() () () Posez des questions si vous êtes bloqués !!! DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé.

(1)

DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé.

Pour le Pensez à utiliser les cours et exercices du document "A retenir de l année de 1

^ère

" !!!

Certaines questions sont plus difficiles. Posez des questions si vous êtes bloqués !!!

I. On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

On injecte au départ 10 mL de médicament puis toutes les minutes, 20% du médicament présent dans le sang sont éliminés et on injecte 1 mL de médicament.

Pour tout entier naturel n, on note w

n

la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. Ainsi w

0

10. 1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, w

_n ₁

0,8w

_n

1. 2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^w

ⁿ

^.

3. On considère l algorithme suivant : Tant que T 5,004

n ← n 1 T ← 0,8T 1 Fin Tant que

a. Au début de l algorithme, n 0 et T 10. A la calculatrice, déterminer la valeur de n obtenue à la fin de l algorithme.

b. Interpréter la valeur trouvée dans le cadre de l exercice.

Pour tout entier naturel n, on pose z

n

w

n

5. 4. Démontrer que ( ) ^z

ⁿ

est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

5. Exprimer z

n

en fonction de n puis justifier que pour tout n de , w

n

5 0,8

ⁿ

5. 6. Déterminer la quantité de médicament présente dans le sang du patient au bout de 15 minutes.

7. Montrer que, pour tout n de , w

n 1

w

n

0,8

ⁿ

et en déduire le sens de variation de la suite

( ) ^w

ⁿ

^.

II. Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : 1. f définie sur par f (x ) 5x

³

6x ² 3 x 4

2. g définie sur \{ 2} par g( x) 5x 4 x 2 3. h définie sur par h (x ) 3e

^2x ⁸

5 4. k définie sur par k (x ) x

e

^x

(2)

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé

I. On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

On injecte au départ 10 mL de médicament puis toutes les minutes, 20% du médicament présent dans le sang sont éliminés et on injecte 1 mL de médicament.

Pour tout entier naturel n, on note w

n

la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. Ainsi w

0

10. 1. Diminuer de 20% revient à multiplier par 1 20

100 0,8. De plus, on injecte toutes les minutes 1 ml de médicament. Alors w

n 1

0,8w

n

1. 2. On construit le tableau de valeurs de la suite à la calculatrice. La suite semble être décroissante et converger vers 5.

3. a. L algorithme détermine la première valeur de n telle que w

n

5,004. Dans le tableau de valeurs de la question 2, on voit que cette valeur est n 32.

b. La quantité de médicament est inférieure à 5,004 mL au bout de 32 minutes.

Pour tout entier naturel n, on pose z

n

w

n

5. 4. Soit n un entier naturel.

z

n 1

w

n 1

5 z

n 1

0,8 w

n

1 5 z

n 1

0,8 w

n

4 z

n 1

0,8

 

  w

n

4 0,8 z

n 1

0,8 ( ^w

ⁿ

⁵ )

z

n 1

0,8 z

n

La suite ( ) ^z

ⁿ

est donc une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme z

0

w

0

5 10 5 5.

5. ( ) ^z

n

est géométrique donc pour tout n de , z

_n

z

₀

q

ⁿ

, c'est-à-dire z

_n

5 0,8

ⁿ

. De plus, z

_n

w

_n

5 donc w

_n

z

_n

5 5 0,8

ⁿ

5. 6. w

15

5 0,8

¹⁵

5 5,176. Au bout de 15 minutes, le sang du patient contiendra environ 5,176 ml de médicament.

7. Soit n un entier naturel.

w

n 1

w

n

( ^{5 0,8}

ⁿ ¹

⁵ ) ( ^{5 0,8}

ⁿ

⁵ ) ^{5 0,8}

ⁿ ¹

^{5 5 0,8}

ⁿ

⁵

w

n 1

w

n

5 0,8

ⁿ ¹

5 0,8

ⁿ

5 0,8

ⁿ

(0,8 1) 5 0,8

ⁿ

( 0,2) 1 0,8

ⁿ

0,8

ⁿ

0,8

ⁿ

0 pour tout n de donc la suite ( ) ^w

ⁿ

est décroissante.

II. Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : 1. f définie sur par f (x ) 5x

³

6x ² 3 x 4

f est dérivable sur . Pour tout x de , f (x ) 15x² 12 x 3

On cherche le signe de f (x) : 324 0 donc le trinôme a deux racines qui sont x

1

12 324

2 15 0,2 et x

2

12 324

2 15 1 et il est du signe de a 15 sauf entre ces racines.

