner à n la valeur n+1

10. Donner à u la valeur (20+0,5

ⁿ

)/(4+0,1

ⁿ

) 11. Fin Tant que

12. Sortie

13. Afﬁcher la valeur de n

2) Justiﬁer que le programme s’arrête quelle que soit la valeur de k rentrée par l’utilisateur.

60

Écrire un algorithme

ALGO

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout entier natu- rel n par u

n

= n

⁴

+ 2n.

1) Déterminer le sens de variation de la suite (u

n

).

2) Écrire un algorithme qui afﬁche le rang du premier terme de la suite (u

n

) à partir duquel u

n

> 10

¹⁰

. 3) On note S

n

= ∑

ⁿ

k=⁰

u

_k

pour tout n 0.

Écrire un algorithme qui afﬁche le rang du premier terme tel que S

n

> 10

⁹

.

61

Trois opérations sur les limites

ROC

P

ARTIE

A : Une somme

On souhaite démontrer la propriété : Si lim

n→+∞

u

n

= +∞

et lim

n→+∞

v

n

= +∞ alors lim

n→+∞

u

n

+ v

n

= +∞.

Soit A un réel et A

= A 2 .

1) Montrer que u

n

> A

à partir d’un certain rang que l’on nommera n

1

et que v

n

> A

à partir d’un certain rang que l’on nommera n

2

.

2) a) À partir de quel rang a-t-on simultanément les inégalités u

n

> A

et v

n

> A

?

b) En déduire que u

n

+ v

n

> A à partir de ce rang.

3) Conclure.

P

ARTIE

B : Une différence

On souhaite démontrer la propriété : Si lim

n→+∞

u

n

= −∞

et lim

n→+∞

v

n

= +∞ alors lim

n→+∞

u

n

− v

n

= −∞.

Soit A un réel et A

= A 2 .

1) Justiﬁer qu’il existe un rang à partir duquel on a simultanément les inégalités u

n

< A

et v

n

> − A

. 2) En déduire que u

n

− v

n

< A à partir de ce rang.

3) Conclure.

P

ARTIE

C : Un produit

On souhaite démontrer la propriété : Si lim

n→+∞

u

n

= +∞

et lim

n→+∞

v

n

= +∞ alors lim

n→+∞

u

n

× v

n

= +∞.

1) Soit A un réel. Si A 0.

a) Justiﬁer qu’il existe un rang à partir duquel on a u

n

> 0 et v

n

> 0.

b) Comparer u

n

× v

n

et A à partir de ce rang.

2) Si A > 0, posons A

= √ A.

a) Justiﬁer qu’il existe un rang à partir duquel on a u

n

> A

et v

n

> A

.

b) Comparer u

n

× v

n

et A à partir de ce rang.

3) Conclure.

(9)

Limites et comparaison

62 MÉTHODE 6 p. 23

Déterminer les limites suivantes : 1) lim

n→+∞

cos(n) n

²

2) lim

n→+∞

n

³

+ 3 sin(n) 3) lim

n→+∞

−5n

⁴

+ 2n

⁴

sin √ n 4) lim

n→+∞

n

⁴

− n

³

cos

n

⁵

5) lim

n→+∞

(−1)

ⁿ

n 6) lim

n→+∞

n

²

+ sin

n

³

+ cos n

²

n 7) lim

n→+∞

(3 + (−1)

ⁿ

) 0,7

ⁿ 63

Ni cos ^{, ni} sin ^{, ni} (− ¹ )

ⁿ

1) a) Justiﬁer que √

n + 1 √

n pour tout n ∈ N.

b) En déduire lim

n→+∞

√ n + 1.

2) Déterminer les limites suivantes par comparaison après avoir trouvé une inégalité pertinente :

a) lim

n→+∞

(n + 1)

⁴

d) lim

n→+∞

n

³

+ 1 b) lim

n→+∞

√ 6n + 5 e) lim

n→+∞

−(n + 5)

³

c) lim

n→+∞

n

²

+ 2n + 3 f) lim

n→+∞

(n + 2)

ⁿ

Nous verrons dans le chapitre A2 comment calculer plus facilement certaines de ces limites à l’aide de la composition de limites.

64

Écart entre racines carrées

1) Montrer que pour tout réel k > 0, on a :

n→+

lim

∞

√ n + k = +∞.

