la suite d´ efinie par u n = n 1

UNIVERSIT ´ E NICE SOPHIA ANTIPOLIS Ann´ ee 2017/2018

Licence Informatique L1 Analyse

Feuille d’exercices 2

Exercice 1. Soit (u n ) _n∈N

la suite d´ efinie par u n = _n ¹

.

a) ` A partir de quel entier N 1 la condition u n ∈] − 0.1, 0.1[ est v´ erifi´ ee ? Combien de termes u n

ne v´ erifient pas la condition ?

b) ` A partir de quel entier N 2 la condition u n ∈] − 10 ⁻⁶ , 10 ⁻⁶ [ est v´ erifi´ ee ? c) Montrer que la suite (u _n ) _{n∈ N}

converge vers l = 0.

Indication : vous pouvez admettre que la suite v _n = ¹ _n converge vers l = 0 (preuve en cours).

d) On d´ efinit une suite (v _n ) _{n∈ N}

par v _n = 2 − u _n . Quelle est la limite de la suite (v _n ) _{n∈ N} pour n → ∞ ? D´ emontrer ce r´ esultat ` a l’aide de la d´ efinition.

Exercice 2. Montrer que la suite (u n ) _{n∈ N}

d´ efinie par u n = P n k=1

1

k est divergente.

Exercice 3. Montrer que la suite (F n ) _n∈N de Fibonacci d´ efinie par

F 0 = 0, F 1 = 1, F n+1 = F n + F _n−1 ∀ n ∈ N ^∗ est divergente.

Exercice 4. Montrer que si une suite (u n ) n∈ N converge vers 1, tous ses termes sont positifs ` a partir d’un certain rang.

Exercice 5.

a) Soit q 6= −1 on nombre r´ eel et soit (u _n ) _{n∈ N} la suite d´ efinie par u _n = q ⁿ . D´ ecider si u _n est convergente (on fera une distinction de cas selon q = 1, |q| > 1 et |q| < 1).

b) Soit −1 < q < 1 un nombre r´ eel et soit (u _n ) _{n∈ N} la suite d´ efinie par u _n = P n

k=0 q ^k . Montrer que u _n converge vers _1−q ¹ .

Exercice 6. Montrer que toute suite convergente (u n ) _n∈N est born´ ee. Pour le montrer, on proposera un minorant et un majorant de cette suite.

Exercice 7. Pour les suites (u n ) _n∈N suivantes, d´ ecider si elles convergent et calculer, si possible, la limite pour n → ∞.

a) u n = √

n + 1 − √ n − 1 ; b) u n = _n ⁿ

+1

;

1

Exercice 8. Soit (u n ) n∈ N la suite d´ efinie par : u 0 = 1, u n+1 = √

u n + 2 ∀ n ∈ N .

a) Montrer que pour tout n ∈ N on a 0 < u _n < 2.

b) Montrer que (u _n ) _{n∈ N} est monotone croissante.

c) En deduire que la suite (u _n ) _{n∈ N} convergente. Montrer que sa limite est 2.

d) Montrer que toute suite monotone (croissante ou decroissante) et born´ ee est convergente.

Exercice 9. Soit x ∈ R tel que x ² = 2. Monter que x n’est pas un nombre rationnel.

Exercice 10. Soit u 0 := 1 et pour tout n ∈ N on d´ efinit

u n+1 := u n

2 + 1 u _n .

a) Calculer u 1 et u 2 . b) Montrer que u n ≥ √

2 pour tout n ∈ N ^∗ . c) Montrer que u n+1 ≤ u n pour tout n ∈ N ^∗ .

d) D´ eduire que la suite (u n ) _n∈N converge et notons l := lim _n→∞ u n sa limite.

e) Montrer que l n’est pas un nombre rationnel.

Exercice 11. Soient (u n ) n∈ N , (v n ) n∈ N , (w n ) n∈ N trois suites r´ eelles telles que : u n ≤ v n ≤ w n ∀n ∈ N

et (u _n ) _{n∈ N} et (w _n ) _{n∈ N} convergent vers une mˆ eme limite ` pour n → ∞.

a) Montrer que (v _n ) _{n∈ N} converge aussi vers ` pour n → +∞.

b) Utiliser ce th` eoreme (connu comme celui des gendarmes) pour montrer que les suites (v _n ) _{n∈ N}

suivantes sont convergentes :

i) v n = P n k=1

1 n+

; ii) v n = ^cos _n ⁿ .

Exercice 12. Soit (u n ) n∈ N une suite qui est croissante, mais qui n’est pas born´ ee. Montrer que cette suite tend vers +∞.

Exercice 13. Soit (u _n ) _{n∈ N}

la suite d´ efinie par u _n = ⁿ _n!

. Montrer que cette suite tend vers +∞.

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