LES DEUX TYPES DE DÉFINITION DES SUITES.
Rappel : est l ensemble des entiers naturels (positifs) : 0 ; 1 ; 2 ; 3 ...
Si n est un entier naturel, l entier qui le suit est ... et celui qui le précède est ...
DÉFINITION EXPLICITE :
Une suite ( ) u
npeut être définie de façon explicite, par une formule qui effectue le lien entre l’indice n et le terme d’indice n (c’est à dire u
n).
On donne une formule permettant de trouver un terme à partir de son indice.
On peut calculer directement n’importe quel terme Exemple : soit v la suite par v
n1
n 2 pour n .
Les premiers termes de la suite sont : v
0... ; v
1...
Le terme de rang 53 de cette suite est : ...
Le 12 ème terme de cette suite est ...
DÉFINITION PAR RÉCURRENCE :
Avec ce mode de définition, chaque terme peut être trouvé à partir du terme qui le précède mais on ne peut pas calculer directement n importe quel terme de la suite.
On donne le premier terme de la suite et une formule permettant de trouver un terme à partir du précédent.
Pour calculer un terme, il faut avoir calculé tous les précédents.
Exemple : On considère la suite u définie par u
02 et pour tout entier n, u
n 12 u
n1 u
1...
u
2... u
3...
On trouve ainsi, de proche en proche, tous les termes de la suite
Lorsqu une suite est définie directement, on peut calculer n importe quel terme de la suite.
Lorsqu elle est définie par récurrence, il faut d abord calculer tous les termes précédents.
REPRÉSENTATION GRAPHIQUE
On peut représenter graphiquement une suite par un nuage de points de coordonnées ( n u
n) .
En abscisses, on place les valeurs de ... et en ordonnées, celles de ...
On reprend l exemple de la suite ( ) u
ndéfinie par u
nn ² pour tout n de . On peut compléter le tableau :
n u
nOn ne relie pas les points car on représente une suite donc u
1,2n existe pas par
exemple.
SUITES ARITHMÉTIQUES
I. Définition
Une suite est arithmétique si il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n, ...
Le réel r est alors appelé ... de la suite.
Autrement dit, on passe d un terme au suivant en ajoutant toujours le même nombre r (positif ou négatif) Exemples :
Soit ( ) v
nla suite arithmétique de raison r 7 et de premier terme v 0 10
La suite des entiers naturels est une suite arithmétique de raison ... et de 1
erterme ...
La suite des entiers pairs est une suite arithmétique de raison ... et de 1
erterme ...
II. Sens de variation.
Théorème (admis) : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison r . Si r 0, la suite est ...
Si r 0, la suite est ...
III. Expression directe.
Théorème (admis) :
Si ( ) u
nest une suite arithmétique de raison r et de premier terme u
0, alors pour tout entier naturel n : ...
Si ( ) u
nest une suite arithmétique de raison r et de premier terme u
1, alors pour tout entier naturel n : ...
Exemple 1 :
Soit ( ) u
nla suite arithmétique de raison 2 et de premier terme u
03.
1. Exprimer u
nen fonction de n.
2. Calculer u
25.
Exemple 2 :
Une station balnéaire étudie l évolution de sa population au cours d une saison. La première semaine, la population est de 5000 résidents et cette population augmente de 700 personnes par semaine. On note h
nle nombre de résidents la n
ièmesemaine.
1. Donner h
1.
2. Exprimer h
n 1en fonction de h
n. Quelle est la nature de la suite ( ) h
n? 3. Exprimer h
nen fonction de n.
4. Déterminer la population la 12
ièmesemaine.
IV. Représentation graphique.
Théorème (admis) : La représentation graphique d une suite arithmétique est formée de points ...
Si les termes d une grandeur peuvent être modélisés par une suite arithmétique, on parle de croissance ou décroissance ...
V. Moyenne arithmétique.
Définition : La ... de deux nombres a et b est le nombre a b 2 .
Théorème (admis) : Trois nombres a, b et c sont des termes consécutifs d une suite arithmétique si et seulement si la moyenne arithmétique du plus petit et du plus grand est égale à celui du milieu.
Exemple 1 :
Les nombres 23 ; 35 et 47 sont-ils les termes consécutifs d une suite arithmétique ?