2) a) Conjecturer lim

n→+∞

√ n + 1 − √ n.

b) Peut-on justiﬁer la conjecture précédente avec les propriétés sur les opérations sur limites ?

c) Montrer que √

n + 1 − √

n = √ 1 n + 1 + √

n . d) Conclure.

3) Déterminer lim

n→+∞

√ n + 1 000 000 − √ n.

65

On considère les suites (u

n

) et (v

n

) de terme gé- néral respectif 1

n et 1

n

_n

.

1) Justiﬁer qu’il existe un rang à partir duquel on a 0 < u

n

< 0,5.

2) En déduire lim

n→+∞

v

n

.

66

On considère la suite déﬁnie par u

1

= 8 et u

n+¹

= 1

2 u

n

+ 2n − 3 pour tout n ∈ N

^∗

. 1) Montrer que u

n

n pour tout n 4.

2) En déduire lim

n→+∞

u

n

.

67

On considère la suite déﬁnie par u

0

= 5 et u

_n₊₁

= u

n

− 4n + 1 pour tout n ∈ N.

1) Montrer que u

n

−n

²

pour tout n 5.

2) En déduire lim

n→+∞

u

n

.

68

On considère les suites (u

n

) et (S

n

) déﬁnies, pour tout n ∈ N, par u

n

= 3 + 10(−0,7)

ⁿ

et S

n

= ∑

ⁿ

k=⁰

u

_k

. 1) a) Justiﬁer que |(−0,7)

ⁿ

| < 0,1 pour tout n 7.

b) En déduire que la suite (u

n

) est minorée par 2 à partir du rang 7.

2) Montrer que, pour tout n 7, on a : S

n

∑

⁶

k=0

u

k

+ 2(n − 6).

3) En déduire lim

n→+∞

S

n

.

69

Dans cet exercice, on suppose admis les deux résultats suivants :

• lim

n→+∞

√ n + 1 = +∞ ;

• √

k + 1 − √

k = √ 1 k + 1 + √

k pour tout k ∈ N.

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N

^∗

par u

n

= ∑

ⁿ

k=1

√ 1

k c’est-à-dire u

n

= √ 1 1 + √ 1

2 + . . . + √ 1 n . 1) Montrer que 2

√

k + 1 − √

k √ 1

k pour tout en- tier k non nul.

2) En déduire que 2 √

n + 1 − 2 u

n

. 3) En déduire lim

n→+∞

u

n

.

70

On considère la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N

^∗

par u

n

= ∑

ⁿ

k=¹

√ 1 n

²

+ k . 1) Calculer u

1

, u

2

et u

3

.

2) Soit k un entier tel que 1 k n.

a) Montrer que n

n

²

+ k n + 1.

b) En déduire un encadrement de u

n

. 3) Déterminer lim

n→+∞

u

n

. 4) Déterminer de même lim

n→+∞

∑

n k=¹

1 n

²

+ k .

(10)

Convergence des suites monotones

71 MÉTHODE 7 p. 24

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 5 et u

n+1

= 1

10 (u

n

+ 1)

²

pour tout n ∈ N.

1) Montrer que 0 u

n+1

u

n

pour tout n ∈ N.

2) En déduire que la suite (u

n

) est convergente.

3) On admet que la limite de la suite vériﬁe

= 1

10 ( + 1)

²

et 5.

Déterminer cette limite.

72

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 3 et u

n+1

= f (u

n

) pour tout n ∈ N où f est la fonction déﬁ- nie sur R \

5 12

par f (x) = −60x + 68

−12x + 5 . 1) Étudier les variations de f .

2) Montrer que si x ∈ [2 ; 4] alors f (x) ∈ [2 ; 4].

3) En déduire que (u

n

) est bornée par 2 et 4.

4) a) Montrer que u

n+1

− u

n

= 12u

²_n

− 65u

n

+ 68

−12u

n

+ 5 . b) Dresser le tableau de signe de 12x

²

− 65x + 68

−12x + 5 . c) En déduire que (u

n

) est croissante.

5) Que peut-on en déduire sur le comportement de (u

n

) quand n tend vers +∞ ?

73

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 1 et u

n+¹

= 1

2 u

n

+ 4 pour tout n ∈ N.