On peut construire le tableau suivant :

x − 0,2 1 signe de f ′(x )

variations de f

3,68 8

f ( 0,2) 5 ( 0,2)

³

6 ( 0,2)

²

3 ( 0,2) 4 3,68

f (1) 5 1

³

6 1

²

3 1 4 8

(3)

2. g définie sur \{ 2} par g( x) 5x 4 x 2

g est dérivable sur \{ 2}. Pour tout x  2, g (x) 5(x 2) 1(5 x 4) (x 2)

²

5 x 10 5 x 4 ( x 2)

²

14 (x 2)

²

On peut construire le tableau suivant :

x − 2 14

(x 2)² signe de g ′( x) variations de g

3. h définie sur par h (x ) 3e

^2x ⁸

5 h est dérivable sur . Pour tout x de , h ( x) 3 ( 2)e

^2x ⁸

6 e

^2x ⁸

. On peut construire le tableau suivant :

x − 6

e

^2x ⁸

signe de h ′(x ) variations de h

4. k définie sur par k (x ) x e

^x

k est dérivable sur . Pour tout x de , k ( x) 1 e

^x

xe

^x

( ) e

^x ²

e

^x(1 ^x)

( ) e

^x ²

1 x e

^x

. On peut construire le tableau suivant :

x − 1 1 x

e

^x

signe de k ′( x) variations de k

1 e f (1) 1

e

^x

() () () Posez des questions si vous êtes bloqués !!! DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé.

DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé.

Pour le Pensez à utiliser les cours et exercices du document "A retenir de l année de 1

" !!!

Certaines questions sont plus difficiles. Posez des questions si vous êtes bloqués !!!

I. On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

On injecte au départ 10 mL de médicament puis toutes les minutes, 20% du médicament présent dans le sang sont éliminés et on injecte 1 mL de médicament.

Pour tout entier naturel n, on note w

la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. Ainsi w

10.

1. Expliquer pourquoi pour tout entier naturel n, w

0,8w

1.

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) w

.

3. On considère l algorithme suivant : Tant que T 5,004

n ← n 1 T ← 0,8T 1 Fin Tant que

a. Au début de l algorithme, n 0 et T 10. A la calculatrice, déterminer la valeur de n obtenue à la fin de l algorithme.

b. Interpréter la valeur trouvée dans le cadre de l exercice.

Pour tout entier naturel n, on pose z

w

5.

4. Démontrer que ( ) z

est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.

5. Exprimer z

en fonction de n puis justifier que pour tout n de , w

5 0,8

5.

6. Déterminer la quantité de médicament présente dans le sang du patient au bout de 15 minutes.

7. Montrer que, pour tout n de , w

w

0,8

et en déduire le sens de variation de la suite

( ) w

.

II. Construire le tableau de variations des fonctions suivantes : 1. f définie sur par f (x ) 5x

6x ² 3 x 4

2. g définie sur \{ 2} par g( x) 5x 4 x 2 3. h définie sur par h (x ) 3e

5 4. k définie sur par k (x ) x

e

CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1. Term Spé

I. On administre à un patient un médicament par injection intraveineuse.

On injecte au départ 10 mL de médicament puis toutes les minutes, 20% du médicament présent dans le sang sont éliminés et on injecte 1 mL de médicament.

Pour tout entier naturel n, on note w

la quantité de médicament, en mL, présente dans le sang du patient au bout de n minutes. Ainsi w

10.

1. Diminuer de 20% revient à multiplier par 1 20

100 0,8. De plus, on injecte toutes les minutes 1 ml de médicament. Alors w

0,8w

1.

2. On construit le tableau de valeurs de la suite à la calculatrice. La suite semble être décroissante et converger vers 5.

3.

a. L algorithme détermine la première valeur de n telle que w

5,004. Dans le tableau de valeurs de la question 2, on voit que cette valeur est n 32.

b. La quantité de médicament est inférieure à 5,004 mL au bout de 32 minutes.

Pour tout entier naturel n, on pose z

w

5.

4. Soit n un entier naturel.

z

w

5 z

0,8 w

1 5 z

0,8 w

4 z

0,8

 

  w

4 0,8 z

0,8 ( w

5 )

z

0,8 z

La suite ( ) z

est donc une suite géométrique de raison 0,8 et de premier terme z

w

5 10 5 5.

5. ( ) z

est géométrique donc pour tout n de , z

2. A la calculatrice, conjecturer le sens de variation et la limite de la suite ( ) ^w

^.

4. Démontrer que ( ) ^z

( ) ^w

^.

0,8 ( ^w

⁵ )

La suite ( ) ^z

5. ( ) ^z

( ^{5 0,8}

⁵ ) ( ^{5 0,8}

⁵ ) ^{5 0,8}

^{5 5 0,8}

⁵

0 pour tout n de donc la suite ( ) ^w