1. La suite ( ) u

CORRECTION DES EXERCICES DU COURS DU LUNDI 23 MARS.

Exercice 128 page 166.

A faire après avoir étudié la fiche "méthode pour l étude d une suite arithmético géométrique"

1. La suite ( ) ^u

ⁿ

est définie par récurrence.

Pour passer d un terme au suivant, on multiplie par 0,8 et on ajoute 70.

u

1

0,8u

0

18 0,8 65 18 70 et u

2

0,8u

1

18 0,8 70 18 74 2. u

0

65 ; u

1

70 et u

2

74.

u

1

u

0

70 65 5 et u

2

u

1

74 70 4 donc la suite ( ) ^u

ⁿ

n est pas arithmétique.

Pour passer de u

0

àu

1

, on ajoute 5 alors que pour passer de u

1

à u

2

, on ajoute 4.

u

1

u

₀

70 65

14

13 1,077 et u

2

u

₁

74 70

37

35 1,057 donc la suite ( ) ^u

ⁿ

n est pas géométrique.

Pour passer de u

₀

àu

₁

, on multiplie par 14

13 alors que pour passer de u

₁

à u

₂

, on multiplie par 37 35 . La suite ( ) ^u

ⁿ

n est donc ni arithmétique ni géométrique.

Pour passer d un terme au suivant, on multiplie (par 0,8) puis on ajoute (18) : on dit que la suite ( ) ^u

ⁿ

est arithmético-géométrique.

3. Pour tout n de , v

_n

u

_n

90.

a. Soit n .

Méthode importante, à savoir refaire (voir aussi pour vous entraîner l'exercice 129)

Les explications en bleu après chaque calcul correspondent à la méthode qui est toujours la même et qui est détaillée dans la fiche "méthode pour l étude d une suite arithmético-géométrique" !!!

On a v

n

u

n

90 donc v

n 1

u

n 1

90 : on remplace les n par des (n 1) dans la déf de v

n

Dans l énoncé, on a u

_{n 1}

0,8u

_n

18 donc on peut remplacer u

_{n 1}

par ( ^0,8u

n

18 : )

donc v

n 1

0,8u

n

18) 90

donc v

n 1

0,8u

n

18 90 on enlève les parenthèses donc v

n 1

0,8u

n

72 on calcule 18 90

donc v

n 1

0,8

 

  u

n

72

0,8 on met en facteur le nombre qui multiplie u

n

(ici 0,8) donc v

n 1

0,8 ( ^u

ⁿ

90 on calcule ou on simplifie la fraction )

Si on ne s est pas trompé, on retrouve dans la parenthèse l expression de v

_n

donnée dans l énoncé. Ici, on a bien v

n

u

n

90 (voir énoncé)

donc v

n 1

0,8v

n

on remplace u

n

90 par v

n

b. Pour tout n de , on a v

n 1

0,8v

n

donc la suite ( ) ^v

ⁿ

est géométrique de raison 0,8 et de premier terme v

0

u

0

90 65 90 25.

c. Soit n .

( ) ^v

ⁿ

étant géométrique, on a v

n

v

0

q

ⁿ

, c'est-à-dire v

n

25 0,8

ⁿ

.

Attention : on n a pas de formule dans le cours pour u

n

car la suite ( ) ^u

ⁿ

n est ni arithmétique ni géométrique. La formule u

0

q

ⁿ

ne s applique pas car la suite n est pas géométrique !!!

D après l énoncé, v

n

u

n

90

Alors u

n

v

n

90 on ajoute 90 dans chaque membre.

On vient de montrer que v

n

25 0,8

ⁿ

donc on remplace dans u

n

v

n

90 : u

n

25 0,8

ⁿ

90.

d. On a maintenant une formule explicite pour u

n

donc on remplace n par 10 pour calculer u

10

: u

10

25 0,8

¹⁰

90 87,32.

4. Cette question est plus difficile, ce n est pas grave si vous n y arrivez pas.

Pour étudier le sens de variation d une suite, on peut étudier le signe de u

n 1

u

n

a. Ici, u

_{n 1}

u

_n

( ^{25 0,8}

^{n 1}

⁹⁰ ) ( ^{25 0,8}

ⁿ

⁹⁰ )

u

n 1

u

n

25 0,8

^{n 1}

90 25 0,8

ⁿ

90 u

n 1

u

n

25 0,8

^{n 1}

25 0,8

ⁿ

Ensuite, on factorise :

u

n 1

u

n

25 0,8

^{n 1}

25 0,8

ⁿ

= 25 0,8 0,8 … 0,8 0,8+25 0,8 0,8 … 0,8 (il y a (n 1) fois le 0,8 dans le premier terme et n fois le 0,8 dans le deuxième terme donc on peut en mettre n en facteur. On peut aussi mettre 25 en facteur :

u

n 1

u

n

25 0,8

ⁿ

( 0,8 1)

u

_{n 1}

u

_n

25 0,8

ⁿ

(0,2) 0 car 25 0, 0,8

ⁿ

0 et 0,2 0 La suite ( ) ^u

ⁿ

est donc croissante.

b. A la calculatrice, on fait afficher les termes de la suite en utilisant soit la forme explicite

( ^u

ⁿ

^{25 0,8}

ⁿ

90 soit la définition de l énoncé de départ par récurrence. )

Il semble que la suite ( ) ^u

ⁿ

ait pour limite 90.

Exercice 115 page 164.

1.

a. u

1

5 u

0

2u

0

5

5 1 2 1 5

5 7 ; u

2

5 ⁵ 7 2 ⁵

7 5 5 9 et u

3

5 11 b. u

1

u

0

5

7 1 2

7 et u

2

u

1

10

63 . u

2

u

1

 u

1

u

0

donc la suite ( ) ^u

ⁿ

n est pas arithmétique.

c. 1 u

0

1

1 1 5

5 ; 1 u

1

1 5 7

7 5 ; 1

u

2

1 5 9

9 5 ; 1

u

3

1 5 11

11

5 . Il semble que la suite

 

  1 u

n

soit arithmétique de raion 2

5 (pour passer d un terme au suivant, on ajoute 2 5 ).

2. Pour n , v

n

1 u

_n

.

a. Pour montrer qu une suite est arithmétique, on calcule v

n 1

v

n

et on montre que c est une constante (il n y a plus de n dans le résultat)

Soit n v

n 1

v

n

1 u

n 1

1 u

n

1 5 u

n

2 u

n

5 1 u

n

2u

_n

5 5u

n

1 u

n

pour diviser par une fraction, on multiplie par

l inverse.

v

n 1

v

n

2u

_n

5 5u

n

5 5u

n

on met au même dénominateur

v

_{n 1}

v

_n

2u

n

5 u

n

2

5 on simplifie par u

_n

Pour tout n de , v

_{n 1}

v

_n

2

5 qui ne dépend pas de donc ( ) ^v

ⁿ

est arithmétique de raison 2 5 et de 1

^er

terme v

0

1 u

0

1 1 1.

b. ( ) ^v

ⁿ

est arithmétique donc, pour tout n de , v

n

v

0

nr 1 2 5 n . Soit n . v

n

1 u

n

donc u

n

1 v

n

. D autre part, v

n

1 2 5 n . Alors u

n

1 1 ²

5 n

On peut s arrêt er l à ou si mpli fi er plus u

n

: u

n

1 5 5

2 n 5

1 5 2 n

5

5

5 2 n