1) a) Dans un repère orthonormé, tracer les droites d’équation y = x et y = 1

2 x + 4.

b) Sans calcul, placer les 5 premiers termes de la suite (u

n

) sur l’axe des abscisses.

c) Conjecturer une minoration, une majoration et les variations de (u

n

).

2) Démontrer ces conjectures.

3) En déduire que (u

n

) est convergente.

4) Déterminer lim

n→+∞

u

n

.

74

Question ouverte

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 1 et u

n+¹

= 3u

n

u

n

+ 1 pour tout n ∈ N.

Montrer que (u

n

) est convergente.

75

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 2 et u

n+1

= u

n

+ √

n pour tout n ∈ N.

1) Étudier les variations de (u

n

).

2) Dans cette question, on suppose que (u

n

) converge vers un réel .

a) Quelle serait alors la limite de u

n+1

− u

n

? b) En déduire une contradiction.

3) Quelle est la limite de la suite (u

n

) ?

76

On considère une variable aléatoire X

n

suivant la loi binomiale de paramètres n et 0,5 où n 3.

Soit (u

n

) la suite déﬁnie par u

n

= P(X

n

= 2) pour tout n entier vériﬁant n 3.

On rappelle que pour tout entier k entre 0 et n − 1, on a n + 1

k + 1

= n

k + 1

+ n

k

. 1) Montrer que u

n

=

n 2

0,5

ⁿ

pour tout n 3.

2) a) Exprimer u

n+¹

en fonction de n

1 , n

2 , 0,5 et n.

b) On admet que n

1 n

2 pour tout n 3.

Montrer que (u

n

) est décroissante.

3) En déduire que (u

n

) est une suite convergente.

77

Vers un nombre connu

ALGO

On considère la suite (u

n

) de terme général

∑

n k=¹

1 k

²

pour tout n ∈ N

^∗

c’est-à-dire u

n

= 1

1

²

+ 1

2

²

+ . . . + 1 n

²

. 1) Étudier les variations de la suite (u

n

).

2) a) Montrer que 1 k

²

1 k − 1 − 1

k pour tout k 2.

b) En déduire que u

n

2 − 1

n puis que (u

n

) est majorée.

3) Que peut-on en déduire pour la convergence éven- tuelle de la suite (u

n

) ?

4) a) Dans un logiciel ou sur la calculatrice, écrire un algorithme :

• demandant à l’utilisateur de saisir une valeur de n ;

• donnant en sortie la valeur u

n

et la valeur √ 6u

n

correspondantes.

b) Tester l’algorithme.

c) Conjecturer la limite de (u

n

).

(11)

78

D’après Bac (Asie - 2013)

ALGO

P

ARTIE

A

On considère la suite (w

n

) déﬁnie par : w

0

= 2 et, pour tout entier naturel n :

w

n+¹

= 1 + 3w

n

3 + w

n

.

On admet que tous les termes de cette suite sont déﬁnis et strictement positifs.

1) Démontrer par récurrence que, pour tout entier na- turel n, on a : w

n

> 1.

2) a) Établir que, pour tout entier naturel n, on a : w

n+¹

− w

n

= ( 1 − w

n

) (1 + w

n

)

3 + w

n

.

b) Déterminer le sens de variation de la suite (w

n

).

En déduire que la suite (w

n

) converge.

P

ARTIE

B

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par : u

0

= 2 et, pour tout entier naturel n :

u

n+¹

= 1 + 0, 5u

n

0, 5 + u

n

.

On admet que tous les termes de cette suite sont déﬁnis et strictement positifs.

1) On considère l’algorithme suivant : 1. Entrées :

2. Soit un entier naturel non nul n 3. Initialisation :

4. Affecter à u la valeur 2 5. Traitement et sortie

6. POUR i allant de 1 à n

7. Affecter à u la valeur 1 + 0,5u 0,5 + u 8. Afficher u

9. Fin POUR

Reproduire et compléter le tableau suivant, en fai- sant fonctionner cet algorithme pour n = 3.

Les valeurs de u seront arrondies au millième.

i 1 2 3

u

2) Pour n = 12, on a obtenu :

i 4 5 6 7 8

u 1,008 3 0,997 3 1,000 9 0,999 7 1,000 1

i 9 10 11 12

u 0,999 97 1,000 01 0,999 996 1,000 001 Conjecturer le comportement de la suite (u

n

) à l’inﬁni.

