I.2 Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

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1S Chapitre 10 : Suites arithmétiques, suites géométriques 2014-2015

La leçon 4 est à relire pour se remémorer :

• les modes de génération d’une suite : forme explicite (unen fonction den) et par récurrence (un+1en fonction deun) ;

• la représentation graphique d’une suite ;

• le sens de variation d’une suite : les techniques de détermination ;

• la notion de limite.

I Suite arithmétique

I.1 Définition

Définition :Soitu0 un nombre réel.

Une suite (un)n∈Nest unesuite arithmétiques’il existe un nombre réelrtel que, pour tout entier natureln, on a

u_n+1=u_n+r

u0 est lepremier terme. Le nombrerest appelé laraison de la suite arithmétique.

Remarque 1 On « passe » alors d’un terme au suivant en ajoutant le même nombrer.

Exemple 1 Soit(un)^n∈Nla suite définie paru₀= 3et pour tout entier natureln,u_n+1=un+ 5.

Calculer les 4 termes suivants.

Caractérisation :(un)n∈N est une suite arithmétique de raisonret de premier terme u0 si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a u_n=u0+nr.

Cette propriété est valable avec d’autres termes queu0; plus généralement sip∈N u_n=u_p+ (n−p)r

EXERCICE 1 Soit (un)n∈Nla suite définie paru0=−7 et, pour tout entier natureln,u_n+1=u_n+ 4.

1. Exprimer le terme généralun en fonction den. En déduire la valeur deu21. 2. Un terme de la suite 2015 ?

I.2 Somme des premiers termes d’une suite arithmétique

Propriété: Soit (un)n∈Nune suite arithmétique de premier termeu0 et de raisonr.

Pour tout entier naturel n, on a

u0+u1+u2+. . .+u_n= (n+ 1)u0+u_n 2 n+ 1: nombre de termes de la somme ; u0+un

2 est la moyenne arithmétique calculée avec le premier et le dernier terme de la somme.

Un cas particulier :

Pour tout entier naturel non nuln, on a : 1 + 2 + 3 +. . .+n=n(n+ 1)

2 *démo exigible

Remarque 2 Le calcul de la somme des termes d’une suite arithmétique est possible à partir d’un terme quelconque de la suite.

∀p∈N, tel quep6n,up+up+1+. . .+un= (n−p+ 1)u_p+u_n 2

EXERCICE 2 Un artisan propose de réaliser le forage d’un puits en appliquant le tarif suivant : le 1êr mètre foré coût 100 euros, le 2ê coûte 110 euros, le 3êcoûte 120 euros ... chaque mètre supplémentaire coûtant 10 euros de plus que le précédent.

Un particulier veut faire réaliser un puits de 15 mètres dans son jardin. Commbien payera-t-il ?

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II Suite géométrique

II.1 Définition

Définition :Soitu0 un nombre réel.

Une suite (un)n∈Nest unesuite géométriques’il existe un nombre réelqtel que, pour tout entier natureln, on a

u_n+1=qu_n

u0 est lepremier terme. Le nombreqest appelé laraison de la suite géométrique.

Remarque 3 On « passe » alors d’un terme au suivant en multipliant par le même nombreq.

Exemple 2 Soit(u_n)n∈Nla suite définie paru₀= 5et pour tout entier natureln,u_n+1= 2u_n. Calculer les 4 termes suivants.

Caractérisation : (un)n∈N est une suite géométrique de raison q et de premier termeu0 si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a un=u0qⁿ .

Cette propriété est valable avec d’autres termes queu0; plus généralement sip∈N un=upqⁿ⁻^p

EXERCICE 3 Soit (un)n∈Nla suite définie paru0= 5 et, pour tout entier natureln,un+1= 3un. 1. Exprimer le terme généralu_n en fonction den. En déduire la valeur deu11.

2. Quel est le rang du premier terme qui dépasse 2016 ?

II.2 Somme des premiers termes d’une suite géométrique

Propriété: Soit (un)n∈Nune suite géométrique de premier termeu0 et de raisonq6= 1.

Pour tout entier naturel n, on a

u0+u1+u2+. . .+u_n=u0×1−qⁿ⁺¹ 1−q n+ 1: nombre de termes de la somme.

Un cas particulier :

Pour tout entier naturel non nuln, on a : 1 +q+q²+q³+. . .+qⁿ =1−qⁿ⁺¹

1−q *démo exigible

Remarque 4 Le calcul de la somme des termes d’une suite géométrique est possible à partir d’un terme quelconque de la suite.

∀p∈N, tel quep6n,up+up+1+. . .+un=up×1−qⁿ⁻^p⁺¹ 1−q

EXERCICE 4 La somme de 580 euros est placée au 1^er janvier 2015 sur un livret d’épargne qui rapporte 2%

d’intérêts par an (les intérêts sont composés, c’est à dire qu’il s’ajoute au capital de l’année précédente pour générer de nouveaux intérêts).

Calculer, à l’aide d’une suite, le montant disponible sur le livret au 1^er janvier 2030.

III Une méthode à connaître

On considère les suites (un) et (vn) définies, pour tout entier natureln, paru0= 2,u_n+1= 3un+ 2 etv_n=u_n+ 1.

1. Démontrer que la suite (vn) est géométrique. Déterminer sa raison et son premier terme ; en déduire l’expression devn en fonction den.

2. Détermineru_n en fonction den.

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IV Compléments sur les suites arithmétique et géométriques

IV.1 Sens de variation

(un)n∈N est une suite arithmétique de raisonrnon nulle et de premier termeu0.

• Sirest négative, la suite (un)n∈Nest décroissante.

• Sirest positive, la suite (un)n∈Nest croissante..

Démonstration : . . .

(un)n∈N est une suite géométrique de raisonqnon nulle etq6= 1 et de premier termeu0.

• Siq <0, la suite (un)n∈Nn’est pas monotone.

• Siq >0, plusieurs cas se présentent :

⊲ Siu0>0 etq >1 alors (un)n∈N est croissante.

⊲ Siu0>0 et 0< q <1 alors (un)n∈Nest décroissante.

⊲ Siu0<0 etq >1 alors (un)n∈N est décroissante.

⊲ Siu0<0 et 0< q <1 alors (un)n∈Nest croissante.

Démonstration : . . .

EXERCICE 5 Quel est le sens de variation de la suite (un)n∈N définie pour toutn∈Npar ,u_n=−2n+ 5 ? Même question pour la suite (vn)n∈Ndéfinie pour toutnparv_n=−2×

1

3 n

IV.2 Comportement asymptotique

• Une suite arithmétique de raison non nulle tend vers l’infini (+∞ou−∞suivant le signe de la raison)

• Pour une suite géométrique, cela est plus compliqué etdépend de: Soitqun nombre réel, on a :

⊲ Siq >1, la suite (qⁿ)n>0tend vers +∞;

⊲ Siq= 1, la suite (qⁿ)n>0tend vers 1 ;

⊲ Si−1< q <1, la suite (qⁿ)n>0 tend vers 0 ;

⊲ Siq6−1, la suite n’admet pas de limite.

et du signe du terme initial :il faut patienter un peu pour éclairer votre lanterne (TS).