Montrer que la suite ( ) u

PanaMaths

[1 - 2]

Octobre 2006

Montrer que la suite ( ) u

n

définie par :

2 2

3

n

5 7 n

u = n

+ est bornée.

Analyse

La suite

( )

un est telle que : ∀ ∈n `^,un = f n

( )

. On est naturellement conduit à étudier la fonction f sur \⁺.

Résolution

Etudions sur \⁺ la fonction f définie par :

2 2

: 3

5 7

f x x

x + 6

La fonction f est dérivable en tant que fonction rationnelle et on a, pour tout réel positif :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2 2

2 2

6 5 7 3 10 42

'

5 7 5 7

x x x x x

f x

x x

× + − ×

= =

+ +

Pour x≠0, on a donc : ^{f '}

( )

^{x >0}. On en déduit que la fonction f est strictement croissante sur \⁺.

Il vient alors : ^{∀ ∈x \+, f x}

( )

^{≥ f}

( )

^{0 . Or, f}

( )

^{0 =0}. On a donc : ^{∀ ∈x \+,f x}

( )

^≥0.

On en déduit immédiatement : ∀ ∈n `,u_n ≥0. La suite

( )

un est donc minorée par 0.

On a par ailleurs :

2 2

2 2

3 3 3

lim lim

5 7 5 5

x x

x x

x x

→+∞ = →+∞ =

+ Pour tout x réel positif, il vient alors :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

2

2 2 2

3 5 7 5 3

3 3 3 21

5 5 5 7 5 5 7 5 5 7

x x

f x x

x x x

+ − ×

− = − = =

+ + +

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[2 - 2]

Octobre 2006

Cette différence est strictement positive (rapport de deux nombres strictement positifs).

On a donc : ^,

( )

³

x ⁺ f x 5

∀ ∈\ < et on en déduit immédiatement que la suite

( )

un est majorée.

En tant que suite minorée et majorée, la suite

( )

un est bornée.

Résultat final

La suite

( )

un est minorée par 0 et majorée par 3 5^. En tant que suite minorée et majorée, la suite

( )

un est bornée.