DEVOIR A LA MAISON N°1. TS .

DEVOIR A LA MAISON N°1. TS .

Pour le

I. Le nombre de livres d une bibliothèque, en milliers d’unités, est modélisé par la suite

( )

désigne le nombre de livres, en centaines, au cours de l’année (2010 + n). En 2016, la bibliothèque possède 3 000 livres. Chaque année 7 % des livres sont mis au rebut et 400 livres sont achetés.

1. Justifier que la situation peut être modélisée par u₀ 30 et pour tout entier naturel n par la relation : un 1 0,93un 4.

2. On considère la suite

( )

400 7 .

a. Montrer que la suite

( )

( )

b. Déterminer l’expression de vn en fonction de n puis démontrer que pour tout entier naturel n : un

400 190 0,93ⁿ 7

3. En utilisant le cours de 1ère, calculer v0 v1 v2 … v15 puis u0 u1 u2 … u15

4. Déterminer le nombre de livres de la bibliothèque en 2030. On donnera une valeur approchée arrondie à l’unité.

5. Voici un algorithme : Affecter à N la valeur 0

Affecter à U la valeur 30 Tant que U⩽40

Affecter à U la valeur 0,93 U 4 Affecter à n la valeur n 1

Fin Tant que

Affecter à n la valeur n 2016 Afficher n

a. Compléter le tableau suivant en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. Arrondir au centième. Quel affichage obtient-t-on ?

U 30

N 0

Condition

b. Interpréter le nombre obtenu.

II. Construire le tableau de variation des fonctions suivantes : 1. f définie par f(x) 12x³ 5x² 2x 1.

2. g définie par g(x) 2x 3 x 5 . 3. h définie par h(x) x² 5

3x 6.

CORRECTION DUDEVOIR A LA MAISON N°1. TS

I.

1. L année 2016 correspond à n 0 ; 3000 3 centaines donc u0 30.

Diminuer de 7% revient à multiplier par 1 7

100 0,93 et 400 4 centaines donc pour tout entier naturel n : u_{n 1} 0,93u_n 4.

2. On considère la suite

( )

vn 1 un 1

400

7 0,93un 4 400

7 0,93un

372

7 0,93



 un 400

7 0,93vn

Alors la suite

( )

7 30 400

7

190 7 .

b. Pour tout n de : vn v0 0,93ⁿ 190

7 0,93ⁿ. D autre part, vn un

400

7 donc un vn

400 7

400 7

190

7 0,93ⁿ 400 190 0,93ⁿ 7

3. v0 v1 … v15 v0

1 0,93¹⁶ 1 0,93

190 7

1 0,93¹⁶ 0,07

190

(

)

0,49

v0 v1 … v15

19000

49

(

)

et u0 u1 … u15 v0

400 7 v1

400

7 … v15

400

7

(

)

7 u0 u1 … u15

19000

49

(

)

7 4. 2030 est l année correspondant à n 14. u14

400 190 0,93¹⁴

7 47,32.

En 2030, il y aura 4 732 livres.

5.

a. Compléter le tableau suivant en utilisant le nombre de colonnes nécessaires. Arrondir au centième. Quel affichage obtient-t-on ?

U 30 31,9 33,67 35,31 36,84 38,26 39,58 40,81

N 0 1 2 3 4 5 6 7 2023

Condition 30 40 31,9 40 33,67 40 35,31 40 36,84 40 38,26 40 39,58 40 40,81>40

Affichage : 2023

b. Le nombre de livres dépassera 4 000 pour la première fois en 2023.

II.

1. f définie par f(x) 12x³ 5x² 2x 1.

f est définie et dérivable sur .

Pour tout réel x, on a f (x) 36x² 10x 2.

188 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 36 0. On peut construire le tableau suivant :

x +

signe de f (x) +

variations de f

2. g définie par g(x) 2x 3 x 5 .

x 5 0  x 5 donc g est définie et dérivable sur \{ 5}.

Pour tout x de \{ 5}, on a f (x) 2(x 5) (2x 3)1 (x 5)²

13

(x 5)². On peut construire le tableau suivant :

x 5 + 13 + +

(x 5)² + + signe de f (x) + + variations de f

3. h définie par h(x) x² 5 3x 6.

3x 6 0  x 2 donc g est définie et dérivable sur \{2}.

Pour tout x de \{2}, on a h (x) 2x(3x 6) (x² 5)3 (3x 6)²

3x² 12x 15 (3x 6)^{2 )}

Signe de 3x² 12x 15 : 36 0 donc le trinôme est toujours du signe de a 3 0. On peut construire le tableau suivant :

x 2 + 3x² 12x 15 + +

(3x 6)² + + signe de f (x) + + variations de f