3) On considère la suite (v

n

) déﬁnie, pour tout entier naturel n, par : v

n

= u

n

− 1

u

n

+ 1 .

a) Démontrer que la suite (v

n

) est géométrique de raison − 1

3 .

b) Calculer v

0

puis écrire v

n

en fonction de n.

4) a) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : v

n

= 1.

b) Montrer que, pour tout entier naturel n, on a : u

n

= 1 + v

n

1 − v

n

.

c) Déterminer la limite de la suite (u

n

).

79

Suites mêlées

ALGO

On considère les suites mêlées (u

n

) et (v

n

) déﬁnies par u

0

= 24, ⎧ v

0

= 6 et :

⎨

⎩

u

n+1

= u

n

+ v

n

2 v

n+1

= √

u

n

× v

n

pour tout n ∈ N.

1) Calculer u

1

, v

1

, u

2

et v

2

.

2) Montrer que u

n

> 0 et v

n

> 0 pour tout n ∈ N.

3) a) Montrer que u

²_n

− v

²_n

= (u

n−1

− v

n−1

)

²

4 pour tout

n ∈ N

^∗

.

b) En déduire que u

n

− v

n

0 pour tout n ∈ N

^∗

. 4) En déduire que u

n+1

− u

n

0 pour tout n ∈ N

^∗

. 5) Montrer que la suite (u

n

) est convergente.

6) Exprimer v

n

en fonction de u

n+1

et u

n

et en déduire que (v

n

) converge vers la même limite que (u

n

).

7) Expliquer pourquoi l’algorithme ci-dessous, censé donner le premier rang tel que |u

n

− v

n

| < 0,1, est incorrect et le modiﬁer pour qu’il fonctionne.

1. Liste des variables utilisées 2. n : entier

3. u,v : réels 4. Traitement

5. Donner à u la valeur 24 6. Donner à v la valeur 6 7. Donner à n la valeur 0

8. Tant que (|u-v|>=0,1) faire 9. Donner à u la valeur (u+v)/2 10. Donner à v la valeur √

u*v 11. Donner à n la valeur n+1 12. Fin Tant que

13. Sortie

14. Afﬁcher la valeur de n

(12)

80

Suites adjacentes, d’après Bac

ALGO

P

ARTIE

A : Généralités sur les suites adjacentes On donne, ci-dessous, la déﬁnition de deux suites adjacentes.

Deux suites sont adjacentes lorsque :

• l’une est croissante ;

• l’autre est décroissante ;

• la différence des deux converge vers 0.

Démontrer à l’aide des deux propriétés ci-dessous que : Si (u

n

) et (v

n

) sont deux suites adjacentes, alors elles sont convergentes et elles ont la même limite.

• Propriété 1 : Si deux suites (u

n

) et (v

n

) sont adja- centes avec (u

n

) croissante et (v

n

) décroissante alors pour tout entier naturel n, v

n

u

n

.

• Propriété 2 : Toute suite croissante et majorée converge et toute suite décroissante et minorée converge.

P

ARTIE

B : Application

On considère (u

n

) et (v

n

) deux suites déﬁnies par u

0

= 0, v

0

= 12 et, pour tout n ∈ N :

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

u

n+1

= u

n

+ v

n

2 v

n+¹

= u

n

+ 2v

n

3 .

1) Démontrer que la suite (w

n

) déﬁnie par w

n

= v

n

− u

n

pour tout n 0 est une suite géomé- trique convergente et que ses termes sont strictement positifs.

2) a) Démontrer que (u

n

) et (v

n

) sont adjacentes.

b) Que peut-on en déduire sur la convergence éven- tuelle des suites (u

n

) et (v

n

) ?

3) a) Montrer que la suite (t

n

) déﬁnie pour tout n par t

n

= 2u

n

+ 3v

n

est constante.

b) En déduire la limite de (u

n

) et de (v

n

).

4) a) Écrire un algorithme :

• demandant un entier n à l’utilisateur ;

• donnant en sortie les valeurs de u

n

et v

n

. b) Modiﬁer l’algorithme de la question précédente

pour qu’il donne le premier rang à partir du- quel l’écart entre v

n

et est strictement inférieur à 0,000 01.

u n + 1 = au n + b

81

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

1

= 50 et u

_n₊1

= 0, 4u

n

+ 120 pour tout entier n 1.

