Résumé sur les suites arithmétiques et géométriques.
.
Suite arithmétique Suite géométrique
Formule de récur- rence.
‚un`1“un`r(oùrest la raison)
Siun`1´un“ralorspunqest arithmétiques de raisonr.
‚vn`1“qˆvn (oùqest la raison) Si vn`1
vn
“qalorspvnqest géométrique de raisonq.
Variations. ‚Sirą0 la suitepunqest croissante.
‚Siră0 la suitepunqest décroissante. 1ier terme ą0 1ier terme ă0
Si 0ăqă1 unŒ0 unÕ0 Si 1“q un constante un constante
Si 1ăq unÕ `8 unŒ ´8
limite. ‚Sirą0 alors lim
nÑ`8un“ `8.
‚Siră0 alors limn
Ñ`8un“ ´8.
‚Si ´1ăqă1 alors lim
nÑ`8qn “0.
‚Si q“1 alors limn
Ñ`81n“1.
‚Si 1ăqalors lim
nÑ`8qn “ `8.
Expression en fonc- tion de n.
‚un“nr`u0.
‚un“ pn´kqr`uk.
‚vn “qnv0.
‚vn “qn´kvk. Somme de termes. ‚
n
ř
k“1
k“1`2`...`n“npn`1q 2
‚uk`...`un “1ierterme`dernier terme
2 ˆnb de termes
‚
n
ř
k“0
qk“1`q`...`qn“ 1´qn`1
1´q “ qn`1´1 q´1
‚vk`...`vn“1iertermeˆ1´qnb de termes
1´q
1 Somme des termes d’une suite arithmétique.
Si l’on considère la suite arithmétique punq de première terme u0 “ 57
5 et de raison r“´1
2 .
L’expression de un en fonction de n est : un“u0`nr“ 57 5 ´1
2n(fonction affine).
Pour déterminer la somme des 20 premiers termes :
20
ÿ
k“0
uk “u0`u1`...`u20“
57 5 `75
2 ˆ21 loooooomoooooon
deuxième formule
“57 5 ´1
2 ˆ0`57 5 ´1
2 ˆ1`57 5 ´1
2 ˆ2`...`57 5 ´1
2ˆ20
“57 5 `57
5 `57
5 `...`57 looooooooooooooomooooooooooooooon5
21 fois
´1
2 ˆ0´1
2 ˆ1´1
2 ˆ2´...´1 2 ˆ20
“21ˆ57 5 ´1
2 ˆ p0`1`2`...`20q “21ˆ57 5 ´1
2 ˆ21ˆ20 2
“1072 5
2 Somme des termes d’une suite géométrique.
Soit la suite géométriquepvnqde première termev0“57
5 et de raisonq“´1 2 . L’expression devn en fonction de n est :vn “v0ˆqn“57
5 ˆ ˆ´1
2
˙n
Pour déterminer la somme des 20 premiers termes :
20
ÿ
k“0
uk“v0`v1`...`v20
“ 57 5 ˆ
ˆ´1 2
˙0
`57 5 ˆ
ˆ´1 2
˙1
`57 5 ˆ
ˆ´1 2
˙2
`...`57 5 ˆ
ˆ´1 2
˙20
“ 57 5
«ˆ
´1 2
˙0
` ˆ´1
2
˙1
` ˆ´1
2
˙2
`...` ˆ´1
2
˙20ff
“ 57 5 ˆ
1´ ˆ´1
2
˙21
1`1 looooooooooomooooooooooon2
Directement avec la deuxième formule
“ 38 5
˜ 1`
ˆ1 2
˙21¸