Exemple 2 :
La suite ( ) v
nest telle que v
231 3 ; v
242 5 et v
262
3 . La suite ( ) v
npeut-elle être arithmétique ?
VI. Somme des termes.
1. Le symbole . se lit "somme".
Pour calculer
i 1 5
2i 3, on remplace i par 1, puis par 2,…. puis par 5 dans l expression 2 i 3 et on ajoute les nombres trouvés.
On obtient donc
2. Somme des termes d une suite arithmétique.
On reprend l activité "Programme d entraînement" et on cherche à connaître la distance totale parcourue par
Arthur.
Théorème (admis) : ( ) u
nest une suite arithmétique.
Somme de termes consécutifs ...
En particulier :
i 0 n
u
i...
Exemple 1.
Soit ( ) u
nla suite arithmétique de raison 3 et de 1
erterme u
05. Calculer S u
0u
1… u
15.
Exemple 2.
Une entreprise augmente chaque mois sa production de 300 objets. Le premier mois, elle produit 2500 objets.
On note u
nle nombre d objets produits le n
ièmemois.
1. Donner le premier terme de la suite ( ) u
n.
2. Exprimer u
n 1en fonction de u
n. Quelle est la nature de la suite ( ) u
n? 3. Exprimer u
nen fonction de n.
4. Déterminer le nombre d objets produits le 20
ièmemois.
5. Déterminer le nombre total d objets produits durant les 20 premiers mois.
SUITES GÉOMÉTRIQUES
I. Définition
Une suite est géométrique si il existe un réel r tel que, pour tout entier naturel n , ...
Le réel q est alors appelé ... de la suite.
Autrement dit, on passe d un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre q (positif ou négatif)
Exemples :
Soit ( ) v
nla suite géométrique de raison q 3 et de premier terme v 0 2
Soit ( ) z
nla suite géométrique de raison q 0,5 et de premier terme v 0 16
II. Sens de variation.
Théorème (admis) : Soit (u n ) une suite arithmétique de raison q 0 et de 1
erterme u
00.
Si q 1, la suite est ...
Si 0 q 1, la suite est ...
III. Expression directe.
Théorème (admis) :
Si ( ) u
nest une suite géométrique de raison q et de premier terme u
0, alors pour tout entier naturel n : ...
Si ( ) u
nest une suite arithmétique de raison r et de premier terme u
1, alors pour tout entier naturel n : ...
Exemple 1 :
Soit ( ) u
nla suite géométrique de raison 2 et de premier terme u
03.
1. Exprimer u
nen fonction de n.
2. Calculer u
20.
Exemple 2 :
Une station balnéaire étudie l évolution de sa population au cours d une saison. La première semaine, la population est de 5000 résidents et cette population augmente de 8% par semaine. On note h
nle nombre de résidents la n
ièmesemaine.
1. Donner h
1.
2. Exprimer h
n 1en fonction de h
n. Quelle est la nature de la suite ( ) h
n? 3. Exprimer h
nen fonction de n.
4. Déterminer la population la 12
ièmesemaine.
IV. Représentation graphique.
Si les termes d une grandeur peuvent être modélisés par une suite géométrique, on parle de croissance ou décroissance ...
Exemples de représentation graphique :
q 1 : croissance exponentielle 0 q 1 : décroissance exponentielle V. Moyenne géométrique.
Définition : La ... de deux nombres a et b est le nombre ab .
Théorème (admis) : Trois nombres a, b et c sont des termes consécutifs d une suite géométrique si et seulement si la moyenne géométrique du plus petit et du plus grand est égale à celui du milieu.
Exemple 1 :
Les nombres 12 ; 24 et 58 sont-ils les termes consécutifs d une suite géométrique ?
Exemple 2 :
La suite ( ) v
nest telle que v
23132 ; v
24264 et v
26528. La suite ( ) v
npeut-elle être géométrique ?
VI. Somme des termes.
On reprend l activité "Programme d entraînement" et on cherche à connaître la distance totale parcourue par
Boris.
Théorème (admis) : ( ) u
nest une suite géométrique.
Somme de termes consécutifs = ...
En particulier :
i 0 n