1) La suite (u

n

) est-elle arithmétique ? géométrique ? 2) À l’aide d’une calculatrice, conjecturer la limite de la

suite (u

n

).

3) a) Montrer par récurrence que u

n

u

n+1

200 pour tout n 1.

b) La suite (u

n

) est-elle convergente ?

4) On considère la suite auxiliaire (v

n

) déﬁnie par v

n

= u

n

− 200 pour tout n 1.

a) Montrer que la suite (v

n

) est une suite géomé- trique dont on précisera la raison et le premier terme.

b) En déduire l’expression de v

n

puis celle de u

n

en fonction de n.

c) Déterminer la limite de la suite (u

n

).

5) Existe-il une valeur de n pour laquelle on a u

n

= 200 ?

6) Quelle est la valeur exacte de u

1

+ u

2

+ u

3

+ ... + u

20

?

82

Un algorithme pour sommer

ALGO

On considère la suite (u

n

) déﬁnie par u

0

= 5 et u

n+¹

= 5u

n

− 6 pour tout entier n 0.

1) Donner les valeurs de u

1

, u

2

et u

3

.

2) On considère la suite (w

n

) déﬁnie par w

n

= u

n

− 3 pour tout entier naturel n. 2

a) Montrer que la suite (w

n

) est une suite géomé- trique de raison 5.

b) En déduire une expression de u

n

en fonction de n.

3) Pour tout n 0, on note : S

n

= ∑

ⁿ

k=0

u

k

= u

0

+ u

1

+ ... + u

n

. a) Calculer S

4

.

b) Écrire un algorithme qui :

• demande une valeur n à l’utilisateur ;

• calcule S

n

et afﬁche le résultat.

c) Montrer que (S

n

) est croissante.

d) Exprimer S

n

en fonction de n.

e) Déterminer lim

n→+∞

S

n

.

f) Modiﬁer l’algorithme écrit précédemment aﬁn

qu’il afﬁche le rang à partir duquel S

n

devient

supérieur à 10

⁹

.

(13)

83

Pizza et escalade

P

ARTIE

A : Pour Youssef

Cette année, Youssef a décidé de se mettre au sport.

Pour cela, il s’inscrit dans un club où il pratique l’esca- lade une fois par semaine, ce qui lui fait perdre 0,25 % de sa masse par séance.

Par ailleurs, son club d’escalade ayant un partenariat avec la pizzeria « d’à côté », il s’y réunit avec ses amis après chaque entraînement et proﬁte de réductions sur les pizzas et les boissons. Cela a des conséquences : 200 g supplémentaires après chaque repas.

On note a

n

sa masse, en kg, après n semaines (donc après n séances et repas). Comme il pèse 70 kg au dé- part, on a a

0

= 70.

1) Calculer a

1

et a

2

. Arrondir au gramme près.

2) Expliquer pourquoi on a a

n+1

= 0,997 5a

n

+ 0,2.

3) Montrer par récurrence que a

n

= 80 − 10 × 0,997 5

ⁿ

. 4) a) Calculer a

n+1

− a

n

.

b) Que peut-on en déduire sur les variations de la suite (a

n

) ?

5) Calculer la limite de la suite (a

n

).

Que représente concrètement cette valeur ? P

ARTIE

B : Pour Alban

Alban est inscrit au même club d’escalade que Youssef et fréquente la même pizzeria (le tout dans les mêmes conditions pour sa masse) et pèse 85 kg au départ.

On note b

n

sa masse, en kg, après n semaines et on considère la suite (c

n

) déﬁnie par c

n

= b

n

− 80 pour tout n ∈ N.

1) Montrer que (c

n

) est géométrique et préciser son pre- mier terme et sa raison.

2) En déduire c

n

puis b

n

en fonction de n.

3) En déduire la limite de (b

n

).

P

ARTIE

C : Conclusion

1) Commenter les résultats des parties A et B.

2) Au bout de combien d’années Youssef et Alban auront-ils moins d’un kg d’écart ?

84

On considère les suites (u

n

) et (v

n

) déﬁnies par u

0

= v

0

> 0 et u

n+1

= au

n

+ b et v

n+1

= av

n

pour tout n ∈ N avec a > 1 et b > 0.

1) Comparer les suites (u

n

) et (v

n

).

