DEVOIR A LA MAISON N°1 TS spé
Pour le
I. Montrer que pour tous entiers n et m, 15m−3n² est divisible par 3.
II. n est un entier naturel.
1. Montrer que n² 5n 4 et n² 3n 2 sont divisibles par n 1.
2. Déterminer les valeurs de n pour lesquelles 3n² 5n 19 est divisible par n 1.
3. En déduire que, quel que soit l entier naturel n, 3n² 15n 19 n est pas divisible par n² 3n 2.
III. n désigne un entier naturel. En raisonnant par disjonction des cas, montrer que n(n + 2)(n + 4) est divisible par 3.
IV. Existe-t-il un (des) entier(s) relatif(s) x tel que 65 + x² soit le carré d’un nombre.
CORRECTION DU DEVOIR A LA MAISON N°1 TS spé
I. Soient m et n deux entiers.
15m 3n² 3(5m n²) avec 5m n² entier.
Ainsi, 15m−3n² est divisible par 3.
II. n est un entier naturel.
1. n² 5n 4 (n 1)(n 4) (On calcule , on cherche les racines qui sont 1 et 4 et on ut ilis e l a factoris ation du t rinôme).
n 4 est un entier donc n² 5n 4 est divisible par n 1.
De même n² 3n 2 (n 1)(n 2) avec n 2 entier donc n² 3n 2 est divisible par n 1.
2. 3n² 5n 19 = 3(n² 5n 4) 7.
n 1 divise n² 5n 4 donc
si n 1 divise 3n² 15n 19, alors n 1 divise 7.
Les diviseurs de 7 sont 7 ; 1 ; 1 et 7.
Ainsi, si n 1 divise n² 5n 4, on peut dire que n+1 ϵ { 1; 1 ; 7 ; 7} et donc que n ϵ { 2 ; 0 ; 8 ; 6}
Vérification :
Pour n = 0 : n 1 1 et n² 5n 4 4. 1 divise 4 donc n 0 convient.
Pour n = 6 : n 1 7 et n² 5n 4 70. 7 divise 70 donc n 6 convient.
On ne teste ni n = 2, ni n = 8 car n est un entier naturel donc positif ou nul.
Les entiers naturels n tels que 3n² 5n 19 est divisible par n 1 sont 0 et 6.
3. Soit n un entier naturel tel que n² 3n 2 divise 3n² 15n 19.
On a montré que n 1 divise n² 3n 2. Alors, n 1 divise 3n² 15n 19.
D après la question précédente, les seules valeurs possibles pour n sont n = 0 ou n = 6.
Pour n = 0 : 3n² 15n 19 = 19 et n² 3n 2 = 2. Or 2 ne divise pas 19.
Pour n = 6 : 3n² 15n 19 = 217 et n² 3n 2 = 56. Or 56 ne divise pas 217.
Conclusion : quel que soit l entier naturel n, 3n² 15n 19 n est pas divisible par n² 3n 2.
III. n désigne un entier naturel.
Tout entier naturel s écrit sous la forme 3k ou 3k 1 ou 3k 2 où k est un entier naturel.
Si n 3k avec k entier naturel :
n(n 2)(n 4) 3k(3k 2)(3k 4) 3[k(3k 2)(3k 4)] avec k(3k 2)(3k 4) entier donc n(n 2)(n 4) est divisible par 3.
Si n 3k + 1 avec k entier naturel :
n(n 2)(n 4) 3k 1 )(3k 3)(3k 5) (3k 1)3(k 1)(3k 5) = 3[(3k 1)(k 1)(3k 5)] avec (3k 1)(k 1)(3k 5) entier donc n(n 2)(n 4) est divisible par 3.
Si n 3k + 2 avec k entier naturel :
n(n 2)(n 4) 3k 2 )(3k 4)(3k 6) (3k 2)(3k 4)3 (k 2) = 3[(3k 2)(3k 4)(k 2)] avec (3k 2)(3k 4)(k 2) entier donc n(n 2)(n 4) est divisible par 3.
Ainsi, pour tout entier naturel n, n(n + 2)(n + 4) est divisible par 3.
IV. Soient n et x deux entiers tels que 65 + x² = n².
Alors 65 = n² − x² = (n − x)(n + x).
Les diviseurs de 65 sont 1 ; 65 ; − 1 ; − 65 ; 5 ; 5 ; 13 et 13 On a alors :
n−x=1
n+x=65 ou n−x=65
n+x=1 ou n−x=-1
n+x=-65 ou n−x=-65
n+x=−1 ou n x 13 n x 5 ou
n x 5 n x 13 ou
n x
n x −13 ou
n x −13 n x −5 Ainsi
n=33 x=32 ou
n=33
x=−32 ou n=−33
x=−32 ou n=−33 x=32 ou
n 9 x 4 ou
n 9 x 4 ou
n 9 x 4 ou
n 9 x 4
Les entiers x qui peuvent convenir sont dont 4 ; 4 ; 32 et − 32.
On vérifie : 65 + 32² = 65 + (− 32)² = 1089 = 33². 32 et − 32 conviennent donc.
65 + 4² = 65 + ( 4)² = 81 = 9² : 4 et 4 conviennent donc.
Les nombres relatifs x tels que 65 + x² soit le carré d’un nombre sont 4 ; 4 ; 32 et − 32.
