DM

I. Un employé perçoit au 1er janvier 2015 un salaire mensuel de 1 200€. Chaque mois, ce salaire est augmenté de 0,8% par rapport au mois précédent.

On note un le salaire mensuel de lemployé n mois après janvier 2015.

1. Quelle est la nature de la suite

( )

^un ? Exprimer un en fonction de n.

2. Quel sera le salaire mensuel de l employé au mois de mai 2016 ?

3. Montrer que le salaire total de cet employé du 1er janvier 2015 au 31 décembre 2016 est 150000

(

^1,00824 1 . Donner une valeur approchée au centime près de ce salaire.

)

II. On lance verticalement une balle de tennis à 1 mètre du sol. Une mesure montre que cette balle rebondit une première fois à une hauteur de 55 cm. A chaque rebond, on admet que la balle rebondit à 55%

de la hauteur précédente.

On note hn la hauteur en cm du n^{i è m e}rebond. Ainsi h0 100 et h1 55.

1. Quelle est la nature de la suite

( )

^hn ? Exprimer hn en fonction de n.

2. Déterminer la limite de la suite

( )

^hn . Interpréter.

3. On estime que lorsque la hauteur est inférieure à 0,5 cm, la balle ne rebondit plus.

a. A la calculatrice, déterminer le nombre de rebonds effectués par la balle.

b. Ecrire un algorithme permettant de retrouver le résultat précédent.

III. Dans cet exercice, vous pouvez utiliser les résultats d une question même si vous ne les avez pas démontrés.

On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

On injecte au départ 10 mL de médicament puis toutes les minutes, 20% du médicament présent dans le sang est éliminé et on injecte 1 mL de médicament.

Pour tout entier naturel n, on note wn la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. Ainsi w0 10.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, wn 1 0,8wn 1.

Pour tout entier naturel n, on pose zn wn 5.

2. Démontrer que

( )

^zn est une suite géométrique

3. Calculer z₀ et exprimer z_n en fonction de n puis justifier que pour tout n de , w_n 5 0,8ⁿ 5.

4. Déterminer la quantité de médicament présente dans le sang du patient au bout de 15 minutes.

5. Déterminer lim

n

zn puis lim

n

wn. Quelle interprétation peut-on en donner ?

6. A la calculatrice, déterminer au bout de combien de temps la quantité de médicament sera inférieure à 5,004 mL.

DEVOIR A LA MAISON N°3. TES1

Un magazine, uniquement vendu par abonnement, comptait 8000 abonnés en 2005.

Le directeur désirant alors avoir une estimation du nombre d’abonnés pour les années suivantes, avait commandé une étude de marché qui avait prévu 1800 nouveaux abonnés chaque année mais 15 % des abonnés qui ne renouvelleraient pas leur abonnement d’une année sur l’autre.

Partie A

On note un le nombre, en milliers, d’abonnés l’année 2005 n.

 1. Justifier que : u0 8.

 2. Calculer u₁ et u2.

 3. Exprimer u_{n 1} en fonction de u_n.

 4. Parmi les 3 algorithmes proposés ci-dessous, seul l’algorithme 2 permet de déterminer les prévisions du nombre d’abonnés pour les années 2005 à 2005 n.

Algorithme 1 Algorithme 2 Algorithme 3

Variables n, i entiers naturels,

u nombre réel Début algorithme

Lire n u prend la valeur 8 Pour i allant de 1 à n

Afficher u

u prend la valeur 0,85*u +1,8 Fin Pour

Fin algorithme

Variables n, i entiers naturels,

u nombre réel Début algorithme

Lire n u prend la valeur 8 Pour i allant de 1 à n

Afficher u

u prend la valeur 0,85*u +1,8 Fin Pour

Afficher u Fin algorithme

Variables n, i entiers naturels,

u nombre réel Début algorithme

Lire n u prend la valeur 8 Pour i allant de 1 à n u prend la valeur 0,85*u +1,8

Fin Pour Afficher u

Fin algorithme Expliquer pourquoi les algorithmes 1 et 3 ne donneront pas le résultat attendu.

 5. En utilisant la calculatrice et en précisant la méthode utilisée, déterminer les prévisions pour 2010.

Partie B

On considère la suite

( )

^vn définie par vn un 12 pour tout entier naturel n.

 1. Montrer que la suite

( )

^vn est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

 2. Étudier la limite de la suite

( )

^vn . En déduire la limite de la suite

( )

^un . Interpréter ce résultat.

Partie C

Suite à la concurrence de la « presse numérique », ce magazine voit ses résultats chuter à partir de 2010, le taux de renouvellement n’étant plus que de 80 % avec seulement 1500 nouveaux abonnés chaque année.

Sachant que l’édition de ce magazine n’est rentable que si le nombre d’abonnés est supérieur à 8000, déterminer l’année où s’arrêtera sa parution en indiquant la méthode utilisée.

IV.