2) Que peut-on en déduire sur la limite de (u

n

) ?

Problèmes

85

Projet de ﬁn d’étude

ALGO

Pour son projet de ﬁn d’étude d’école d’ingénieur, Kelly a inventé une machine permettant de remplir automa- tiquement le bol d’eau des animaux domestiques.

Le principe en est le suivant :

• au départ, le bol contient 500 ml d’eau ;

• quand il ne reste plus que 200 ml d’eau, la machine en réinjecte 200 ml puisés dans une réserve de 3 litres.

Ahmed, un ami de Kelly, a un chien qui boit toujours 7 ml d’eau quand il va se désaltérer.

On appelle e

n

la quantité d’eau dans le bol après que le chien s’est désaltéré n fois, on a donc e

0

= 500 (on considère que le remplissage du bol est immédiat).

1) Écrire un algorithme :

• demandant un entier n à l’utilisateur ;

• donnant en sortie la valeur e

n

.

2) Kelly, voudrait pouvoir faire des tests avec des vo- lumes supérieurs à 3 litres pour la réserve.

Modiﬁer cet algorithme pour qu’il demande le vo- lume de la réserve en ml puis afﬁche la plus petite valeur de n pour laquelle cette réserve est vide.

86

Un carré a pour côté 6.

On considère les étapes suivantes d’une construction où les sommets des triangles se situent au milieu des segments et les triangles tracés sont rectangles.

La construction peut alors se poursuivre à l’inﬁni.

Étape 1

Étape 2

Étape 3

Étape 4

On note u

n

l’aire du triangle ajouté à l’étape n et A

n

l’aire totale hachurée à l’étape n pour n 1.

1) Déterminer A

1

et A

2

.

2) Exprimer u

n+¹

en fonction de u

n

. 3) Déterminer lim

n→+∞

A

n

.

(14)

87

D’après Bac (Métropole - 2013)

Soit la suite numérique (u

n

) déﬁnie sur N par u

0

= 2 et pour tout entier naturel n, u

n+¹

= 2

3 u

n

+ 1 3 n + 1.

1) a) Calculer u

1

, u

2

, u

3

et u

4

. On pourra en donner des valeurs approchées à 10

⁻²

près.

b) Formuler une conjecture sur le sens de variation de cette suite.

2) a) Démontrer que pour tout entier naturel n, u

n

n + 3.

b) Démontrer que pour tout entier naturel n, u

n+1

− u

n

= 1

3 (n + 3 − u

n

).

c) En déduire une validation de la conjecture précé- dente.

3) On désigne par (v

n

) la suite déﬁnie sur N par v

n

= u

n

− n.

a) Démontrer que la suite (v

n

) est bien une suite géo- métrique de raison 2

3 .

b) En déduire que pour tout entier naturel n, u

n

= 2

2 3

_n

+ n.

c) Déterminer la limite de la suite (u

n

).

4) Pour tout entier naturel non nul n, on pose : S

n

= ∑

ⁿ

k=0

u

k

= u

0

+ u

1

+ . . . + u

n

et T

n

= S

n

²

. a) Exprimer S

n

en fonction de n.

b) Déterminer la limite de la suite (T

n

).

88

Question ouverte

En 2015, Miguel a planté 20 orchidées dans son jardin.

Grâce à la pollinisation, il sait que le nombre d’orchi- dées va doubler chaque année ; par ailleurs, il a décidé qu’il planterait lui-même 5 orchidées supplémentaires chaque année.

On considère la suite (p

n

) donnant le nombre d’orchi- dées dans le jardin de Miguel en 2015 + n, de sorte que l’on a p

0

= 20.

En considérant la suite (u

n

) déﬁnie pour tout n ∈ N par u

n

= p

n

+ 5, déterminer le terme général de la suite (p

n

).

89

D’après Bac (Antilles-Guyane - 2014)

ALGO

Soit la suite numérique (u

n

) déﬁnie sur l’ensemble des entiers naturels N par u

0

= 2 et u

n+1

= 1

5 u

n

+ 3 × 0, 5

ⁿ

pour tout entier naturel n.

1) a) Recopier et, à l’aide d’une calculatrice, compléter le tableau des valeurs de la suite (u

n

) approchées à 10

⁻²

près :

n 0 1 2 3 4

u

n

n 5 6 7 8

u

n

b) D’après ce tableau, énoncer une conjecture sur le sens de variation de la suite (u

n

).

2) a) Démontrer, par récurrence, que pour tout entier naturel n non nul on a

u

n

15 4 × 0, 5

ⁿ

.

b) En déduire que, pour tout entier naturel n non nul, u

n+1

− u

n

0. c) Démontrer que la suite (u

n

) est convergente.

3) On se propose, dans cette question de déterminer la limite de la suite (u

n

).

Soit (v

n

) la suite déﬁnie sur N par v

n

= u

n

− 10 × 0, 5

ⁿ

.

a) Démontrer que la suite (v

n

) est bien une suite géométrique de raison 1

5 . On précisera le premier terme de la suite (v

n

).

b) En déduire, que pour tout entier naturel n, u

n

= −8 ×

1 5

_n

+ 10 × 0, 5

ⁿ

. c) Déterminer la limite de la suite (u

n

)

4) Recopier et compléter les lignes (4), (5) et (6) de l’algorithme suivant, aﬁn qu’il afﬁche la plus petite valeur de n telle que u

n

0,01.

1. Entrée : n et u sont des nombres 2. Initialisation : n prend la valeur 0

3. u prend la valeur 2

4. Traitement : Tant que ...

5. n prend la valeur ...

6. u prend la valeur ...

7. Fin Tant que

8. Sortie : Afficher n

(15)

90

D’après Bac (Métropole - 2014)

ALGO

On administre à un patient un médicament par injec- tion intraveineuse. La quantité de médicament dans le sang diminue en fonction du temps.

Le but de l’exercice est d’étudier pour différentes hypo- thèses, l’évolution de cette quantité minute par minute.

1) On effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de mé- dicament. On estime que 20 % du médicament est éli- miné par minute.

Pour tout entier naturel n, on note u

n

la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang au bout de n minutes. Ainsi u

0

= 10.

a) Quelle est la nature de la suite (u

n

) ?

b) Pour tout entier naturel n, donner l’expression de u

n

en fonction de n.

c) Au bout de combien de temps la quantité de mé- dicament restant dans le sang devient-elle infé- rieure à 1 % de la quantité initiale ?

Justiﬁer la réponse.

2) Une machine effectue à l’instant 0 une injection de 10 ml de médicament. On estime que 20 % du médi- cament est éliminé par minute.

Lorsque la quantité de médicament tombe en- dessous de 5 ml, la machine réinjecte 4 ml de produit.

Au bout de 15 minutes, on arrête la machine.

Pour tout entier naturel n, on note v

n

la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang à la mi- nute n.

L’algorithme suivant donne la quantité restante de médicament minute par minute.

1. Variables :

2. n est un entier naturel 3. v est un nombre réel 4. Initialisation :

5. Affecter à v la valeur 10 6. Traitement :

7. Pour n allant de 1 à 15

8. Affecter à v la valeur 0,8 × v 9. Si v < 5 alors affecter à 1 v la valeur v + 4

10. Afficher v 11. Fin de boucle

a) Calculer les éléments manquants du tableau ci-dessous donnant, arrondie à 10

⁻²

et pour n supérieur ou égal à 0, la quantité restante de médicament minute par minute obtenue avec l’algorithme.

n 0 1 2 3 4 5

v

n

10 8 6,4

n 6 7 8 9 10

v

n

8,15 6,52 5,21 8,17

n 11 12 13 14 15

v

n

6,54 5,23 8,18 6,55 5,24

b) Au bout de 15 minutes, quelle quantité totale de médicament a été injectée dans l’organisme ? c) On souhaite programmer la machine aﬁn qu’elle

injecte 2 ml de produit lorsque la quantité de mé- dicament dans le sang est inférieure ou égale à 6 ml et qu’elle s’arrête au bout de 30 minutes.

Recopier l’algorithme précédent en le modiﬁant pour qu’il afﬁche la quantité de médicament, en ml, restant dans le sang minute par minute avec ce nouveau protocole.

3) On programme la machine de façon que :

• à l’instant 0, elle injecte 10 ml de médicament ;

• toutes les minutes, elle injecte 1 ml de médica- ment.

On estime que 20 % du médicament présent dans le sang est éliminé par minute.

Pour tout entier naturel n, on note w

n